قدیم ہندوستانی ریاضی دانوں کی کامیابیوں اور ان کے ہم پر احسانات کے بارے میں ہمیں فی الحال بہت کم معلومات ہیں۔ قدیم دور میں ہندوستانیوں کے ریاضی کے کاموں پر ایک نظر ڈالنے سے ان کی کامیابیوں پر حیرت ہوتی ہے۔ اس سے ہمیں یہ بھی احساس ہوتا ہے کہ قدیم دور میں ہندوستان میں اسے کتنا اہم سمجھا جاتا تھا۔ مثال کے طور پر، اب یہ عام طور پر تسلیم کیا جاتا ہے کہ عددی علامت کا اعشاری مقامی قدر نظام ہندوستانیوں نے ایجاد کیا اور پہلی بار استعمال کیا تھا۔

یہ باب عیسوی دور کے سترہویں صدی تک ہندوستان میں ریاضی کے کچھ اہم شعبوں کی نشوونما اور ترقی کے بارے میں کافی اچھا اندازہ دے گا۔

قدیم ہندوستان کا ایک جھلک

موہنجودڑو میں دریافتوں سے پتہ چلتا ہے کہ 3000 قبل مسیح میں بھی سندھو سرزمین کے رہنے والے انتہائی منظم زندگی گزارتے تھے۔ درحقیقت، وہ اس دور کے کسی بھی دوسرے لوگوں سے زیادہ ترقی یافتہ تھے۔ براہمن ادب (2000 قبل مسیح) جو ویدوں کے بعد آتا ہے، جزوی طور پر رسمی اور جزوی طور پر فلسفیانہ ہے۔ اس براہمن دور کے بعد مسلسل ترقی اور شاندار کامیابیاں دو ہزار سال سے زیادہ عرصے تک ہوتی رہیں۔ ریاضی یا علم کے کسی بھی دوسرے شعبے کی ثقافت کو روحانی علم کے لیے رکاوٹ نہیں سمجھا جاتا تھا۔

گانیتا (ریاضی) کی ثقافت کو اہمیت جینوں نے بھی دی ہے۔ ان کے مذہبی ادب میں گنیت انویوگ شامل ہے۔ سنکھیان کا علم

براہمن چار ویدوں کے منتروں پر تفسیروں پر مشتمل قدیم ہندوستانی متون کا مجموعہ ہے۔

جین پجاری کی اہم کامیابیوں میں سے ایک بتایا جاتا ہے۔ بدھ ادب میں بھی، حساب (گننا سنکھیان) کو فنون میں سب سے پہلا اور سب سے عظیم سمجھا جاتا ہے۔ یہ سب قدیم ہندوستان میں گنیت کی ثقافت پر دی جانے والی اہمیت اور قدر کا مناسب اندازہ دیں گے۔

عددی علامت نگاری کی ترقی

بہت قدیم زمانے سے، ہندوستان میں گنتی کی بنیاد دس رہی ہے۔ یہ ہندوستان کی خصوصیت بھی ہے کہ بہت بڑے اعداد کے ناموں کی ایک لمبی سیریز پائی گئی ہے۔ یجروید سامھتا اور کئی دیگر ویدی کاموں میں $$\frac{1}{\text { line of quotients }}$$ جتنے بڑے عددی ناموں کے استعمال کا حوالہ اس نتیجے پر پہنچنے کے لیے کافی بنیاد فراہم کرتا ہے کہ، اس دور میں بھی، ہندوستانیوں کے پاس عددی علامتوں کا ایک اچھی طرح ترقی یافتہ نظام ضرور رہا ہوگا۔ اشوک کے کتبوں پر لکھائی سے پتہ چلتا ہے کہ اس کے زمانے میں ہندوستان میں عددی علامتوں کا استعمال کافی عام تھا۔

عددی علامتوں کی شکلوں میں تغیرات سے پتہ چلتا ہے کہ علامتیں طویل عرصے سے استعمال میں رہی ہیں۔ براہمی اعداد محض ہندوستانی ایجاد ہیں۔ ان علامتوں کے بارے میں ہمارا علم اشوک بادشاہ (300 قبل مسیح) کے زمانے تک جاتا ہے، جس کی وسیع سلطنت پورے ہندوستان پر محیط تھی اور شمال میں وسطی ایشیا تک پھیلی ہوئی تھی۔ پہلی یا دوسری صدی عیسوی کے اعداد پر مشتمل کئی کتبے اس وقت کی بمبئی پریزیڈنسی کے ناسک ضلع کے ایک غار میں ملے ہیں۔ براہمی علامت نگاری میں 1، 2 اور 3 اعداد کو ایک دوسرے کے نیچے رکھی گئی ایک، دو اور تین افقی لکیروں سے ظاہر کیا جاتا تھا۔

آریہ بھٹ

اب یہ واضح ہے کہ ہندوستان میں ریاضی کی ایک طویل روایت ہے۔ تاہم، عیسوی دور $500-1200$ انتہائی دلچسپ ہے اس لحاظ سے کہ اسے ہندوستانی ریاضی کا سنہری (سدھانتیک) دور کہا جاتا ہے۔ یہ آریہ بھٹ اول سے شروع ہوتا ہے، جو 496 عیسوی میں پیدا ہوئے، ایک رہنما ریاضی دان تھے جو علم کے منظم جمع اور تنظیم کے لیے جانے جاتے ہیں، اور بھاسکر دوم پر ختم ہوتا ہے جو 1114 عیسوی میں پیدا ہوئے جنہوں نے ریاضی کے علم کو مضبوط بنیادوں پر استوار کیا۔ ان کے درمیان کے ریاضی دان وراہمہیر (505 عیسوی)، بھاسکر اول (600 عیسوی)، برہما گپت (628 عیسوی)، مہاویر (850 عیسوی)، شری دھر (850 عیسوی)، شری پتی (1039 عیسوی) بھی اتنے ہی مشہور تھے۔

آریہ بھٹ اول کی آریہ بھٹیہ کے دو حصے ہیں- دشگیتیکے (اعشاری پیمانے پر کچھ ضروری پیرامیٹرز اور صفر کی دریافت، مثلثیات کے عناصر) اور گنیت (آٹھ بنیادی عمل، مستوی ہندسہ، الجبرائی مساوات اور ان کے حل)۔ برہما گپت کی برہما سپھوٹ سدھانت میں دو حصے ہیں- گنیت (ریاضی) اور کٹٹک (پلورائزر)، جبکہ بھاسکر دوم نے دو الگ الگ کام لکھے، للاوندی (ریاضی) اور بیج گنیت (الجبرا)، جو ظاہر کرتے ہیں کہ اس دور میں ریاضی کا علم کس طرح حجم میں پھیلا ہے۔

صفر کی علامت آریہ بھٹ اول (496 عیسوی میں پیدا ہوئے) نے اعداد کی اعشاری شکل کے حوالے سے دریافت کی۔ آریہ بھٹ اول کہتے ہیں، “خالی جگہوں کو ایک دائرے سے بھرنا چاہیے” جو “شونیا” جیسی لگتی ہے۔ اس کی وضاحت ان کے شارح بھاسکر اول (600 عیسوی) نے کی ہے۔ اس نے واقعی ریاضیاتی حساب میں انقلاب برپا کر دیا اور نو عددی علامتوں اور صفر کے ساتھ اعداد کو ظاہر کرنے کی پوری تکنیک کو آسان بنا دیا۔

حساب

حساب پاٹی گنیت کا بڑا حصہ بناتا ہے۔ لفظ پاٹی گنیت الفاظ پاٹی، جس کا مطلب ‘تختی’ ہے، اور گنیت، جس کا مطلب ‘حساب کی سائنس’ ہے، سے مل کر بنا ایک مرکب لفظ ہے۔ اس طرح اس کا مطلب ہے حساب کی وہ سائنس جس میں لکھنے کے مواد (تختی) کے استعمال کی ضرورت ہو۔ ریاضیاتی حسابات کو کبھی کبھی دھولی کارما (‘دھول کا کام’) کہا جاتا تھا، کیونکہ اعداد کو تختی پر یا زمین پر پھیلی ہوئی دھول پر لکھا جاتا تھا۔ برہما گپت کے مطابق پاٹی گنیت میں بیس عملیات اور آٹھ تعینات ہیں۔ وہ کہتے ہیں: “جو شخص بیس منطقیات، یعنی جمع، وغیرہ، اور (سایہ کے ذریعے پیمائش سمیت) آٹھ تعینات کو الگ الگ اور واضح طور پر جانتا ہے، وہ ایک ریاضی دان ہے۔” آریہ بھٹ اول (499 عیسوی) پہلے شخص تھے جنہوں نے اپنے سدھانت، آریہ بھٹیہ میں ریاضی کا ایک حصہ شامل کیا۔ برہما گپت (628 عیسوی) نے اس سلسلے میں آریہ بھٹ کی پیروی کی، اور ان کے بعد سدھانت کے کام میں ریاضی کا ایک حصہ شامل کرنا عام رواج بن گیا۔

ہندوستان میں، خاص طور پر سائنسی معاملات میں، تحریر کی اختصار کو علماء کی نظر میں زیادہ اہمیت حاصل تھی۔ اسی وجہ سے ہندوستانی تصانیف میں صرف معلق فارمولوں اور نتائج کا ایک مختصر بیان ہوتا ہے، کبھی کبھی اتنا مختصر اظہار کہ سمجھنا مشکل ہو۔ یہ اختصار پرانے کاموں میں زیادہ نمایاں ہے؛ مثال کے طور پر، آریہ بھٹیہ کی تشریح بعد کے کاموں سے زیادہ مختصر ہے۔

برہما گپت

قدیم گنیت کے آٹھ بنیادی عملیات یہ ہیں: (1) جمع، (2) تفریق، (3) ضرب، (4) تقسیم، (5) مربع، (6) مربع جذر، (7) مکعب اور (8) مکعب جذر۔ آریہ بھٹ اول نے صرف مربع اور مکعب جذر نکالنے کے قواعد دیے، جبکہ برہما گپت نے صرف مکعب جذر کا قاعدہ دیا۔

یہ کہ تمام ریاضیاتی عملیات جمع اور تفریق کے دو بنیادی عملیات کی مختلف شکلیں ہیں، قدیم زمانے سے ہی ہندوستانی ریاضی دانوں نے تسلیم کیا تھا۔ بھاسکر اول بیان کرتے ہیں کہ-“تمام حسابی عملیات دو اقسام میں حل ہو جاتی ہیں، حالانکہ عام طور پر چار سمجھی جاتی ہیں۔ دو اہم اقسام اضافہ اور کمی ہیں۔ جمع اضافہ ہے اور تفریق کمی ہے۔ عملیات کی یہ دو اقسام پوری ریاضی (گنیت) میں سرایت کرتی ہیں۔” اس لیے پچھلے اساتذہ نے کہا ہے: “ضرب اور جذر اضافہ کی خاص اقسام ہیں؛ اور تقسیم و قوت نما تفریق کی۔ یقیناً ہر ریاضیاتی عمل میں اضافہ اور کمی پر مشتمل ہونا پہچانا جائے گا۔”

جمع

آریہ بھٹ دوم جمع کی تعریف کرتے ہیں- “کئی اعداد کو ایک بنانا جمع ہے”۔ جمع کا قدیم نام سَمکَلِت (ایک ساتھ بنایا ہوا) ہے۔ عام طور پر استعمال ہونے والے دیگر مترادف الفاظ سَمکَلَن (ایک ساتھ بنانا)، مِشرَن (ملانا)، سَم میلَن (ایک ساتھ ملانا)، پرَکشیپَن (ایک ساتھ پھینکنا)، سَم یوجَن (جوڑنا)، ایکی کرَن (ایک بنانا)، یُکتی، یوگ (جمع) اور اَبھیاس، وغیرہ ہیں۔ لفظ سَمکَلِت کو کچھ مصنفین نے سلسلے کے مجموعے کے عمومی معنوں میں استعمال کیا ہے۔

تمام ریاضیاتی اور فلکیاتی کاموں میں، جمع کے عمل کا علم مسلمہ لیا جاتا ہے۔ اس کا بہت مختصر ذکر کچھ بعد کے ابتدائی نوعیت کے کاموں میں کیا گیا ہے۔ اس طرح بھاسکر دوم للاوندی میں کہتے ہیں: “براہ راست یا الٹے ترتیب میں ایک ہی مقامات پر اعداد کو جمع کریں۔” اوپر بیان کردہ جمع کے براہ راست عمل میں، جمع کیے جانے والے اعداد نیچے لکھے جاتے ہیں، اور نیچے ایک لکیر کھینچی جاتی ہے، جس کے نیچے مجموعہ لکھا جاتا ہے۔ پہلے اکائیوں کے مقام پر کھڑے اعداد کا مجموعہ لکھا جاتا ہے، اس طرح مجموعے کا پہلا عدد مل جاتا ہے۔ پھر دہائیوں کے مقام کے اعداد کو ایک ساتھ جمع کیا جاتا ہے اور ان کے مجموعے کو لکیر کے نیچے کھڑے جزوی مجموعے کے دہائیوں کے مقام کے عدد میں جمع کر دیا جاتا ہے اور نتیجہ اس کی جگہ پر رکھ دیا جاتا ہے۔ اس طرح مجموعے کے دہائیوں کا عدد حاصل ہو جاتا ہے، اور اسی طرح آگے۔

جمع کے الٹے عمل میں، آخری مقام (بالکل بائیں) پر کھڑے اعداد کو جمع کیا جاتا ہے اور نتیجہ اس آخری مقام کے نیچے رکھ دیا جاتا ہے۔ پھر اگلے مقام کے اعداد جمع کیے جاتے ہیں اور عمل جاری رہتا ہے۔ جزوی مجموعے کے اعداد کو، اگر ضروری ہو تو، درست کیا جاتا ہے جب اگلی عمودی قطار کے اعداد جمع کیے جاتے ہیں۔ مثال کے طور پر، اگر آخری مقام کے اعداد کا مجموعہ 12 ہو، تو 12 نیچے والی لکیر کے نیچے رکھ دیا جاتا ہے، 2 براہ راست جمع کیے گئے اعداد کے نیچے؛ پھر، اگر اگلے مقام کے اعداد کا مجموعہ 13 (فرض کریں) ہو، تو 3 جمع کیے گئے اعداد کے نیچے رکھ دیا جاتا ہے اور 1 بائیں طرف منتقل کر دیا جاتا ہے۔ اس طرح، جزوی مجموعہ 12 کا عدد 2 مٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ 3 رکھ دیا جاتا ہے۔ آئیے $26+57$ معلوم کریں۔

براہ راست عمل

$ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

الٹا عمل

$ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{مرحلہ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

سوال۔ مذکورہ بالا طریقوں سے مندرجہ ذیل جمع انجام دیں۔ موجودہ دور کے طریقے سے اپنے جوابات کا موازنہ کریں۔

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

تفریق

آریہ بھٹ دوم (950 عیسوی) تفریق کی تعریف کرتے ہیں:

“سرو دھن (کل) سے (کچھ عدد) نکالنا تفریق ہے؛ جو باقی رہتا ہے اسے شیش (باقی) کہتے ہیں۔” تفریق کے لیے وِیُتکَلِت (الگ بنایا ہوا)، وِیُتکَلَن (الگ کرنا)، شودھن (صاف کرنا)، پَٹَن (گرانا)، وِیوگ (جدائی)، وغیرہ اصطلاحات استعمال ہوئی ہیں۔ باقی کے لیے شیش (بقیہ) اور انتر (فرق) کی اصطلاحات استعمال ہوئی ہیں۔ منیوینڈ کو سرو دھن یا وِیوجیا اور سبٹراہینڈ کو وِیوجک کہا گیا ہے۔

بھاسکر دوم تفریق کا طریقہ اس طرح دیتے ہیں: “اعداد کو ان کے مقامات کے مطابق براہ راست یا الٹے ترتیب میں منہا کریں۔” براہ راست عمل کی وضاحت ایک مثال کی مدد سے کی جاتی ہے، فرض کریں، $1000-360$۔ دہائیوں کے مقام پر کھڑے صفر سے چھ منہا نہیں کیا جا سکتا، اس لیے دس لے کر اس میں سے چھ منہا کرنے پر، باقی (چار) کو (چھ) کے نیچے رکھ دیا جاتا ہے، اور اس دس کو اگلے مقام سے منہا کرنا ہوتا ہے۔

کیونکہ، جیسے اکائی وغیرہ کے مقام دس کے ضربی ہیں، اس لیے سبٹراہینڈ کا وہ عدد جو منیوینڈ کے متعلقہ عدد سے منہا نہیں کیا جا سکتا، اسے دس سے منہا کیا جاتا ہے، باقی لیا جاتا ہے اور یہ دس اگلے مقام سے منہا کر دی جاتی ہے۔ اس طرح یہ دس آخری مقام تک لے جائی جاتی ہے جب تک کہ یہ آخری عدد کے ساتھ ختم نہ ہو جائے۔ دوسرے لفظوں میں، نو تک کے اعداد ایک مقام پر ہوتے ہیں، مقامات کی تفریق دس سے شروع ہوتی ہے، اس لیے معلوم ہوتا ہے کہ ‘یہاں ایک دیے گئے عدد میں کتنے دس ہیں’، اور اس لیے، جو عدد اپنے مقام سے منہا نہیں کیا جا سکتا، اسے اگلے دس سے منہا کیا جاتا ہے، اور باقی لے لیا جاتا ہے۔"

الٹا عمل اسی طرح کا ہے، فرق صرف یہ ہے کہ “یہ منیوینڈ کے آخری مقام سے شروع ہوتا ہے، اور پہلے حاصل کردہ جزوی فرقوں کو، اگر ضروری ہو تو، درست کیا جاتا ہے۔ یہ عمل پاٹی (تختی) پر کام کرنے کے لیے موزوں ہے جہاں اعداد کو آسانی سے مٹایا اور درست کیا جا سکتا ہے۔”

سوال۔ تفریق انجام دیں:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

ضرب

ضرب کا عام ہندوستانی نام گُنان ہے۔ یہ اصطلاح قدیم ترین معلوم ہوتی ہے کیونکہ یہ ویدی ادب میں آتی ہے۔ ہَنَن، وَدھ، کشیہ، وغیرہ اصطلاحات، جن کا مطلب ‘مارنا’ یا ‘تباہ کرنا’ ہے، ضرب کے لیے بھی استعمال ہوئی ہیں۔ یہ اصطلاحات اعشاری مقامی قدر اعداد کے ساتھ ضرب کے نئے طریقے کی ایجاد کے بعد رائج ہوئیں؛ کیونکہ نئے طریقے میں، ضرب میں آنے والے عدد کے اعداد کو کامیابی سے مٹایا (تباہ) جاتا تھا اور ان کی جگہ حاصل ضرب کے اعداد لکھے جاتے تھے۔ ہَنَن (مارنا) کے مترادفات آریہ بھٹ اول (499 عیسوی)، برہما گپت (628 عیسوی)، شری دھر (750 عیسوی)، اور بعد کے مصنفین نے استعمال کیے ہیں۔ یہ اصطلاحات بکشالی مخطوطے میں بھی آتی ہیں۔ قدیم اصطلاحات ثابت کرتی ہیں کہ ضرب کی تعریف یہ تھی: ‘ضرب میں آنے والے عدد کی اتنی بار تکرار پر مشتمل جمع کا ایک عمل جتنا ضرب کرنے والے عدد کا عدد ہو۔’ یہ تعریف آریہ بھٹیہ کی بھاسکر اول کی تفسیر میں آتی ہے۔

ضرب میں آنے والے عدد کو گُنیا اور ضرب کرنے والے عدد کو گُنَک یا گُنَکار کہا جاتا تھا۔ حاصل ضرب کو گُنان-پھل (ضرب کا نتیجہ) یا پرَتیُتپَن (‘دوبارہ پیدا ہوا’، اس لیے حساب میں ‘ضرب سے دوبارہ پیدا ہوا’) کہا جاتا تھا۔

ضرب کے طریقے

برہما گپت چار طریقے بتاتے ہیں: (1) گومُتری کا، (2) کھنڈ، (3) بھیڈ، اور (4) اِشتا۔ آریہ بھٹ دوم (950 عیسوی) نے طریقے کا نام نہیں دیا اور بیان کیا: “ضرب کرنے والے عدد کا پہلا عدد ضرب میں آنے والے عدد کے آخری عدد کے اوپر رکھیں، اور پھر ضرب کرنے والے عدد کے تمام اعداد کو ضرب میں آنے والے عدد کے ہر عدد سے کامیابی سے ضرب دیں۔”

شری پتی (1039 عیسوی) کپٹ-سندھی کا نام دیتے ہیں اور بیان کرتے ہیں: “ضرب میں آنے والے عدد کو ضرب کرنے والے عدد کے نیچے رکھیں جیسے دو دروازوں کے جوڑ میں، (ضرب میں آنے والے عدد کے اعداد کو) براہ راست یا الٹے ترتیب میں حرکت دے کر کامیابی سے ضرب دیں۔”

درج ذیل مثالوں کپٹ-سندھی منصوبے کے مطابق ضرب کے دو عمل کی وضاحت کرتی ہیں:

براہ راست عمل: کام کرنے کا یہ طریقہ مقبول نہیں لگتا۔ گیارہویں صدی کے بعد کے مصنفین نے اس کا ذکر نہیں کیا، شری پتی (1039 عیسوی) اس کا ذکر کرنے والے آخری مصنف ہیں۔

مثال: 135 کو 12 سے ضرب دیں۔

اعداد پاٹ $i$ پر اس طرح لکھے جاتے ہیں:

12

135

ضرب میں آنے والے عدد کا پہلا (یعنی دائیں طرف کا) عدد (5) لیا جاتا ہے اور ضرب کرنے والے عدد کے اعداد سے ضرب دیا جاتا ہے۔ اس طرح

$5 \times 2=10 ; 0$ کو 2 کے نیچے لکھا جاتا ہے، اور 1 آگے منتقل کرنا ہوتا ہے۔

پھر $5 \times 1=5$؛ 1 (منتقل شدہ) کو جمع کرنے پر، ہمیں 6 ملتا ہے۔ عدد 5، جو اب درکار نہیں ہے، مٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ 6 لکھ دیا جاتا ہے۔ اس طرح، ہمارے پاس ہے:

12

1360

پھر ضرب کرنے والے عدد کو ایک مقام بائیں طرف منتقل کیا جاتا ہے، اور ہمارے پاس ہے:

12

1360

اب، 12 کو 3 سے ضرب دیا جاتا ہے۔ تفصیلات یہ ہیں: $3 \times 2=6$؛ یہ 6 عدد 2 کے نیچے والے عدد 6 میں جمع کرنے پر 12 دیتا ہے۔ 6 مٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ 2 رکھ دیا جاتا ہے۔ 1 آگے منتقل کر دیا جاتا ہے۔ پھر $3 \times 1=3$؛ 3 جمع 1 (منتقل شدہ) $=4$۔ 3 مٹا دیا جاتا ہے اور 4 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے۔ ضرب کرنے والے عدد 12 کو ایک اور مقام بائیں طرف منتقل کرنے کے بعد، پاٹی پر اعداد اس طرح کھڑے ہوتے ہیں:

12

1420

پھر، $1 \times 2=2 ; 2+4=6 ; 4$ مٹا دیا جاتا ہے اور 6 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے۔ $1 \times 1=1$، جو 6 کے بائیں طرف رکھا جاتا ہے۔

چونکہ عمل ختم ہو گیا ہے، 12 مٹا دیا جاتا ہے اور پاٹی پر حاصل ضرب 1620 ہوتا ہے۔

اس طرح اعداد 12 اور 135 مارے گئے ہیں اور ایک نیا عدد 1620 پیدا (پرَتیُتپَن) ہوا ہے۔

الٹا عمل: الٹے طریقے کی دو اقسام معلوم ہوتی ہیں۔

(الف) پہلی میں، اعداد اس طرح لکھے جاتے ہیں:

12

135

ضرب ضرب میں آنے والے عدد کے آخری (یعنی بائیں طرف کے) عدد سے شروع ہوتی ہے۔

اس طرح $1 \times 2=2 ; 1$ مٹا دیا جاتا ہے اور 2 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے؛ پھر $1 \times 1=1$، یہ بائیں طرف لکھا جاتا ہے؛ ضرب کرنے والے عدد 12 کو اگلے عدد پر منتقل کیا جاتا ہے۔ پاٹی پر کام اب ہوگا:

12 1235

پھر، $3 \times 2=6 ; 3$ مٹا دیا جاتا ہے اور 6 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے؛ پھر $3 \times 1=3$ اور $3+2=5 ; 2$ مٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ 5 رکھ دیا جاتا ہے۔ ضرب کرنے والے عدد کے منتقل ہونے کے بعد، پاٹی پر کام اب ہے:

12

1565

اب، $5 \times 2=10 ; 5$ مٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ 0 رکھ دیا جاتا ہے؛ پھر $5 \times 1=5 ; 5+1=6 ; 6+6=12 ; 6$ مٹا دیا جاتا ہے اور 2 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے، اور 1 آگے منتقل کر دیا جاتا ہے؛ پھر $1+5=6,5$ مٹا دیا جاتا ہے اور اس کی جگہ 6 رکھ دیا جاتا ہے۔ پاٹی پر اب حاصل ضرب (پرَتیُتپَن) کے طور پر 1620 ہے۔ منتقل کیے جانے والے اعداد پاٹی کے ایک الگ حصے پر نوٹ کر لیے جاتے ہیں اور جمع کے بعد مٹا دیے جاتے ہیں۔

(ب) دوسرے طریقے میں، جزوی ضربیں (یعنی ضرب میں آنے والے عدد کے اعداد سے ضربیں) براہ راست طریقے سے انجام دی جاتی ہیں۔ تاہم، یہ جزوی ضربیں الٹے طریقے سے انجام دی گئی معلوم ہوتی ہیں، یہ عام رواج تھا۔

براہ راست اور بالواسطہ عمل استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل اعداد کو ضرب دیں۔ جدید دور کے ضرب کی تکنیک استعمال کر کے جواب چیک کریں:

(i) $345 \times 27$

(ii) $678 \times 45$

(iii) $756 \times 98$

تقسیم

تقسیم کو ضرب کا الٹ سمجھا جاتا تھا۔ اس عمل کے عام ہندوستانی نام بھاگ ہارا، بھاجَن، ہَرَن، چھیڈَن، وغیرہ ہیں۔ ان تمام اصطلاحات کا لفظی مطلب ہے ‘حصوں میں توڑنا’، یعنی ‘تقسیم کرنا’، سوائے ہَرَن کے، جس کا مطلب ہے ‘لے جانا’۔ یہ اصطلاح تقسیم کا تفریق سے تعلق ظاہر کرتی ہے۔ تقسیم ہونے والے عدد کو بھاجیہ، ہاریہ، وغیرہ کہا جاتا ہے، تقسیم کرنے والے عدد کو بھاجَک، بھاگ ہارا یا صرف ہَر کہا جاتا ہے، اور حاصل تقسیم کو لَبْدھی کہا جاتا ہے، جس کا مطلب ہے ‘جو حاصل ہوا’ یا لَبْدھ۔

لمبی تقسیم کا طریقہ

درج ذیل مثال ہندوستانی طریقے سے پاٹی پر عمل انجام دینے کی وضاحت کرے گی:

مثال: 1620 کو 12 سے تقسیم کریں۔

تقسیم کرنے والے عدد 12 کو تقسیم ہونے والے عدد کے نیچے اس طرح رکھا جاتا ہے: 1620

12

عمل تقسیم ہونے والے عدد کے بالکل بائیں طرف سے شروع ہوتا ہے، جو اس معاملے میں 16 ہے۔ اس 16 کو 12 سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ حاصل تقسیم 1 ایک الگ قطار میں رکھ دیا جاتا ہے۔ اس طرح، جزوی حاصل تقسیم 1 لکھنے کے بعد، طریقہ کار یہ ہے:

1620

12 1

حاصل تقسیم کی قطار

16 مٹا دیا جاتا ہے اور باقی 4 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے۔ تفریق اعداد کو کامیابی سے مٹا کر کی جاتی ہے جیسے جیسے منہا کیے جانے والے حاصل ضرب کا ہر عدد حاصل ہوتا ہے، $p \bar{a} t i$ پر اعداد ہیں:

420

12

$$\frac{1}{\text { line of quotients }}$$

تقسیم کرنے والے عدد 12 کو اب ایک مقام دائیں طرف منتقل کیا جاتا ہے جس سے ملتا ہے: 420

12

$$ \frac{1}{\text { line of quotients }} $$

42 کو پھر 12 سے تقسیم کیا جاتا ہے۔ نتیجے میں حاصل تقسیم 3 ‘حاصل تقسیم کی قطار’ میں رکھ دیا جاتا ہے، 42 مٹا دیا جاتا ہے اور باقی 6 اس کی جگہ رکھ دیا جاتا ہے۔ اعداد اب اس طرح کھڑے ہوتے ہیں:

12

$$ \begin{equation*} \frac{13}{\text { line of quotients }} \tag{60} \end{equation*} $$

تقسیم کرنے والے عدد کو ایک مقام دائیں طرف منتقل کرنے سے، ہمارے پاس ہے 60

12

پہلے کی طرح تقسیم انجام دینے کے بعد، نتیجے میں حاصل تقس