പ്രാചീന ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ നേട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവരോടുള്ള നമ്മുടെ കടപ്പാടിനെക്കുറിച്ചും ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അറിയാവുന്നത് വളരെ കുറവാണ്. പുരാതന കാലഘട്ടത്തിൽ ഇന്ത്യക്കാർ ഗണിതത്തിൽ ചെയ്ത പ്രവൃത്തികൾ നോക്കിയാൽ അവരുടെ നേട്ടങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആശ്ചര്യപ്പെടാതിരിക്കാനാവില്ല. പുരാതന ഇന്ത്യയിൽ അത് എത്ര പ്രധാനപ്പെട്ടതായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നുവെന്നും ഇത് നമ്മെ മനസ്സിലാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ദശാംശ സ്ഥാനവില സംഖ്യാസൂചനാ സമ്പ്രദായം ഇന്ത്യക്കാരാണ് കണ്ടുപിടിച്ചതും ആദ്യമായി ഉപയോഗിച്ചതുമെന്ന് ഇപ്പോൾ പൊതുവെ സമ്മതിക്കപ്പെടുന്നു.

ക്രിസ്തുവർഷത്തിന്റെ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ട് വരെയുള്ള, അറിയപ്പെടുന്ന ഏറ്റവും പുരാതന കാലം മുതൽ ഇന്ത്യയിലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചില പ്രധാന മേഖലകളുടെ വളർച്ചയും വികാസവും ഈ അദ്ധ്യായം വളരെ നല്ല ധാരണ നൽകും.

പ്രാചീന ഇന്ത്യയുടെ ഒരു വീക്ഷണം

മൊഹൻജൊദാരോയിലെ കണ്ടെത്തലുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നത്, ക്രി.മു. 3,000 ലേക്കും മുമ്പുതന്നെ, സിന്ധു നദീതടത്തിലെ നിവാസികൾ ഉയർന്ന ക്രമീകൃത ജീവിതം നയിച്ചിരുന്നുവെന്നാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ആ കാലഘട്ടത്തിലെ മറ്റേത് ജനതയെക്കാളും അവർ കൂടുതൽ മുന്നേറിയവരായിരുന്നു. വേദങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള ബ്രാഹ്മണ സാഹിത്യം (ക്രി.മു. 2000) ഭാഗികമായി ആചാരപരവും ഭാഗികമായി തത്ത്വചിന്താപരവുമാണ്. ഈ ബ്രാഹ്മണ കാലഘട്ടത്തിന് ശേഷം രണ്ടായിരത്തിലധികം വർഷങ്ങളായി തുടർച്ചയായ പുരോഗതിയും തിളക്കമാർന്ന നേട്ടങ്ങളും നേടി. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെയോ മറ്റേതെങ്കിലും അറിവിന്റെ ശാഖയുടെയോ സംസ്കാരം, ആത്മീയ അറിവിന് തടസ്സമാകുമെന്ന് കണക്കാക്കപ്പെട്ടിരുന്നില്ല.

ജൈനരും ഗണിതത്തിന്റെ (ഗണിത) സംസ്കാരത്തിന് പ്രാധാന്യം നൽകുന്നു. അവരുടെ മതപരമായ സാഹിത്യത്തിൽ ഗണിതാനുയോഗ ഉൾപ്പെടുന്നു. സൈങ്ഖ്യാന അറിവ്

ബ്രാഹ്മണരെന്നത് നാല് വേദങ്ങളുടെ സ്തോത്രങ്ങളിലെ വ്യാഖ്യാനങ്ങളുള്ള പ്രാചീന ഇന്ത്യൻ ഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ ഒരു സമാഹാരമാണ്.

ജൈന പുരോഹിതന്റെ പ്രധാന നേട്ടങ്ങളിലൊന്നായി പ്രസ്താവിക്കപ്പെടുന്നു. ബുദ്ധമത സാഹിത്യത്തിലും, ഗണിതം (ഗണനാ സമിഖ്യാന) കലകളിൽ ആദ്യത്തേതും ഏറ്റവും ഉന്നതവുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പുരാതന ഇന്ത്യയിൽ ഗണിതത്തിന്റെ സംസ്കാരത്തിന് നൽകിയിരുന്ന പ്രാധാന്യത്തിന്റെയും മൂല്യത്തിന്റെയും ഒരു നല്ല ധാരണ ഇവയെല്ലാം നൽകും.

സംഖ്യാസങ്കേതങ്ങളുടെ വികാസം

വളരെ പുരാതന കാലം മുതൽ, പത്ത് ഇന്ത്യയിൽ സംഖ്യാസൂചനയുടെ അടിസ്ഥാനമായിരുന്നു. വളരെ ഉയർന്ന സംഖ്യകളുടെ നീണ്ട പരമ്പരയിലുള്ള സംഖ്യാനാമങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട് എന്നതും ഇന്ത്യയുടെ സവിശേഷതയാണ്. യജുർവേദ സംഹിതയിലും മറ്റ് നിരവധി വൈദിക ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും 10^12 വരെ വലിയ സംഖ്യാപദങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പരാമർശം, ആ വിദൂര കാലഘട്ടത്തിൽ പോലും ഇന്ത്യക്കാർക്ക് നന്നായി വികസിപ്പിച്ച സംഖ്യാസങ്കേത സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായിരുന്നിരിക്കണമെന്ന് നിഗമനത്തിലെത്താൻ മതിയായ അടിസ്ഥാനം നൽകുന്നു. അശോകന്റെ ശിലാശാസനങ്ങളിലെ എഴുത്തുകൾ അദ്ദേഹത്തിന്റെ കാലത്ത് ഇന്ത്യയിൽ സംഖ്യാസങ്കേതങ്ങളുടെ ഉപയോഗം വളരെ സാധാരണമായിരുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

സംഖ്യാചിഹ്നങ്ങളുടെ രൂപങ്ങളിലെ വ്യതിയാനങ്ങൾ, ഈ സങ്കേതങ്ങൾ വളരെക്കാലമായി ഉപയോഗത്തിലുണ്ടായിരുന്നുവെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ബ്രാഹ്മി സംഖ്യാചിഹ്നങ്ങൾ ഒരു പൂർണ്ണമായും ഇന്ത്യൻ കണ്ടുപിടിത്തമാണ്. ഈ സങ്കേതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള നമ്മുടെ അറിവ് അശോക ചക്രവർത്തിയുടെ (ക്രി.മു. 300) കാലത്തേക്ക് തിരിച്ചുപോകുന്നു, അദ്ദേഹത്തിന്റെ വിശാലമായ ഭരണപ്രദേശത്ത് മുഴുവൻ ഇന്ത്യയും ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു വടക്ക് മധ്യേഷ്യ വരെ വ്യാപിച്ചിരുന്നു. ക്രി.വ. ഒന്നാം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന നിരവധി ശിലാശാസനങ്ങൾ അന്നത്തെ ബോംബെ പ്രസിഡൻസിയിലെ നാസിക് ജില്ലയിലെ ഒരു ഗുഹയിൽ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. ബ്രാഹ്മി നൊട്ടേഷനിലെ 1, 2, 3 എന്നീ സംഖ്യകൾ ഒന്നിനു താഴെയായി സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു, രണ്ട്, മൂന്ന് തിരശ്ചീന രേഖകളാൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെട്ടിരുന്നു.

ആര്യഭടൻ

ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാണ്, ഇന്ത്യയ്ക്ക് ഒരു നീണ്ട ഗണിത പാരമ്പര്യമുണ്ടെന്ന്. എന്നിരുന്നാലും, ക്രി.വ. $500-1200$ എന്ന കാലഘട്ടം വളരെ രസകരമാണ്, കാരണം ഇത് ഇന്ത്യൻ ഗണിതത്തിന്റെ സുവർണ്ണ (സിദ്ധാന്തിക) കാലഘട്ടം എന്നറിയപ്പെടുന്നു. ഇത് ആര്യഭടൻ ഒന്നാമനിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അദ്ദേഹം ക്രി.വ. 496-ൽ ജനിച്ചു, അറിവിന്റെ വ്യവസ്ഥാപിതമായ ശേഖരണത്തിനും വ്യവസ്ഥാപിതമാക്കലിനും പേരുകേട്ട ഒരു പയനിയർ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്നു, ക്രി.വ. 1114-ൽ ജനിച്ച ഭാസ്കരൻ രണ്ടാമൻ അവസാനിക്കുന്നു, അദ്ദേഹം ഗണിതശാസ്ത്ര അറിവിന് ഒരു ദൃഢമായ അടിത്തറ നൽകി. അവർക്കിടയിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ വരാഹമിഹിരൻ (ക്രി.വ. 505), ഭാസ്കരൻ ഒന്നാമൻ (ക്രി.വ. 600), ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ക്രി.വ. 628), മഹാവീരൻ (ക്രി.വ. 850), ശ്രീധരൻ (ക്രി.വ. 850), ശ്രീപതി (ക്രി.വ. 1039) എന്നിവരും സമാനമായി പ്രശസ്തരായിരുന്നു.

ആര്യഭടൻ ഒന്നാമന്റെ ആര്യഭടീയത്തിന് രണ്ട് വിഭാഗങ്ങളുണ്ട് - ദശഗീതിക (ദശാംശ സ്കെയിലിലെ ചില അവശ്യ പാരാമീറ്ററുകളും പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തവും, ത്രികോണമിതിയുടെ മൂലകങ്ങളും) ഗണിതം (എട്ട് അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ, സമതല ജ്യാമിതി, ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളും അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളും). ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തത്തിൽ രണ്ട് വിഭാഗങ്ങളുണ്ട് - ഗണിതം (ഗണിതം) കുട്ടക (പൾവറൈസർ), അതേസമയം ഭാസ്കരൻ രണ്ടാമൻ രണ്ട് പ്രത്യേക ഗ്രന്ഥങ്ങൾ എഴുതി, ലീലാവതി (ഗണിതം) ബീജഗണിതം (ബീജഗണിതം), ഈ കാലഘട്ടത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര അറിവ് വോള്യങ്ങളിൽ എങ്ങനെ വികസിച്ചുവെന്ന് ഇവ കാണിക്കുന്നു.

പൂജ്യത്തിനുള്ള ചിഹ്നം ആര്യഭടൻ ഒന്നാമനാണ് (ക്രി.വ. 496-ൽ ജനിച്ചത്) സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ പ്രകടനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് കണ്ടെത്തിയത്. ആര്യഭടൻ ഒന്നാമൻ പറയുന്നു, “ശൂന്യമായ സ്ഥലങ്ങൾ ഒരു വൃത്തം കൊണ്ട് നിറയ്ക്കണം”, അത് “ശൂന്യ” പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. ഇത് അദ്ദേഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഭാസ്കരൻ ഒന്നാമൻ (ക്രി.വ. 600) ചിത്രീകരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഗണിത കണക്കുകൂട്ടലിൽ ഒരു വിപ്ലവം കൊണ്ടുവന്നു, ഒൻപത് സംഖ്യാചിഹ്നങ്ങളും പൂജ്യവും ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന മുഴുവൻ സാങ്കേതികവിദ്യയും ലഘൂകരിച്ചു.

ഗണിതം

ഗണിതം പാടിഗണിതത്തിന്റെ പ്രധാന ഭാഗമാണ്. പാടിഗണിതം എന്ന വാക്ക് പാടി, അർത്ഥം ‘ബോർഡ്’, ഗണിതം, അർത്ഥം ‘കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ശാസ്ത്രം’ എന്നീ വാക്കുകളിൽ നിന്ന് രൂപംകൊണ്ട ഒരു സംയുക്ത പദമാണ്. അങ്ങനെ, എഴുത്തുസാമഗ്രികളുടെ (ബോർഡ്) ഉപയോഗം ആവശ്യമുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ശാസ്ത്രമാണ് ഇത് എന്നർത്ഥം. ഗണിത കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നതിനെ ചിലപ്പോൾ ധൂലികർമ്മ (‘പൊടി-പ്രവൃത്തി’) എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു, കാരണം സംഖ്യകൾ ഒരു ബോർഡിൽ അല്ലെങ്കിൽ നിലത്ത് പരത്തിയ പൊടിയിൽ എഴുതിയിരുന്നു. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ അഭിപ്രായത്തിൽ, പാടിഗണിതത്തിൽ ഇരുപത് പ്രവർത്തനങ്ങളും എട്ട് നിർണ്ണയങ്ങളുമുണ്ട്. അദ്ദേഹം പറയുന്നു: “ഇരുപത് ലോജിസ്റ്റിക്സ്, അതായത് സങ്കലനം മുതലായവ, (നിഴൽ വഴി അളക്കൽ) ഉൾപ്പെടെയുള്ള എട്ട് നിർണ്ണയങ്ങളും വ്യക്തമായും പ്രത്യേകമായും അറിയുന്നയാൾ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്.” ആര്യഭടൻ ഒന്നാമൻ (ക്രി.വ. 499) തന്റെ സിദ്ധാന്തമായ ആര്യഭടീയത്തിൽ ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വിഭാഗം ഉൾപ്പെടുത്തിയ ആദ്യത്തെയാളാണ്. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ക്രി.വ. 628) ഈ വിഷയത്തിൽ ആര്യഭടനെ പിന്തുടർന്നു, അദ്ദേഹത്തിന് ശേഷം ഒരു സിദ്ധാന്ത ഗ്രന്ഥത്തിൽ ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വിഭാഗം ഉൾപ്പെടുത്തുന്നത് പൊതുവായ ഫാഷനായി മാറി.

ഇന്ത്യയിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് ശാസ്ത്രീയ വിഷയങ്ങളിൽ, രചനയുടെ സംക്ഷിപ്തതയ്ക്ക് പണ്ഡിതരുടെ കണ്ണിൽ കൂടുതൽ മൂല്യമുണ്ടായിരുന്നു. ഇക്കാരണത്താൽ തന്നെ, ഇന്ത്യൻ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ഫലങ്ങളുടെയും ഒരു ചുരുക്കമായ പ്രസ്താവന മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, ചിലപ്പോൾ വളരെ സംക്ഷിപ്തമായി പ്രകടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. ഈ ഒതുക്കം പഴയ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്; ഉദാഹരണത്തിന്, പിന്നീടുള്ള ഗ്രന്ഥങ്ങളിലേതിനേക്കാൾ ആര്യഭടീയത്തിലെ വിവരണം കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളതാണ്.

ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ

പ്രാചീന ഗണിതത്തിലെ എട്ട് അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇവയാണ്: (1) സങ്കലനം, (2) വ്യവകലനം, (3) ഗുണനം, (4) ഹരണം, (5) വർഗ്ഗം, (6) വർഗ്ഗമൂലം, (7) ഘനം, (8) ഘനമൂലം. ആര്യഭടൻ ഒന്നാമൻ വർഗ്ഗമൂലങ്ങളും ഘനമൂലങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ മാത്രമേ നൽകിയിട്ടുള്ളൂ, അതേസമയം ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ ഘനമൂല നിയമം മാത്രമേ നൽകിയിട്ടുള്ളൂ.

എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും സങ്കലനം, വ്യവകലനം എന്നീ രണ്ട് അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങളാണെന്ന് പുരാതന കാലം മുതൽ തന്നെ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തിരിച്ചറിഞ്ഞിരുന്നു. ഭാസ്കരൻ ഒന്നാമൻ പ്രസ്താവിക്കുന്നു - “എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും രണ്ട് വിഭാഗങ്ങളായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, എന്നിരുന്നാലും സാധാരണയായി നാലായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. രണ്ട് പ്രധാന വിഭാഗങ്ങൾ വർദ്ധനവും കുറവുമാണ്. സങ്കലനം വർദ്ധനവാണ്, വ്യവകലനം കുറവാണ്. ഈ രണ്ട് തരം പ്രവർത്തനങ്ങളും മുഴുവൻ ഗണിതത്തിലും (ഗണിത) വ്യാപിക്കുന്നു.” അതിനാൽ മുമ്പത്തെ അധ്യാപകർ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്: “ഗുണനവും വർഗ്ഗീകരണവും സങ്കലനത്തിന്റെ പ്രത്യേക തരങ്ങളാണ്; ഹരണവും ഘനീകരണവും വ്യവകലനത്തിന്റെ പ്രത്യേക തരങ്ങളാണ്. തീർച്ചയായും ഓരോ ഗണിത പ്രവർത്തനവും വർദ്ധനവും കുറവും ഉൾക്കൊള്ളുന്നതായി തിരിച്ചറിയപ്പെടും.”

സങ്കലനം

ആര്യഭടൻ രണ്ടാമൻ സങ്കലനത്തെ നിർവചിക്കുന്നത് - “നിരവധി സംഖ്യകളെ ഒന്നാക്കി മാറ്റുന്നതാണ് സങ്കലനം”. സങ്കലനത്തിനുള്ള പുരാതന നാമം സംകലിത (ഒരുമിച്ച് ചെയ്തത്) എന്നാണ്. സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന മറ്റ് തുല്യ പദങ്ങൾ സംകലന (ഒരുമിച്ച് ചെയ്യൽ), മിശ്രണ (മിശ്രണം), സമ്മേളന (ഒരുമിച്ച് കലർത്തൽ), പ്രക്ഷേപണ (ഒരുമിച്ച് എറിയൽ), സംയോജന (ഒരുമിച്ച് ചേർക്കൽ), ഏകീകരണ (ഒന്നാക്കി മാറ്റൽ), യുക്തി, യോഗ (സങ്കലനം), അഭ്യാസം മുതലായവ. ചില എഴുത്തുകാർ സംകലിത എന്ന വാക്ക് ഒരു ശ്രേണിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥത്തിൽ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്.

എല്ലാ ഗണിത, ജ്യോതിശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും, സങ്കലന പ്രക്രിയയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് സ്വാഭാവികമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രാഥമിക സ്വഭാവമുള്ള ചില പിന്നീടുള്ള ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ ഇതിനെക്കുറിച്ച് വളരെ ചുരുക്കമായി പരാമർശിക്കുന്നു. അങ്ങനെ ഭാസ്കരൻ രണ്ടാമൻ ലീലാവതിയിൽ പറയുന്നു: “നേരായ അല്ലെങ്കിൽ വിപരീത ക്രമത്തിൽ ഒരേ സ്ഥാനങ്ങളിലുള്ള സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക.” മുകളിൽ പരാമർശിച്ച നേരായ സങ്കലന പ്രക്രിയയിൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കേണ്ട സംഖ്യകൾ ഒന്നിന് താഴെയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു, താഴെ ഒരു വര വരയ്ക്കുന്നു, അതിന് താഴെ ആകെത്തുക എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ആദ്യം യൂണിറ്റ് സ്ഥാനത്ത് നിൽക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക എഴുതുന്നു, അങ്ങനെ ആകെത്തുകയുടെ ആദ്യ അക്കം ലഭിക്കുന്നു. പത്ത് സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യകൾ പിന്നീട് ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുകയും അവയുടെ ആകെത്തുക വരയ്ക്ക് താഴെയുള്ള ഭാഗിക തുകയുടെ പത്ത് സ്ഥാനത്തുള്ള അക്കത്തിലേക്ക് ചേർക്കുകയും ഫലം അതിന്റെ സ്ഥാനത്ത് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ ആകെത്തുകയുടെ പത്ത് സ്ഥാനത്തുള്ള അക്കം ലഭിക്കുന്നു, അങ്ങനെ തുടരുന്നു.

സങ്കലനത്തിന്റെ വിപരീത പ്രക്രിയയിൽ, അവസാന സ്ഥാനത്ത് (അങ്ങേയറ്റം ഇടത്) നിൽക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഒരുമിച്ച് ചേർക്കുകയും ഫലം ഈ അവസാന സ്ഥാനത്തിന് താഴെ സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അടുത്ത സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യകൾ പിന്നീട് ചേർക്കുകയും പ്രക്രിയ തുടരുകയും ചെയ്യുന്നു. അടുത്ത ലംബ വരിയിലെ അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോൾ ആവശ്യമെങ്കിൽ ഭാഗിക തുകയുടെ സംഖ്യകൾ ശരിയാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, അവസാന സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 12 ആണെങ്കിൽ, 12 താഴത്തെ വരയ്ക്ക് താഴെ വയ്ക്കുന്നു, 2 ചേർത്ത സംഖ്യകൾക്ക് നേരിട്ട് താഴെ; പിന്നീട്, അടുത്ത സ്ഥാനത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 13 (എന്ന് പറയുക) ആണെങ്കിൽ, 3 ചേർത്ത അക്കങ്ങൾക്ക് താഴെ സ്ഥാപിക്കുകയും 1 ഇടത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, ഭാഗിക തുക 12 ന്റെ 2 എന്ന അക്കം തുടച്ചുമാറ്റി 3 കൊണ്ട് പകരം വയ്ക്കുന്നു. നമുക്ക് $26+57$ കണ്ടെത്താം.

നേരായ പ്രക്രിയ

$ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

വിപരീത പ്രക്രിയ

$ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ഘട്ടം 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

ചോദ്യം. മുകളിൽ പരാമർശിച്ച രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സങ്കലനങ്ങൾ നടത്തുക. ഇന്നത്തെ രീതി