സംഖ്യാ സിസ്റ്റം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ - 60-സെക്കൻഡ് പുനരവലോകനം
സംഖ്യാ സംവിധാനം – വൺ-പേജർ
പ്രധാന പോയിന്റുകൾ (വൺ-ലൈനർസ്)
- പ്രകൃതിസംഖ്യകൾ: 1, 2, 3 … ∞ → N
- മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ: 0 ഉൾപ്പെടുന്നു → W = N ∪ {0}
- പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ: … –2, –1, 0, 1, 2 … → Z
- റേഷണൽ: p/q (q ≠ 0, p,q ∈ Z); ദശാംശം അവസാനിക്കുന്നതോ ആവർത്തിക്കുന്നതോ.
- ഇറേഷണൽ: അവസാനിക്കാത്തതും ആവർത്തിക്കാത്തതുമായ ദശാംശങ്ങൾ → π, √2, e.
- യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ = റേഷണൽ ∪ ഇറേഷണൽ → R
- പ്രൈം: കൃത്യമായി രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ; 2 മാത്രമാണ് ഇരട്ട പ്രൈം.
- കോ-പ്രൈം: HCF = 1 (ഉദാ. 8 & 15).
- LCM × HCF = രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം.
- ഭിന്നസംഖ്യകൾ a/b & c/d-ക്ക്: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c).
- തുടർച്ചയായ ഹരണം: N-നെ a, b, c കൊണ്ട് ഹരിച്ച് ശേഷങ്ങൾ r₁, r₂, r₃ ഉണ്ടെങ്കിൽ, N = k·LCM(a,b,c) + അന്തിമ ശേഷം.
- 11-ആൽ ഹരണം: (ഒറ്റ സ്ഥാനങ്ങളിലെ അക്കങ്ങളുടെ കൂട്ട്) – (ഇരട്ട സ്ഥാനങ്ങളിലെ കൂട്ട്) = 0 അഥവാ 11-ന്റെ ഗുണിതം.
- aⁿ-ന്റെ യൂണിറ്റ് അക്കം കണ്ടെത്താൻ, അവസാന അക്കത്തിന്റെ ചക്രം ഓരോ 4-ഉം ആവർത്തിക്കുന്നു (അടിസ്ഥാനങ്ങൾ 2–9).
- ബൈനറി → ദശാംശം: Σ bit×2ⁿ; ദശാംശം → ബൈനറി: 2-ആൽ ഹരിച്ച് ശേഷങ്ങൾ ശേഖരിച്ച് തിരിച്ചുവയ്ക്കുക.
പ്രധാന ഫോർമുലകൾ / നിയമങ്ങൾ
| ഫോർമുല / നിയമം | ഉപയോഗിക്കേണ്ട സമയം |
|---|---|
| 1. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a×b | രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ |
| 2. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ LCM = LCM(അംശങ്ങൾ) / HCF(ഹരങ്ങൾ) | ഭിന്നസംഖ്യയുടെ LCM |
| 3. ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ HCF = HCF(അംശങ്ങൾ) / LCM(ഹരങ്ങൾ) | ഭിന്നസംഖ്യയുടെ HCF |
| 4. (a×b×c) ÷ m എന്നതിന്റെ ശേഷിപ്പ് = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m | ഗുണനഫലത്തിന്റെ ശേഷിപ്പ് |
| 5. യൂളർ: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) if gcd(a,m)=1 | വലിയ പവർ ശേഷിപ്പ് |
| 6. (a + b)² = a² + 2ab + b² | ബീജഗണിതവും വേഗത്തിലുള്ള വർഗ്ഗങ്ങളും |
| 7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) | ഘനങ്ങളുടെ കൂട്ടൽ |
| 8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) | ഘനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം |
| 9. ആദ്യത്തെ n ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടൽ = n² | പാറ്റേൺ തിരിച്ചറിയൽ |
| 10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 | അരിതമെടിക് ശ്രേണി |
മെമ്മറി തന്ത്രങ്ങൾ
- “L-H Product”: LCM ഉം HCF ഉം എപ്പോഴും ഗുണിച്ചാൽ രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ലഭിക്കും.
- “Even-Prime Lonely 2”: ഏകമാത്രമായ ഇരട്ട പ്രൈം → 2 (2 ഒറ്റയ്ക്ക് നിൽക്കുന്നത് സങ്കൽപ്പിക്കുക).
- “11 Jump-Frog”: 11 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്നതാണോ എന്നറിയാൻ, അക്കങ്ങൾ അയൽക്കാരനിലൂടെ ചാടി കുറയ്ക്കുക.
- “4-Cycle Last Digit”: യൂണിറ്റ് അക്കങ്ങൾ ഓരോ 4 പവർക്കും ആവർത്തിക്കുന്നു → എക്സ്പോണന്റ് 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, ശേഷിപ്പ് ഉപയോഗിക്കുക.
- “LCM tops, HCF bottoms”: ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി ഇടപെടുമ്പോൾ, LCM എടുക്കുന്നത് അംശങ്ങളുടെ LCM ഹരങ്ങളുടെ HCF മേൽ (HCF ന് വിപരീതം).
പൊതുവായ പിഴവുകൾ
| പിഴവ് | ശരിയായ രീതി |
|---|---|
| 1-നെ പ്രൈം ആയി കണക്കാക്കൽ | 1-ന് ഒരു ഘടകമേയുള്ളൂ; പ്രൈമുകൾക്ക് കൃത്യം രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ വേണം. |
| പൂജ്യത്തെ മുഴുവൻ vs പ്രകൃതിക സംഖ്യകളിൽ അവഗണിക്കൽ | 0 മുഴുവൻ സംഖ്യയാണ്, പക്ഷേ പ്രകൃതിക അല്ല. |
| ആവർത്തിക്കുന്ന ദശാംശങ്ങളിൽ അക്കങ്ങൾ റദ്ദാക്കൽ | 0.333… ≠ 0.33; 1/3 എന്ന ഭിന്നം ഉപയോഗിക്കുക. |
| ബൈനറി പരിവർത്തനത്തിൽ ശിഷ്ടങ്ങൾ തിരിച്ചെടുക്കാൻ മറക്കൽ | ശിഷ്ടങ്ങൾ താഴെനിന്ന് മുകളിലേക്ക് ശേഖരിക്കുക. |
| 3+ സംഖ്യകൾക്ക് നേരിട്ട് LCM ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ ജോഡി HCF പരിശോധിക്കാതിരിക്കൽ | പ്രൈം ഘടക രീതിയോ തുടർച്ചയായ LCM ഉപയോഗിക്കുക. |
അവസാന നിമിഷ ടിപ്പുകൾ
- 9-ന്റെ നിയമ പരിശോധന: വേഗത്തിലുള്ള കണക്ക് പരിശോധനയ്ക്കായി 9-കൾ ഒഴിവാക്കുക.
- ഏകാശം ആദ്യം: ഉത്തര ഓപ്ഷനുകൾ അവസാന അക്കത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു → ഏകാശം മാത്രം കണ്ടെത്തുക, സമയം ലാഭിക്കുക.
- ഗുണനത്തിന് മുമ്പ് റദ്ദാക്കുക: ഭിന്നം ജോലി കുറയ്ക്കുകയും വലിയ സംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
- 50 വരെ പ്രൈം പട്ടിക: 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47 ഓർക്കുക.
- 60-സെക്കൻഡ് സ്കാൻ: “ശിഷ്ടം”, “വിഭാജ്യത”, “LCM”, “HCF” എന്ന കീവേഡുകൾക്കായി ഒറ്റനോട്ടം → പൊരുത്തമുള്ള ഫോർമുല നേരെ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.
വേഗ പരിശീലനം (5 MCQs)
1. 3, 5, 7 എന്നിവയാൽ കൃത്യമായി വിഭാജ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ 3-അക്ക സംഖ്യ ഏത്?
LCM(3,5,7)=105. ഉത്തരം: 105
2. 3⁷⁵-നെ 10-ൽ ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ശിഷ്ടം എത്ര?
3-ന്റെ ഏകാശം 3-9-7-1 എന്നിങ്ങനെ ചക്രം ചെയ്യുന്നു. 75 mod 4 = 3 → 7. ശിഷ്ടം = 7
3. 2/3, 4/9, 5/6 എന്നിവയുടെ HCF എത്ര?
HCF(2,4,5)=1; LCM(3,9,6)=18 → HCF = 1/18
4. ആദ്യത്തെ 20 ഓഡ് നമ്പറുകളുടെ കൂട്ടിയാൽ?
n² = 20² = 400
5. 50-നും 60-നും ഇടയിൽ എത്ര പ്രൈം നമ്പറുകളുണ്ട്?
53, 59 → 2
BETA
