எண் முறை சூத்திரங்கள் - 60-வினாடி திருத்தம்
எண் அமைப்பு – ஒரு பக்க சுருக்கம்
முக்கிய அம்சங்கள் (ஒரு வரி விளக்கங்கள்)
- இயல் எண்கள்: 1, 2, 3 … ∞ → N
- முழு எண்கள்: 0 சேர்க்கப்பட்டது → W = N ∪ {0}
- முழுவெண்கள்: … –2, –1, 0, 1, 2 … → Z
- விகிதமுறு: p/q (q ≠ 0, p,q ∈ Z); தசம எண் முடிவடையும் அல்லது மீளும்.
- விகிதமுறா: முடிவில்லாத மற்றும் மீளாத தசம எண்கள் → π, √2, e.
- மெய் எண்கள் = விகிதமுறு ∪ விகிதமுறா → R
- பகா எண்: சரியாக இரு காரணிகள்; 2 ஒரே ஒரு இரட்டைப்பகா.
- இணைப் பகா: ம.பொ.ம. = 1 (உதா. 8 & 15).
- ம.ச.ம × ம.பொ.ம = இரு எண்களின் பெருக்கல்.
- பின்னங்கள் a/b & c/d க்கு: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c).
- தொடர்ச்சியான வகுத்தல்: N ஐ a, b, c ஆல் வகுக்கும் போது மீதிகள் r₁, r₂, r₃ எனில், N = k·ம.ச.ம(a,b,c) + இறுதி மீதி.
- 11 ஆல் வகுப்பு: (ஒற்றை இடங்களில் உள்ள இலக்கங்களின் கூட்டு) – (இரட்டை இடங்களில் உள்ள இலக்கங்களின் கூட்டு) = 0 அல்லது 11 இன் மடங்கு.
- aⁿ இன் ஒரு இலக்க எண்ணைக் காண, கடைசி இலக்கத்தின் சுழற்சி ஒவ்வொரு 4 இலும் மீளும் (2–9 அடிப்படைகளுக்கு).
- இருமம் → தசம: Σ bit×2ⁿ; தசம → இருமம்: 2 ஆல் வகுத்து மீதிகளை சேகரித்து தலைகீழாக்கு.
முக்கிய சூத்திரங்கள் / விதிகள்
| சூத்திரம் / விதி | எப்போது பயன்படுத்துவது |
|---|---|
| 1. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a×b | இரு எண் பிரச்சனைகள் |
| 2. பின்னங்களின் LCM = LCM(அகச்செய்யிகள்) / HCF(அடிப்பகுதிகள்) | பின்ன LCM |
| 3. பின்னங்களின் HCF = HCF(அகச்செய்யிகள்) / LCM(அடிப்பகுதிகள்) | பின்ன HCF |
| 4. (a×b×c) ÷ m என்பதன் மீதி = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m | பெருக்கல் மீதி |
| 5. ஓய்லர்: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) என்றால் gcd(a,m)=1 | பெரிய அடுக்கு மீதி |
| 6. (a + b)² = a² + 2ab + b² | இயற்கணிதம் & விரைவு வர்க்கங்கள் |
| 7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) | கனச்சேர்க்கை |
| 8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) | கனவித்தியாசம் |
| 9. முதல் n ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகை = n² | மாதிரி அடையாளம் |
| 10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 | கூட்டுத்தொடர் |
நினைவு தந்திரங்கள்
- “L-H பெருக்கல்”: LCM மற்றும் HCF எப்போதும் இரு எண்களின் பெருக்கலைத் தரும்.
- “இரட்டை-பகு தனித்த 2”: ஒரே இரட்டை பகு → 2 (தனியாக நிற்கும் 2 என கற்பனை செய்யவும்).
- “11 தாவல் தவளை”: 11 ஆல் வகுபடும் தன்மைக்காக, இலக்கங்கள் அருகிலுள்ளவற்றை தாவி கழிக்கவும்.
- **“4-சுழற்சி கடைசி இலக்கம்””: ஒரு எண்ணின் ஒரு இலக்கம் ஒவ்வொரு 4 அடுக்கிலும் மீண்டும் மீண்டும் வரும் → அடுக்கை 4 ஆல் வகுத்து மீதியை பயன்படுத்தவும்.
- “LCM மேலே, HCF கீழே”: பின்னங்களை கையாளும் போது, LCM என்பது அகச்செய்யிகளின் LCM ஐ அடிப்பகுதிகளின் HCF மீது எடுத்ததாகும் (மற்றும் HCF க்கு எதிர்மறையாக).
பொதுவான தவறுகள்
| தவறு | சரியான அணுகுமுறை |
|---|---|
| 1-ஐ பிரைம் என்று நினைப்பது | 1-க்கு ஒரே ஒரு காரணி மட்டுமே உள்ளது; பிரைம்களுக்கு சரியாக இரண்டு காரணிகள் தேவை. |
| முழு எண் மற்றும் இயல்பு எண்களில் 0-ஐ புறக்கணிப்பது | 0 முழு எண் ஆனால் இயல்பு எண் அல்ல. |
| மீளும் தசமங்களில் இலக்கங்களை ரத்து செய்வது | 0.333… ≠ 0.33; பின்னம் 1/3 ஐ பயன்படுத்தவும். |
| இரும மாற்றத்தில் மீதிகளை தலைகீழாக மாற்றுவதை மறப்பது | மீதிகளை கீழிலிருந்து மேலாக சேகரிக்கவும். |
| 3+ எண்களுக்கு நேரடியாக LCM சூத்திரத்தை பயன்படுத்துவது, pairwise HCF-ஐ சரிபார்க்காமல் | பிரைம் காரணி முறை அல்லது தொடர்ச்சியான LCM-ஐ பயன்படுத்தவும். |
கடைசி நேர உதவிக்குறிப்புகள்
- Rule-of-9 சோதனை: விரைவான கணக்கு சரிபார்ப்புக்காக 9-களை நீக்கவும்.
- அலகு இலக்கம் முதலில்: பதில் விருப்பங்கள் கடைசி இலக்கத்தில் மாறுபடுகின்றன → அலகு இலக்கத்தை மட்டும் கண்டுபிடிக்கவும், நேரம் மிச்சம்.
- பெருக்குவதற்கு முன் ரத்து செய்யவும்: பின்ன வேலையை குறைக்கும் மற்றும் பெரிய எண்களை தவிர்க்கும்.
- 50 வரை பிரைம் அட்டவணை: 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47 என நினைவில் வைத்திருக்கவும்.
- 60-விநாடி ஸ்கேன்: “மீதி”, “வகுபடும்”, “LCM”, “HCF” என்ற முக்கிய சொற்களை ஒரு பார்வையில் பார்க்கவும் → பொருத்தமான சூத்திரத்தை நேரடியாக தேர்வு செய்யவும்.
விரைவு பயிற்சி (5 MCQs)
1. 3, 5 மற்றும் 7 ஆல் சரியாக வகுபடும் குறைந்தபட்ச 3 இலக்க எண் என்ன?
LCM(3,5,7)=105. பதில்: 105
2. 3⁷⁵ ஐ 10 ஆல் வகுக்கும்போது மீதி என்ன?
3-ன் அலகு இலக்கம் 3-9-7-1 என சுழல்கிறது. 75 mod 4 = 3 → 7. மீதி = 7
3. 2/3, 4/9 மற்றும் 5/6 ஆகியவற்றின் HCF என்ன?
HCF(2,4,5)=1; LCM(3,9,6)=18 → HCF = 1/18
4. முதல் 20 ஒற்றை எண்களின் கூடுதல் சமம்?
n² = 20² = 400
5. 50 மற்றும் 60 இடையில் எத்தனை பகா எண்கள் உள்ளன?
53, 59 → 2
BETA
