సంఖ్యా వ్యవస్థ సూత్రాలు – 60-సెకన్ల పునర్విమర్శ
సంఖ్యా వ్యవస్థ – ఒకే పేజీ
కీ పాయింట్లు (ఒకే వాక్యాలు)
- సహజ సంఖ్యలు: 1, 2, 3 … ∞ → N
- పూర్ణ సంఖ్యలు: 0 చేర్చబడింది → W = N ∪ {0}
- పూర్ణాంకాలు: … –2, –1, 0, 1, 2 … → Z
- తర్కసంఖ్యలు: p/q (q ≠ 0, p,q ∈ Z); దశాంశం లేదా ముగిసేది లేదా పునరావృతమయ్యేది.
- అతర్కసంఖ్యలు: ముగియని & పునరావృతం కాని దశాంశాలు → π, √2, e.
- వాస్తవ సంఖ్యలు = తర్కసంఖ్యల ∪ అతర్కసంఖ్యల → R
- ప్రధాన సంఖ్య: ఖచ్చితంగా రెండు గుణిజాలు; 2 ఒక్కటే జత ప్రధాన సంఖ్య.
- సహప్రధాన సంఖ్యలు: HCF = 1 (ఉదా. 8 & 15).
- LCM × HCF = రెండు సంఖ్యల గుణితఫలితం.
- భిన్నాల a/b & c/d కోసం: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c).
- క్రమిక విభజన: Nను a, b, c తో విభజిస్తే మిగిలే శేషాలు r₁, r₂, r₃ అయితే, N = k·LCM(a,b,c) + చివరి శేషం.
- 11 తో విభజన యోగ్యత: (బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం) – (జత స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం) = 0 లేదా 11 యొక్క గుణితం.
- aⁿ యొక్క యూనిట్ అంకెను కనుగొనుట, చివరి అంకె చక్రం ప్రతి 4 వద్ద పునరావృతమవుతుంది (బేసులు 2–9 కోసం).
- బైనరీ → దశాంశ: Σ bit×2ⁿ; దశాంశ → బైనరీ: 2 తో విభజించు, శేషాలను సేకరించు, రివర్స్ చేయి.
ముఖ్యమైన సూత్రాలు / నియమాలు
| సూత్రం / నియమం | ఎప్పుడు ఉపయోగించాలి |
|---|---|
| 1. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a×b | రెండు సంఖ్యల సమస్యలు |
| 2. భిన్నాల LCM = లవ(అంశాలు) / గస(హారాలు) | భిన్నాల LCM |
| 3. భిన్నాల HCF = గస(అంశాలు) / లవ(హారాలు) | భిన్నాల HCF |
| 4. (a×b×c) ÷ m అప్పుడు శేషం = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m | గుణిత శేషం |
| 5. యూలర్: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) gcd(a,m)=1 అయితే | పెద్ద ఘాత శేషం |
| 6. (a + b)² = a² + 2ab + b² | బీజగణితం & వేగవంతమైన వర్గాలు |
| 7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) | ఘనాల మొత్తం |
| 8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) | ఘనాల తేడా |
| 9. మొదటి n బేసి సంఖ్యల మొత్తం = n² | నమూనా గుర్తింపు |
| 10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 | అంకగణిత శ్రేణి |
జ్ఞాపకశక్తి ఉపాయాలు
- “L-H గుణితం”: LCM & HCF ఎప్పుడూ రెండు సంఖ్యల గుణితాన్ని ఇస్తాయి.
- “జతప్రైమ్ ఒంటరి 2”: ఏకైక జత ప్రైమ్ → 2 (2 ఒంటరిగా నిలబడి ఉన్నట్లు ఊహించండి).
- “11 జంప్-ఫ్రాగ్”: 11 విభజ్యత కోసం, అంకెలు పక్కవాడిని దాటి వెళ్లి తీసివేయండి.
- “4-చక్రం చివరి అంకె”: యూనిట్ అంకెలు ప్రతి 4 ఘాతాలకు పునరావృతమవుతాయి → ఘాతాన్ని 4తో భాగించి, శేషాన్ని ఉపయోగించండి.
- “LCM పైభాగాలు, HCF కిందభాగాలు”: భిన్నాలతో పనిచేసేటప్పుడు, LCM అంశాల LCMను హారాల HCFపై (HCF కోసం వ్యతిరేకం).
సాధారణ తప్పులు
| తప్పు | సరైన విధానం |
|---|---|
| 1ని ప్రైమ్గా భావించడం | 1కి ఒకే ఒక ఫాక్టర్ ఉంది; ప్రైమ్లకు ఖచ్చితంగా రెండు కావాలి. |
| పూర్ణ సంఖ్యల vs సహజ సంఖ్యలలో 0ని విస్మరించడం | 0 పూర్ణ సంఖ్య కానీ సహజ సంఖ్య కాదు. |
| పునరావృత దశాంశాల్లో అంకెలను రద్దు చేయడం | 0.333… ≠ 0.33; భిన్నం 1/3 వాడండి. |
| బైనరీ మార్పిడిలో శేషాలను తిరగగట్టడం మర్చిపోవడం | శేషాలను కింది నుంచి పైకి సేకరించండి. |
| 3+ సంఖ్యలకు జతల HCFని పరిశీలించకుండా నేరుగా LCM సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం | ప్రైమ్ ఫాక్టర్ పద్ధతి లేదా క్రమానుగత LCM వాడండి. |
చివరి నిమిషం చిట్కాలు
- రూల్-ఆఫ్-9 చెక్: వేగంగా లెక్కను ధృవీకరించేందుకు 9లను తొలగించండి.
- యూనిట్ డిజిట్ మొదట: జవాబు ఎంపికలు చివరి అంకెలో భిన్నంగా ఉంటే → యూనిట్ డిజిట్ మాత్రమే కనుగొనండి, సమయం ఆదా అవుతుంది.
- గుణించే ముందు రద్దు చేయండి: భిన్న పనిని తగ్గిస్తుంది & పెద్ద సంఖ్యలను నివారిస్తుంది.
- 50 వరకు ప్రైమ్ పట్టిక: 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47 గుర్తుంచుకోండి.
- 60-సెకన్ స్కాన్: “remainder”, “divisibility”, “LCM”, “HCF” కీవర్డ్ల కోసం చూపు వేయండి → సరిపోయే సూత్రాన్ని వెంటనే ఎంచుకోండి.
తక్షణ ప్రాక్టీస్ (5 MCQs)
1. 3, 5 మరియు 7తో ఖచ్చితంగా భాగించదగిన కనిష్ఠ 3-అంకెల సంఖ్య ఏమిటి?
LCM(3,5,7)=105. సమాధానం: 105
2. 3⁷⁵ను 10తో భాగిస్తే శేషం ఎంత?
3 యొక్క యూనిట్ డిజిట్ చక్రం 3-9-7-1. 75 mod 4 = 3 → 7. శేషం = 7
3. 2/3, 4/9 మరియు 5/6 యొక్క HCF ఎంత?
HCF(2,4,5)=1; LCM(3,9,6)=18 → HCF = 1/18
-
మొదటి 20 బేసి సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? n² = 20² = 400
-
50 మరియు 60 మధ్య ఎంతమంది ప్రైమ్ సంఖ్యలు ఉన్నాయి? 53, 59 → 2
BETA
