संख्या प्रणाली सूत्रे - ६०-सेकंद पुनरावृत्ती
संख्या प्रणाली – एक-पृष्ठीय सार
महत्त्वाचे मुद्दे (एक-ओळीतील)
- नैसर्गिक संख्या: 1, 2, 3 … ∞ → N
- पूर्ण संख्या: 0 समाविष्ट → W = N ∪ {0}
- पूर्णांक: … –2, –1, 0, 1, 2 … → Z
- परिमेय: p/q (q ≠ 0, p,q ∈ Z); दशांश किंवा तर संपणारा किंवा पुनरावृत्ती असलेला.
- अपरिमेय: अनवरत व अपुनरावृत्त दशांश → π, √2, e.
- वास्तविक संख्या = परिमेय ∪ अपरिमेय → R
- अभाज्य: नेमके दोन गुणनखंड; 2 ही एकमेव सम अभाज्य संख्या आहे.
- सहअभाज्य: म.सा.वि. = 1 (उदा. 8 आणि 15).
- ल.सा.वि. × म.सा.वि. = दोन संख्यांचा गुणाकार.
- अपूर्णांक a/b आणि c/d साठी: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c).
- क्रमिक भागाकार: जर N ला a, b, c ने भागल्यास उरलेले उर्वरित r₁, r₂, r₃ असतील, तर N = k·ल.सा.वि.(a,b,c) + अंतिम उर्वरित.
- 11 ने विभाज्यता: (विषम स्थानांवरील अंकांची बेरीज) – (सम स्थानांवरील अंकांची बेरीज) = 0 किंवा 11 चा गुणाकार.
- aⁿ ची एकक अंक शोधण्यासाठी, शेवटचा अंक 4 मध्ये पुन्हा पुन्हा येतो (2–9 बेससाठी).
- बायनरी → दशांश: Σ bit×2ⁿ; दशांश → बायनरी: 2 ने भागाकार उर्वरित गोळा करा उलट क्रमात.
महत्त्वाचे सूत्रे / नियम
| सूत्र / नियम | कधी वापरावे |
|---|---|
| 1. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a×b | दोन संख्यांच्या समस्या |
| 2. अपूर्णांकांचा LCM = अंशांचा LCM / छेदांचा HCF | अपूर्णांक LCM |
| 3. अपूर्णांकांचा HCF = अंशांचा HCF / छेदांचा LCM | अपूर्णांक HCF |
| 4. (a×b×c) ÷ m याचा उरलेला भाग = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m | गुणाकार उरलेला भाग |
| 5. Euler: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) जर gcd(a,m)=1 असेल तर | मोठ्या घातांकाचा उरलेला भाग |
| 6. (a + b)² = a² + 2ab + b² | बीजगणित व जलद वर्ग |
| 7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) | घनांची बेरीज |
| 8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) | घनांचा फरक |
| 9. पहिल्या n विषम संख्यांची बेरीज = n² | नमुने ओळखणे |
| 10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 | समांतर मालिका |
स्मरण युक्त्या
- “L-H Product”: LCM आणि HCF नेहमी गुणाकार करून दोन संख्यांचा गुणाकार देतात.
- “Even-Prime Lonely 2”: एकमेव सम अविभाज्य → 2 (2 एकटा उभा आहे असे कल्पना करा).
- “11 Jump-Frog”: 11 ने भागण्यासाठी, अंक शेजारच्या अंकावर उडी मारून वजा करा.
- “4-Cycle Last Digit”: शेवटचे अंक प्रत्येक 4 घातांकांनी पुनरावृत्त होतात → घातांकाला 4 ने भागा, उरलेला भाग वापरा.
- “LCM tops, HCF bottoms”: अपूर्णांकांसाठी, LCM मध्ये अंशांचा LCM वर छेदांचा HCF (आणि HCF साठी उलट).
सामान्य चुका
| चूक | योग्य दृष्टिकोण |
|---|---|
| 1 ला मूळधन म्हणून वागवणे | 1 चे फक्त एकच गुणक असते; मूळधनांना नेमके दोन गुणक हवे असतात. |
| संपूर्ण व नैसर्गिक संख्यांमध्ये 0 दुर्लक्षित करणे | 0 संपूर्ण आहे पण नैसर्गिक नाही. |
| आवर्ती दशांशांमध्ये अंक रद्द करणे | 0.333… ≠ 0.33; अपूर्णांक 1/3 वापरा. |
| बायनरी रूपांतरात उरलेले भाग उलट न करणे | उरलेले भाग खालून वर गोळा करा. |
| 3+ संख्यांवर LCM सूत्र थेट लावताना जोडीने HCF तपासणे विसरणे | मूळधन गुणक पद्धत किंवा क्रमिक LCM वापरा. |
शेवटच्या क्षणी टिप्स
- 9 ची चाचणी: जलद गणना तपासण्यासाठी 9 चे वगैरे काढा.
- युनिट अंक आधी: उत्तर पर्याय शेवटच्या अंकाने वेगळे असल्यास → फक्त युनिट अंक शोधा, वेळ वाचवा.
- गुणाकार आधी रद्द करा: अपूर्णांक काम कमी करते आणि मोठ्या संख्या टाळते.
- 50 पर्यंतची मूळधन सारणी: आठवा 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47.
- 60 सेकंद स्कॅन: “उरलेला भाग”, “भाज्यता”, “LCM”, “HCF” कीवर्डसाठी एक नजर टाका → जुळणारे सूत्र थेट निवडा.
झटपट सराव (5 MCQs)
1. 3, 5 आणि 7 ने अचूक भागलेली सर्वात लहान 3-अंकी संख्या कोणती?
LCM(3,5,7)=105. उत्तर: 105
2. जर 3⁷⁵ ला 10 ने भागले, तर उरलेला भाग किती?
3 चा युनिट अंक 3-9-7-1 चक्र करतो. 75 mod 4 = 3 → 7. उरलेला भाग = 7
3. 2/3, 4/9 आणि 5/6 चा HCF किती?
HCF(2,4,5)=1; LCM(3,9,6)=18 → HCF = 1/18
4. पहिल्या 20 विषम संख्यांची बेरीज किती?
n² = 20² = 400
5. 50 आणि 60 दरम्यान किती अभाज्य संख्या आहेत?
53, 59 → 2
BETA
