સંખ્યા પ્રણાલીના સૂત્રો - 60-સેકન્ડનું પુનરાવર્તન
સંખ્યા પદ્ધતિ – એક પાનું
મુખ્ય મુદ્દાઓ (એક વાક્યમાં)
- કુદરતી સંખ્યાઓ: 1, 2, 3 … ∞ → N
- પૂર્ણ સંખ્યાઓ: 0 સમાવિષ્ટ → W = N ∪ {0}
- પૂર્ણાંક: … –2, –1, 0, 1, 2 … → Z
- પરિમેય: p/q (q ≠ 0, p,q ∈ Z); દશાંશ ક્યાંક અંતિમ અથવા પુનરાવૃત્ત.
- અપરિમેય: અનંત અને અપુનરાવૃત્ત દશાંશ → π, √2, e.
- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ = પરિમેય ∪ અપરિમેય → R
- અવિભાજ્ય: ચોક્કસ બે અવયવો; 2 એકમાત્ર સમ અવિભાજ્ય છે.
- સહ-અવિભાજ્ય: HCF = 1 (જેમ કે 8 અને 15).
- LCM × HCF = બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર.
- અપૂર્ણાંક a/b અને c/d માટે: (a/b) ÷ (c/d) = (a×d)/(b×c).
- ક્રમિક ભાગાકાર: જો N ને a, b, c વડે ભાગતાં શેષ r₁, r₂, r₃ મળે, તો N = k·LCM(a,b,c) + અંતિમ શેષ.
- 11 વડે વિભાજ્યતા: (એકલ સ્થાનના અંકોનો યોગ) – (સમ સ્થાનના અંકોનો યોગ) = 0 અથવા 11 નો ગુણિત.
- aⁿ ની એકમ અંક શોધવા, છેલ્લા અંકનો ચક્ર દર 4 માં પુનરાવૃત્ત થાય છે (આધાર 2–9 માટે).
- બાઈનરી → દશાંશ: Σ bit×2ⁿ; દશાંશ → બાઈનરી: 2 વડે ભાગો, શેષો એકત્ર કરો અને ઉલટાવો.
મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો / નિયમો
| સૂત્ર / નિયમ | ક્યારે ઉપયોગ કરવો |
|---|---|
| 1. HCF(a,b) × LCM(a,b) = a×b | બે સંખ્યાના પ્રશ્નો |
| 2. અપૂર્ણાંકોનો LCM = LCM(અંશો) / HCF(હરો) | અપૂર્ણાંક LCM |
| 3. અપૂર્ણાંકોનો HCF = HCF(અંશો) / LCM(હરો) | અપૂર્ણાંક HCF |
| 4. (a×b×c) ÷ m નો શેષ = [(a mod m)(b mod m)(c mod m)] mod m | ગુણાકારનો શેષ |
| 5. યુલર: a^φ(m) ≡ 1 (mod m) જો gcd(a,m)=1 | મોટા ઘાતાંકનો શેષ |
| 6. (a + b)² = a² + 2ab + b² | બીજગણિત અને ઝડપી વર્ગ |
| 7. a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) | ઘનસમ |
| 8. a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) | ઘનાંતર |
| 9. પ્રથમ n વિષમ સંખ્યાઓનો સરવાળો = n² | પેટર્ન ઓળખ |
| 10. 1 + 2 + … + n = n(n+1)/2 | અંકશ્રેણી |
મેમરી ટ્રિક્સ
- “L-H Product”: LCM અને HCF હંમેશાં બે સંખ્યાઓના ગુણાકારને આપે છે.
- “Even-Prime Lonely 2”: એકમાત્ર સમ અવિભાજ્ય → 2 (2 એકલું ઊભું છે એવી કલ્પના કરો).
- “11 Jump-Frog”: 11 વિભાજ્યતા માટે, અંકો પાડોશી પર કૂદીને બાદ કરો.
- “4-Cycle Last Digit”: એકમ અંક દર 4 ઘાતાંકે પુનરાવૃત્ત થાય → ઘાતાંકને 4 વડે ભાગો, શેષ ઉપયોગ કરો.
- “LCM tops, HCF bottoms”: અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે, LCM અંશોનો LCM હરોના HCF પર લે છે (અને HCF માટે વિરુદ્ધ).
સામાન્ય ભૂલો
| ભૂલ | યોગ્ય અભિગમ |
|---|---|
| 1ને અભાજ્ય ગણવું | 1 પાસે માત્ર એક અવયવ છે; અભાજ્ય સંખ્યાઓને બરાબર બે જોઈએ. |
| પૂર્ણ અને નેચરલ સંખ્યામાં 0ને અવગણવું | 0 પૂર્ણ છે પણ નેચરલ નથી. |
| પુનરાવૃત્ત દશાંશમાં અંકો રદ કરવા | 0.333… ≠ 0.33; અપૂર્ણાંક 1/3 વાપરો. |
| બાઈનરી રૂપાંતરમાં શેષો ઉલટાવવાનું ભૂલવું | શેષો નીચેથી ઉપર સંગ્રહ કરો. |
| ત્રણ કે વધુ સંખ્યાઓ માટે LCM સૂત્ર સીધું લાગુ કરવું વગર pairwise HCF તપાસ્યા | અભાજ્ય અવયવ પદ્ધતિ અથવા ક્રમિક LCM વાપરો. |
છેલ્લી ઘડીની ટિપ્સ
- Rule-of-9 ચેક: ઝડપી ગણતરી ચકાસવા માટે 9 બહાર કાઢો.
- એકમ અંક પહેલા: જવાબ વિકલ્પો છેલ્લા અંકમાં અલગ હોય → માત્ર એકમ અંક શોધો, સમય બચાવો.
- ગુણાકાર પહેલાં રદ કરો: અપૂર્ણાંક કામ ઘટાડે અને મોટી સંખ્યાઓથી બચે.
- 50 સુધી અભાજ્ય કોષ્ટક: યાદ રાખો 2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47.
- 60-સેકન્ડ સ્કેન: “શેષ”, “વિભાજ્યતા”, “LCM”, “HCF” જેવા કીવર્ડ્સ માટે ઝલક → મેચિંગ સૂત્ર સીધું પસંદ કરો.
ઝડપી અભ્યાસ (5 MCQs)
1. 3, 5 અને 7 વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય થતી સૌથી નાની 3-અંકીય સંખ્યા શું છે?
LCM(3,5,7)=105. જવાબ: 105
2. જો 3⁷⁵ ને 10 વડે વિભાજિત કરવામાં આવે, તો શેષ શું છે?
3 નો એકમ અંક 3-9-7-1 ચક્ર કરે છે. 75 mod 4 = 3 → 7. શેષ = 7
3. 2/3, 4/9 અને 5/6 નો HCF શું છે?
HCF(2,4,5)=1; LCM(3,9,6)=18 → HCF = 1/18
4. પ્રથમ 20 વિષમ સંખ્યાઓનો યોગ બરાબર?
n² = 20² = 400
5. 50 અને 60 વચ્ચે કેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે?
53, 59 → 2
BETA
