সংক্ষিপ্ত তত্ত্বৰ সাৰাংশ

বীজগণিত হৈছে গণিতৰ সেই শাখা য’ত অজ্ঞাত ৰাশিসমূহক প্ৰতিনিধিত্ব কৰিবলৈ চিহ্ন (চলক) ব্যৱহাৰ কৰা হয়। ৰেলৱে পৰীক্ষাত আপুনি প্ৰধানকৈ ৰৈখিক সমীকৰণ, দ্বিঘাত সমীকৰণ, অভেদ, উৎপাদকীকৰণ আৰু শব্দ-সমস্যাৰ সৈতে মোকাবিলা কৰিব। এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ প্ৰামাণিক ৰূপ ax + b = 0 যাৰ সমাধান x = –b/a। দ্বিঘাত সমীকৰণ ax² + bx + c = 0 ক উৎপাদক বিভাজনৰ দ্বাৰা বা দ্বিঘাত সূত্ৰ x = [–b ± √(b² – 4ac)]/2a ৰ দ্বাৰা সমাধান কৰা হয়। মনত ৰাখিব, বৈষম্যকাৰী D = b² – 4ac ৱে মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি কয়: D > 0 (বাস্তৱ আৰু পৃথক), D = 0 (বাস্তৱ আৰু সমান) আৰু D < 0 (জটিল)।

সমীকৰণ সমাধান কৰাৰ উপৰিও, ৰেলৱে প্ৰশ্নকাকতসমূহে বীজগণিতীয় অভেদ (a² – b² = (a – b)(a + b), (a + b)² = a² + 2ab + b², আদি), কৰণী আৰু সূচকৰ সহজীকৰণ, আৰু শব্দ-বিবৃতিৰ পৰা সমীকৰণ গঠন কৰাত আপোনাৰ গতি পৰীক্ষা কৰে। দ্ৰুত মানসিক উৎপাদকীকৰণ আয়ত্ত কৰা আৰু “প্ৰশ্নটো উল্টাকৈ পঢ়া” (অৰ্থাৎ প্ৰথমে বিকল্পবোৰ পৰীক্ষা কৰা) শিকিলে প্ৰতিটো প্ৰশ্নত ১০–১৫ ছেকেণ্ড বচায়, যিটো গুৰুত্বপূৰ্ণ যেতিয়া Stage-I CBT ত আপোনাৰ প্ৰতিটো MCQ ৰ বাবে মাত্ৰ ৬০ ছেকেণ্ড থাকে।

বহুবিকল্পী প্ৰশ্ন

1. সহজ – যদি 3x – 7 = 14, তেন্তে x ৰ মান হ’ব
   A. 5
   B. 6
   C. 7
   D. 8

AnswerCorrect: বিকল্প C. 3x = 21 ⇒ x = 7.

2. সহজ – দুটা ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যাৰ যোগফল 64। সৰু সংখ্যাটো হ’ল
   A. 29
   B. 31
   C. 33
   D. 35

AnswerCorrect: বিকল্প B. x + (x + 2) = 64 ⇒ x = 31.

3. সহজ – যদি x² – 9 = 0, তেন্তে x ৰ ধনাত্মক মান হ’ব
   A. 0
   B. 3
   C. –3
   D. 9

AnswerCorrect: বিকল্প B. x² = 9 ⇒ x = ±3, ধনাত্মক মূল 3.

4. সহজ – (a + b)² – (a – b)² ৰ মান হ’ল
   A. 0
   B. 2ab
   C. 4ab
   D. 2(a² + b²)

AnswerCorrect: বিকল্প C. অভেদটো 4ab লৈ সহজ হয়।

5. সহজ – যদি 2x + 3y = 12 আৰু x = 3, তেন্তে y ৰ মান হ’ব
   A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 6

AnswerCorrect: বিকল্প A. 6 + 3y = 12 ⇒ y = 2.

6. সহজ – x² – 5x + 6 ৰ উৎপাদক হ’ল
   A. (x – 1)(x – 6)
   B. (x – 2)(x – 3)
   C. (x + 2)(x – 3)
   D. (x + 1)(x – 6)

AnswerCorrect: বিকল্প B. মধ্যম পদ –5x = –2x –3x লৈ বিভাজন কৰক।

7. সহজ – যদি 5^(x+1) = 125, তেন্তে x ৰ মান হ’ব
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প B. 125 = 5³ ⇒ x + 1 = 3 ⇒ x = 2.

8. মধ্যমীয়া – দ্বিঘাত সমীকৰণ x² – 8x + 15 = 0 ৰ মূল হ’ল
   A. 3, 5
   B. –3, –5
   C. 2, 6
   D. 4, 4

AnswerCorrect: বিকল্প A. উৎপাদক (x – 3)(x – 5) = 0.

9. মধ্যমীয়া – এখন ৰেলগাড়ীয়ে ৩ ঘণ্টাত তাৰ গতি ১০ কিমি/ঘণ্টা বঢ়ালে ৬০ কিমি বেছি যায়। প্ৰাৰম্ভিক গতি হ’ল
   A. 30 km/h
   B. 40 km/h
   C. 50 km/h
   D. 60 km/h

AnswerCorrect: বিকল্প C. ধৰা হওক প্ৰাৰম্ভিক গতি x কিমি/ঘণ্টা; 3(x + 10) – 3x = 60 ⇒ x = 50.

10. মধ্যমীয়া – যদি 2x² – kx + 8 = 0 ৰ মূল দুটা সমান হয়, তেন্তে k ৰ মান হ’ব
    A. ±4
    B. ±8
    C. ±16
    D. ±32

AnswerCorrect: বিকল্প B. বৈষম্যকাৰী k² – 4·2·8 = 0 ⇒ k² = 64 ⇒ k = ±8.

11. মধ্যমীয়া – যদি x + 1/x = 5, তেন্তে x² + 1/x² ৰ মান হ’ব
    A. 23
    B. 24
    C. 25
    D. 27

AnswerCorrect: বিকল্প A. দুয়োপক্ষৰ বৰ্গ কৰক: x² + 2 + 1/x² = 25 ⇒ x² + 1/x² = 23.

12. মধ্যমীয়া – (256)^(3/4) ৰ মান হ’ল
    A. 64
    B. 128
    C. 32
    D. 16

AnswerCorrect: বিকল্প A. 256 = 4⁴ ⇒ (4⁴)^(3/4) = 4³ = 64.

13. মধ্যমীয়া – যদি 3x – 2y = 7 আৰু 2x + 3y = 1, তেন্তে x – y ৰ মান হ’ব
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প B. একেলগে সমাধান কৰক: x = 23/13, y = –3/13 ⇒ x – y = 26/13 = 2.

14. মধ্যমীয়া – 3x² – 12x + 9 = 0 ৰ মূল দুটাৰ যোগফল হ’ল
    A. 3
    B. 4
    C. 6
    D. 12

AnswerCorrect: বিকল্প B. যোগফল = –(–12)/3 = 4.

15. মধ্যমীয়া – যদি a – b = 5 আৰু ab = 24, তেন্তে a² + b² ৰ মান হ’ব
    A. 49
    B. 53
    C. 73
    D. 79

AnswerCorrect: বিকল্প C. a² + b² = (a – b)² + 2ab = 25 + 48 = 73.

16. কঠিন – যদি x = √(7 + 4√3), তেন্তে x + 1/x ৰ মান হ’ব
    A. 2√3
    B. 4
    C. 2√7
    D. 6

AnswerCorrect: বিকল্প B. 7 + 4√3 = (2 + √3)² লিখক ⇒ x = 2 + √3 ⇒ 1/x = 2 – √3 ⇒ x + 1/x = 4.

17. কঠিন – |x – 3|² – 4|x – 3| + 3 = 0 ৰ বাস্তৱ মূলৰ সংখ্যা হ’ল
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প D. ধৰা হওক y = |x – 3| ⇒ y² – 4y + 3 = 0 ⇒ y = 1 বা 3 ⇒ x – 3 = ±1, ±3 ⇒ ৪টা বাস্তৱ মূল।

18. কঠিন – যদি (x + 1)² + (x – 1)² = 10, তেন্তে সকলো সম্ভাব্য x ৰ যোগফল হ’ব
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

AnswerCorrect: বিকল্প A. সহজ কৰক 2x² + 2 = 10 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2; যোগফল = 0.

19. কঠিন – এজন মানুহ তেওঁৰ পুত্ৰৰ বয়সৰ ৪ গুণ। ৮ বছৰৰ পিছত তেওঁৰ বয়স পুত্ৰৰ বয়সৰ ২.৫ গুণ হ’ব। পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স?
    A. 8 y
    B. 10 y
    C. 12 y
    D. 16 y

AnswerCorrect: বিকল্প A. ধৰা হওক পুত্ৰ = x, মানুহ = 4x; 4x + 8 = 2.5(x + 8) ⇒ x = 8.

20. কঠিন – যদি (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca), তেন্তে a³ + b³ + c³ – 3abc ৰ মান হ’ব
    A. 0
    B. 1
    C. 3
    D. 9

AnswerCorrect: বিকল্প A. দিয়া চৰ্তই a = b = c সূচায় ⇒ a³ + b³ + c³ – 3abc = 0.

21. কঠিন – যদি 2^x · 3^y = 72 আৰু 2^y · 3^x = 108, তেন্তে x + y ৰ মান হ’ব
    A. 5
    B. 6
    C. 7
    D. 8

AnswerCorrect: বিকল্প C. সমীকৰণ দুটা ভাগ কৰক ⇒ (2/3)^(x–y) = 2/3 ⇒ x – y = 1; পূৰণ কৰক ⇒ 6^(x+y) = 6^7 ⇒ x + y = 7.

22. কঠিন – 2x² – 8x + 11 ৰ নিম্নতম মান হ’ল
    A. 1
    B. 3
    C. 5
    D. 7

AnswerCorrect: বিকল্প B. পূৰ্ণ বৰ্গ কৰক: 2(x – 2)² + 3 ⇒ x = 2 ত নিম্নতম মান 3.

23. কঠিন – যদি x = 1/(√2 + 1), তেন্তে x² + 2x – 1 ৰ মান হ’ব
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 3

AnswerCorrect: বিকল্প A. পৰিমেয় কৰক x = √2 – 1; মান বহুৱাই ⇒ (√2 – 1)² + 2(√2 – 1) – 1 = 0.

24. কঠিন – x² – (a + 1)x + 2a = 0 ৰ এটা মূল আনটোৰ দুগুণ। তেন্তে a ৰ মান হ’ব
    A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 9

AnswerCorrect: বিকল্প C. ধৰা হওক মূল r, 2r; যোগফল 3r = a + 1, গুণফল 2r² = 2a ⇒ r = a ⇒ 3a = a + 1 ⇒ a = 4 (পুনৰ পৰীক্ষা কৰিলে মানায়)।

25. কঠিন – যদি (x – 1)³ + (x – 2)³ + (x – 3)³ = 3(x – 1)(x – 2)(x – 3), তেন্তে x ৰ মান হ’ব
    A. 1
    B. 2
    C. 3
    D. 2.5

AnswerCorrect: বিকল্প D. অভেদ: যদি a + b + c = 0 তেন্তে a³ + b³ + c³ = 3abc। ইয়াত (x – 1) + (x – 2) + (x – 3) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ x = 2.

দ্ৰুত চুটি-পথ আৰু টিপছ

1. বিকল্প-বহুৱা: ৰৈখিক সমীকৰণ → মধ্যমীয়া বিকল্প (C) ৰ পৰা আৰম্ভ কৰি বিকল্পবোৰ প্ৰতিষ্ঠাপন কৰিলে ১০ ছেকেণ্ড বচায়।
2. বৈষম্যকাৰী সোঁৱৰণি: সমান মূলৰ বাবে, D = 0; পৰিমেয় মূলৰ বাবে, D এটা পূৰ্ণ বৰ্গ হ’ব লাগিব।
3. সাম্যতা কৌশল: যেতিয়াই a + b + c = 0, মনত ৰাখিব a³ + b³ + c³ = 3abc (প্ৰশ্ন ২৫)।
4. যোজন-বিয়োজন: অনুপাত-ভিত্তিক বয়সৰ সমস্যাৰ বাবে উপযোগী—অনুপাতবোৰ তৎক্ষণাত সমীকৰণলৈ ৰূপান্তৰ কৰক।
5. শেষ অংক পৰীক্ষা: সূচক/ঘাতৰ প্ৰশ্নত, কেৱল শেষ অংকটোৱে চক্ৰাকাৰে আবৰ্তন কৰে (ভিত্তি ২ ৰ বাবে 2,4,8,6) – বিকল্পবোৰ দ্ৰুত বাদ দিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰক।