SATHEE: Number System Formulas – 60-Second Revision

نمبر سسٹم کے فارمولے - 60-سیکنڈ نظرثانی

قدرتی اعداد: 1، 2، 3 … ∞ → N
مکمل اعداد: 0 شامل → W = N ∪ {0}
پورے اعداد: … –2، –1، 0، 1، 2 … → Z
ناطق: p/q (q ≠ 0، p,q ∈ Z)؛ اعشاریہ یا تو ختم ہونے والا یا دہرانے والا۔
غیر ناطق: غیر ختم اور غیر دہرانے والے اعشاریہ → π، √2، e۔
حقیقی اعداد = ناطق ∪ غیر ناطق → R
اول: بالکل دو عوامل؛ 2 واحد زوج اول ہے۔
متعامل اول: HCF = 1 (مثلاً 8 اور 15)۔
LCM × HCF = دو اعداد کا حاصل ضرب۔
کسر a/b اور c/d کے لیے: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c)۔
متواتر تقسیم: اگر N کو a، b، c سے تقسیم کرنے پر باقیات r₁، r₂، r₃ ہوں، تو N = k·LCM(a,b,c) + آخری باقی۔
11 سے قابلِ تقسیم ہونے کی شرط: (طاق مقامات پر اعداد کا مجموع) – (زوج مقامات پر اعداد کا مجموع) = 0 یا 11 کا ضرب۔
aⁿ کا یونٹ ڈیجیٹ نکالنے کے لیے، آخری ہندسہ ہر 4 پر دہراتا ہے (بنیاد 2–9 کے لیے)۔
بائنری → دیسیمل: Σ bit×2ⁿ؛ دیسیمل → بائنری: 2 سے تقسیم کریں، باقیات جمع کریں، اُلٹ دیں۔

فارمولا / اصول	استعمال کرنے کا وقت
1. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a×b	دو عدد کے مسائل
2. کسروں کا LCM = LCM(عددِ بالا) / HCF(عددِ نیچے)	کسر کا LCM
3. کسروں کا HCF = HCF(عددِ بالا) / LCM(عددِ نیچے)	کسر کا HCF
4. (a×b×c) ÷ m پر باقی = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m	حاصلِ ضرب کا باقی
5. اویلر: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) اگر gcd(a,m)=1	بڑی طاقت کا باقی
6. (a + b)² = a² + 2ab + b²	الجبرا اور فوری مربعات
7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)	مکعبوں کا مجموع
8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)	مکعبوں کا فرق
9. پہلے n طاق عددوں کا مجموع = n²	نمونہ پہچان
10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2	حسابی سلسلہ

“L-H Product”: LCM اور HCF ہمیشہ ضرب کر کے دو عددوں کا حاصل دیتے ہیں۔
“Even-Prime Lonely 2”: واحد جفتِ اول → 2 (تصور کرو 2 اکیلا کھڑا ہے)۔
“11 Jump-Frog”: 11 کی قابلِ قسمت کے لیے، ہندسوں کو پڑوسی پر چھلانگ لگا کر گھٹاؤ۔
“4-Cycle Last Digit”: واحد ہندسے ہر 4 طاقتوں پر دہراتے ہیں → مخرج کو 4 سے تقسیم کرو، باقی استعمال کرو۔
“LCM tops, HCF bottoms”: کسروں کے ساتھ کام کرتے وقت، LCM عددِ بالا کا LCM لیتا ہے عددِ نیچے کے HCF پر (اور HCF کے لیے الٹ)۔

غلطی	صحیح طریقہ
1 کو اول قرار دینا	1 کے صرف ایک عوامل ہیں؛ اول اعداد کے لیے بالکل دو عوامل درکار ہوتے ہیں۔
پورے اور قدرتی اعداد میں 0 کو نظر انداز کرنا	0 پورا عدد ہے لیکن قدرتی عدد نہیں۔
دہرتی اعشاریہ میں ہندسوں کو منسوخ کرنا	0.333… ≠ 0.33؛ کسر 1/3 استعمال کریں۔
بائنری تبدیلی میں بقیہ کو الٹنا بھولنا	بقیہ کو نیچے سے اوپر جمع کریں۔
3+ اعداد پر LCM کا فارمولا براہِ راست لاگو کرنا بغیر جوڑے کا HCF چیک کیے	پرائم فیکٹر طریقہ یا متواتر LCM استعمال کریں۔

Rule-of-9 چیک: تیز حساب کی تصدیق کے لیے 9 کا اخراج۔
یونٹ ڈِجٹ پہلے: اختیارات آخری ہندسے میں مختلف ہوں → صرف یونٹ ڈِجٹ نکالیں، وقت بچائیں۔
ضرب سے پہلے منسوخ کریں: کسر کا کام کم کرتا ہے اور بڑے اعداد سے بچاتا ہے۔
50 تک پرائم ٹیبل: یاد رکھیں 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47۔
60 سیکنڈ سکین: الفاظ “بقیہ”, “قابلِ تقسیم”, “LCM”, “HCF” تلاش کریں → موافق فارمولا فوراً چنیں۔

1. سب سے چھوٹا 3 ہندسی عدد جو 3، 5 اور 7 سے بالکل قابلِ تقسیم ہو کیا ہے؟

LCM(3,5,7)=105۔ جواب: 105

2. اگر 3⁷⁵ کو 10 سے تقسیم کیا جائے، بقیہ کیا ہوگا؟

3 کا یونٹ ڈِجٹ 3-9-7-1 چکر میں ہے۔ 75 mod 4 = 3 → 7۔ بقیہ = 7

3. 2/3، 4/9 اور 5/6 کا HCF کیا ہے؟

HCF(2,4,5)=1؛ LCM(3,9,6)=18 → HCF = 1/18

4. پہلے 20 طاق اعداد کا مجموعہ برابر ہے؟

n² = 20² = 400

5. 50 اور 60 کے درمیان کتنے اولی اعداد ہیں؟

53, 59 → 2