பண்டைய இந்திய கணிதவியலாளர்களின் சாதனைகள் மற்றும் அவர்களுக்கு நாம் கொண்டுள்ள கடன்பாடு குறித்து தற்போது நமக்கு அதிகம் தெரியாது. பண்டைய காலத்தில் இந்தியர்களால் கணிதத்தில் செய்யப்பட்ட பணிகளைப் பார்ப்பது அவர்களின் சாதனைகள் குறித்து வியக்க வைக்கிறது. பண்டைய இந்தியாவில் அது எவ்வளவு முக்கியமாகக் கருதப்பட்டது என்பதையும் இது நமக்கு உணர்த்துகிறது. உதாரணமாக, தசம இட மதிப்பு எண் குறியீட்டு முறை இந்தியர்களால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு முதலில் பயன்படுத்தப்பட்டது என்பது இப்போது பொதுவாக ஒப்புக்கொள்ளப்படுகிறது.

கிறிஸ்துவ சகாப்தத்தின் மிகப் பழமையான காலங்களிலிருந்து பதினேழாம் நூற்றாண்டு வரை இந்தியாவில் கணிதத்தின் சில முக்கிய பகுதிகளின் வளர்ச்சி மற்றும் வளர்ச்சி பற்றிய மிக நல்ல கருத்தை இந்த அத்தியாயம் தரும்.

பண்டைய இந்தியாவின் ஒரு கண்ணோட்டம்

மொகெஞ்சதாரோவில் கண்டுபிடிப்புகள் கி.மு. 3,000 ஆம் ஆண்டிலேயே சிந்து நாட்டின் குடிமக்கள் மிகவும் ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வாழ்க்கையை வாழ்ந்தனர் என்பதை வெளிப்படுத்துகிறது. உண்மையில், அந்தக் காலத்தின் மற்ற எந்த மக்களையும் விட அவர்கள் மேம்பட்டவர்களாக இருந்தனர். வேதங்களைத் தொடர்ந்து வரும் பிராமண இலக்கியம் (கி.மு. 2000) ஓரளவு சடங்கு சம்பந்தமானதாகவும், ஓரளவு தத்துவ ரீதியானதாகவும் உள்ளது. இந்த பிராமண காலத்திற்குப் பிறகு இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக தொடர்ச்சியான முன்னேற்றமும் பிரகாசமான சாதனைகளும் நிகழ்ந்தன. கணித அறிவியல் அல்லது அறிவின் வேறு எந்த கிளையின் கலாச்சாரமும் ஆன்மீக அறிவுக்கு தடையாகக் கருதப்படவில்லை.

கணிதத்தின் (கணிதம்) கலாச்சாரத்திற்கு ஜைனர்களும் முக்கியத்துவம் அளிக்கிறார்கள். அவர்களின் மத இலக்கியத்தில் கணித அனுயோகம் அடங்கும். சங்கியானா அறிவு

பிராமணங்கள் நான்கு வேதங்களின் பாடல்களுக்கான விளக்கங்களுடன் கூடிய பண்டைய இந்திய நூல்களின் தொகுப்பாகும்.

ஜைன பூசகரின் முக்கிய சாதனைகளில் ஒன்றாகக் கூறப்படுகிறது. பௌத்த இலக்கியத்திலும், எண்கணிதம் (கணனா சமிக்யானா) கலைகளில் முதன்மையானதும் மிக உன்னதமானதுமாகக் கருதப்படுகிறது. இவை அனைத்தும் பண்டைய இந்தியாவில் கணித கலாச்சாரத்திற்கு வழங்கப்பட்ட முக்கியத்துவம் மற்றும் மதிப்பு பற்றிய நல்ல கருத்தைத் தரும்.

எண் குறியீட்டியலின் வளர்ச்சி

மிகப் பழைய காலங்களிலிருந்தே, பத்து இந்தியாவில் எண்ணும் முறையின் அடிப்படையாக அமைந்துள்ளது. மிக உயர்ந்த எண்களின் நீண்ட தொடர் எண் பெயர்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன என்பதும் இந்தியாவின் சிறப்பியல்பு ஆகும். யஜுர்வேத சம்ஹிதையிலும் பல வேத நூல்களிலும் 10^12 போன்ற பெரிய எண் பெயர்களின் பயன்பாட்டிற்கான குறிப்புகள், அந்த தொலைதூர காலத்திலேயே, இந்தியர்கள் நன்கு வளர்ச்சியடைந்த எண் குறியீடுகளின் அமைப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும் என்று முடிவு செய்வதற்கு போதுமான காரணங்களை வழங்குகின்றன. அசோகரின் கல்வெட்டுகளில் எழுதப்பட்டவை, அவரது காலத்தில் இந்தியாவில் எண் குறியீடுகளின் பயன்பாடு மிகவும் பொதுவானது என்பதைக் காட்டுகின்றன.

எண் குறிகளின் வடிவங்களில் உள்ள மாறுபாடுகள், குறியீடுகள் நீண்ட காலமாகப் பயன்பாட்டில் இருந்ததைக் குறிக்கின்றன. பிராமி எண்கள் முற்றிலும் இந்திய கண்டுபிடிப்பு. இந்த குறியீடுகள் பற்றிய நமது அறிவு அசோக மன்னரின் (கி.மு. 300) காலத்திற்குத் திரும்பிச் செல்கிறது, அவரது பரந்த ஆட்சிப் பகுதியில் முழு இந்தியாவும் அடங்கியிருந்தது மற்றும் வடக்கில் மத்திய ஆசியா வரை நீண்டிருந்தது. கி.பி. முதல் அல்லது இரண்டாம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த எண்களைக் கொண்ட பல கல்வெட்டுகள் அப்போதைய பம்பாய் மாகாணத்தின் நாசிக் மாவட்டத்தில் உள்ள ஒரு குகையில் காணப்படுகின்றன. பிராமி குறியீட்டில் உள்ள 1, 2 மற்றும் 3 எண்கள் ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக வைக்கப்பட்ட ஒன்று, இரண்டு மற்றும் மூன்று கிடைமட்ட கோடுகளால் குறிக்கப்பட்டன.

ஆரியபட்டர்

இப்போது இந்தியாவுக்கு கணிதத்தின் நீண்ட பாரம்பரியம் உள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. இருப்பினும், கி.பி. $500-1200$ காலம் மிகவும் சுவாரஸ்யமானது, ஏனெனில் இது இந்திய கணிதத்தின் பொற்கால (சித்தாந்திக) காலம் என்று அறியப்படுகிறது. இது கி.பி. 496 இல் பிறந்த ஆரியபட்டா I இல் தொடங்குகிறது, அவர் அறிவின் முறையான தொகுப்பு மற்றும் முறைப்படுத்தலுக்காக அறியப்பட்ட ஒரு முன்னோடி கணிதவியலாளர் ஆவார், மேலும் கி.பி. 1114 இல் பிறந்த பாஸ்கர II இல் முடிகிறது, அவர் கணித அறிவை உறுதியான அடித்தளத்தில் அமைத்தார். அவர்களுக்கு இடையே உள்ள கணிதவியலாளர்கள் வராஹமிஹிரா (கி.பி. 505), பாஸ்கர I (கி.பி. 600), பிரம்மகுப்தர் (கி.பி. 628), மகாவீரர் (கி.பி. 850), ஸ்ரீதரர் (கி.பி. 850), ஸ்ரீபதி (கி.பி. 1039) ஆகியோரும் சமமாக பிரபலமானவர்கள்.

ஆரியபட்டா I இன் ஆரியபட்டியாவில் இரண்டு பிரிவுகள் உள்ளன- தசகீதிகே (தசம அளவில் சில அத்தியாவசிய அளவுருக்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் கண்டுபிடிப்பு, முக்கோணவியலின் கூறுகள்) மற்றும் கணிதம் (எட்டு அடிப்படை செயல்பாடுகள், வடிவியல், இயற்கணித சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் தீர்வுகள்). பிரம்மகுப்தரின் பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தத்தில் இரண்டு பிரிவுகள் உள்ளன- கணிதம் (கணிதம்) மற்றும் குட்டகா (பல்வேறுபடுத்தி), அதேசமயம் பாஸ்கர II இரண்டு தனி நூல்களை எழுதினார், லீலாவதி (கணிதம்) மற்றும் பீஜகணிதம் (இயற்கணிதம்), இது இந்த காலகட்டத்தில் கணித அறிவு எவ்வாறு தொகுதிகளில் விரிவடைந்துள்ளது என்பதைக் காட்டுகிறது.

பூஜ்ஜியத்திற்கான குறியீடு எண்களின் தசம வெளிப்பாட்டுடன் தொடர்புடையதாக ஆரியபட்டா I (கி.பி. 496 இல் பிறந்தவர்) கண்டுபிடித்தார். ஆரியபட்டா I கூறுகிறார், “வெற்று இடங்கள் ஒரு வட்டத்தால் நிரப்பப்பட வேண்டும்” இது “சூன்யா” போல் தோன்றுகிறது. இது அவரது விளக்ககர்த்தா பாஸ்கர I (கி.பி. 600) விளக்கியுள்ளார். இது உண்மையில் கணிதக் கணக்கீட்டில் ஒரு புரட்சியைக் கொண்டுவந்து, ஒன்பது எண் குறியீடுகள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்துடன் எண்களை வெளிப்படுத்தும் முழு நுட்பத்தையும் எளிமைப்படுத்தியது.

எண்கணிதம்

எண்கணிதம் பாடிகணிதத்தின் முக்கிய பகுதியாக உள்ளது. பாடிகணிதம் என்ற சொல் பாடி என்ற சொல்லிலிருந்து உருவான கூட்டுச் சொல்லாகும், அதாவது ‘பலகை’ மற்றும் கணிதம், அதாவது ‘கணக்கீட்டு அறிவியல்’. எனவே இது எழுதும் பொருட்களை (பலகை) பயன்படுத்த வேண்டிய கணக்கீட்டு அறிவியலைக் குறிக்கிறது. கணிதக் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வது சில நேரங்களில் தூளிகர்மா (‘தூசி-வேலை’) என்று அழைக்கப்பட்டது, ஏனெனில் பலகையில் அல்லது தரையில் பரவிய தூசியில் உருவங்கள் எழுதப்பட்டன. பிரம்மகுப்தரின் கூற்றுப்படி, பாடிகணிதத்தில் இருபது செயல்பாடுகள் மற்றும் எட்டு தீர்மானங்கள் உள்ளன. அவர் கூறுகிறார்: “கூட்டல் போன்ற இருபது லாஜிஸ்டிக்ஸ் மற்றும் (நிழல் மூலம் அளவீடு உட்பட) எட்டு தீர்மானங்களை தனித்தனியாகவும் தனித்தனியாகவும் அறிந்தவர் ஒரு கணிதவியலாளர்.” ஆரியபட்டா I (கி.பி. 499) தனது சித்தாந்தமான ஆரியபட்டியாவில் கணிதத்தின் ஒரு பகுதியைச் சேர்த்த முதல் நபர். பிரம்மகுப்தர் (கி.பி. 628) இந்த விஷயத்தில் ஆரியபட்டரைப் பின்பற்றினார், அதன் பிறகு ஒரு சித்தாந்தப் படைப்பில் கணிதத்தின் ஒரு பகுதியைச் சேர்ப்பது பொதுவான பாணியாக மாறியது.

இந்தியாவில், குறிப்பாக அறிவியல் விஷயங்களில், கல்வி கற்றவர்களின் கண்களில் சுருக்கமான கலவைக்கு அதிக மதிப்பு இருந்தது. இதனால்தான் இந்திய ஆய்வுக் கட்டுரைகளில் அறியப்பட்ட சூத்திரங்கள் மற்றும் முடிவுகளின் சுருக்கமான அறிக்கை மட்டுமே உள்ளது, சில நேரங்களில் மிகவும் சுருக்கமாக வெளிப்படுத்தப்படுவதால் புரிந்துகொள்வது கடினம். இந்த சுருக்கம் பழைய படைப்புகளில் மிகவும் உச்சரிக்கப்படுகிறது; உதாரணமாக, ஆரியபட்டியாவில் உள்ள விளக்கம் பிந்தைய படைப்புகளை விட மிகவும் சுருக்கமானது.

பிரம்மகுப்தர்

பண்டைய கணிதத்தின் எட்டு அடிப்படை செயல்பாடுகள்: (1) கூட்டல், (2) கழித்தல், (3) பெருக்கல், (4) வகுத்தல், (5) வர்க்கம், (6) வர்க்கமூலம், (7) கனசதுரம் மற்றும் (8) கனமூலம். ஆரியபட்டா I வர்க்க மூலம் மற்றும் கனமூலம் கண்டுபிடிப்பதற்கான விதிகளை மட்டுமே கொடுத்தார், அதேசமயம் பிரம்மகுப்தர் கனமூல விதியை மட்டுமே கொடுத்தார்.

அனைத்து கணித செயல்பாடுகளும் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகிய இரண்டு அடிப்படை செயல்பாடுகளின் மாறுபாடுகள் என்பது ஆரம்ப காலத்திலிருந்தே இந்திய கணிதவியலாளர்களால் அங்கீகரிக்கப்பட்டது. பாஸ்கர I கூறுகிறார்-“அனைத்து எண்கணித செயல்பாடுகளும் இரண்டு வகைகளாக பிரிக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் பொதுவாக நான்கு என்று கருதப்படுகிறது. இரண்டு முக்கிய வகைகள் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்பு. கூட்டல் என்பது அதிகரிப்பு மற்றும் கழித்தல் என்பது குறைப்பு. செயல்பாடுகளின் இந்த இரண்டு வகைகளும் கணிதம் முழுவதும் (கணிதம்) பரவியுள்ளன.” எனவே முந்தைய ஆசிரியர்கள் கூறியுள்ளனர்: “பெருக்கல் மற்றும் விரிவாக்கம் ஆகியவை கூட்டலின் குறிப்பிட்ட வகைகள்; வகுத்தல் மற்றும் உள்ளடக்கம் ஆகியவை கழித்தலின் வகைகள். உண்மையில், ஒவ்வொரு கணித செயல்பாடும் அதிகரிப்பு மற்றும் குறைப்பு ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும் என அங்கீகரிக்கப்படும்.”

கூட்டல்

ஆரியபட்டா II கூட்டலை இவ்வாறு வரையறுக்கிறார்- “பல எண்களை ஒன்றாக மாற்றுவது கூட்டல்”. கூட்டலுக்கான பண்டைய பெயர் சம்கலிதா (ஒன்றாகச் செய்யப்பட்டது). பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பிற சமமான சொற்கள் சம்கலனா (ஒன்றாகச் செய்தல்), மிஸ்ரனா (கலத்தல்), சம்மேலனா (ஒன்றாகக் கலத்தல்), பிரக்ஷேபனா (ஒன்றாக எறிதல்), சம்யோஜனா (ஒன்றாக இணைத்தல்), எகிகரணா (ஒன்றாக மாற்றுதல்), யுக்தி, யோகா (கூட்டல்) மற்றும் அப்யாசா போன்றவை. சம்கலிதா என்ற சொல் சில எழுத்தாளர்களால் ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் பொதுவான அர்த்தத்தில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

அனைத்து கணித மற்றும் வானியல் படைப்புகளிலும், கூட்டல் செயல்முறையின் அறிவு வழங்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. அடிப்படை தன்மை கொண்ட சில பிந்தைய படைப்புகளில் இது மிகச் சுருக்கமாகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இவ்வாறு பாஸ்கர II லீலாவதியில் கூறுகிறார்: “நேரடி அல்லது தலைகீழ் வரிசையில் ஒரே இடங்களில் உள்ள எண்களைச் சேர்க்கவும்.” மேலே குறிப்பிடப்பட்ட நேரடி கூட்டல் செயல்பாட்டில், சேர்க்கப்பட வேண்டிய எண்கள் ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதப்பட்டு, கீழே ஒரு கோடு வரையப்படுகிறது, அதன் கீழ் கூட்டுத்தொகை எழுதப்படுகிறது. முதலில், ஒன்றுகள் இடத்தில் நிற்கும் எண்களின் கூட்டுத்தொகை எழுதப்பட்டு, கூட்டுத்தொகையின் முதல் எண்ணிக்கை கிடைக்கிறது. பத்துகள் இடத்தில் உள்ள எண்கள் பின்னர் ஒன்றாகச் சேர்க்கப்பட்டு, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை கோட்டின் கீழ் நிற்கும் பகுதி கூட்டுத்தொகையின் பத்துகள் இடத்தில் உள்ள எண்ணுடன் சேர்க்கப்பட்டு, முடிவு அதன் இடத்தில் மாற்றப்படுகிறது. இவ்வாறு கூட்டுத்தொகையின் பத்துகள் இடத்தில் உள்ள எண்ணிக்கை பெறப்படுகிறது, மேலும் பல.

கூட்டலின் தலைகீழ் செயல்பாட்டில், கடைசி இடத்தில் (இடதுபுறம்) நிற்கும் எண்கள் ஒன்றாகச் சேர்க்கப்பட்டு, முடிவு இந்த கடைசி இடத்தின் கீழ் வைக்கப்படுகிறது. அடுத்த இடத்தில் உள்ள எண்கள் பின்னர் சேர்க்கப்பட்டு, செயல்முறை தொடர்கிறது. அடுத்த செங்குத்து வரிசையில் உள்ள எண்கள் சேர்க்கப்படும்போது, தேவைப்பட்டால், பகுதி கூட்டுத்தொகையின் எண்கள் சரி செய்யப்படுகின்றன. உதாரணமாக, கடைசி இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை 12 ஆக இருந்தால், 12 கீழே கோட்டின் கீழ் வைக்கப்படுகிறது, 2 சேர்க்கப்பட்ட எண்களுக்கு நேரடியாக கீழே இருக்கும்; பின்னர், அடுத்த இடத்தில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை 13 (சொல்லுங்கள்) என்றால், 3 சேர்க்கப்பட்ட எண்களுக்கு கீழே வைக்கப்பட்டு, 1 இடதுபுறம் கொண்டு செல்லப்படுகிறது. இவ்வாறு, பகுதி கூட்டுத்தொகை 12 இல் உள்ள எண் 2 துடைக்கப்பட்டு 3 ஆல் மாற்றப்படுகிறது. $26+57$ ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

நேரடி செயல்முறை

$ \begin{array}{ll} & \text{படி 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{படி 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{படி 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{படி 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

தலைகீழ் செயல்முறை

$ \begin{array}{ll} & \text{படி 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{படி 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{படி 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{படி 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

கே. மேலே குறிப்பிடப்பட்ட முறைகளால் பின்வரும் கூட்டல்களைச் செய்யுங்கள். தற்போதைய முறையைப் பயன்படுத்தி உங்கள் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

கழித்தல்

ஆரியபட்டா II (கி.பி. 950) கழித்தலை இவ்வாறு வரையறுக்கிறார்:

“சர்வதனத்திலிருந்து (மொத்தம்) சில எண்களை எடுப்பது கழித்தல்; எஞ்சியிருப்பது சேஷா (மீதி) என்று அழைக்கப்படுகிறது.” வ்யுத்கலிதா (தனித்தனியாகச் செய்யப்பட்டது), வ்யுத்கலனா (தனித்தனியாகச் செய்தல்), சோதனா (தெளிவுபடுத்துதல்), பதனா (விழச் செய்தல்), வியோகா (பிரிப்பு) போன்ற சொற்கள் கழித்தலுக்குப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. மீதியைக் குறிக்க சேஷா (எச்சம்) மற்றும் அந்தரா (வேறுபாடு) ஆகிய சொற்கள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. குறைக்கப்பட வேண்டிய எண் சர்வதனா அல்லது வியோஜ்யா என்றும், கழிக்கப்பட வேண்டிய எண் வியோஜகா என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

பாஸ்கர II கழித்தல் முறையை இவ்வாறு வழங்குகிறார்: “எண்களை அவற்றின் இடங்களில் நேரடி அல்லது தலைகீழ் வரிசையில் கழிக்கவும்.” நேரடி செயல்முறை ஒரு உதாரணத்தின் உதவியுடன் விளக்கப்பட்டுள்ளது, $1000-360$. பத்துகள் இடத்தில் நிற்கும் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஆறைக் கழிக்க முடியாது, எனவே பத்தை எடுத்து அதிலிருந்து ஆறைக் கழித்தால், மீதி (நான்கு) கீழே (ஆறு) வைக்கப்படுகிறது, மேலும் இந்த பத்து அடுத்த இடத்திலிருந்து கழிக்கப்பட வேண்டும்.

ஏனெனில், அலகு போன்ற இடங்கள் பத்தின் மடங்குகளாக இருப்பதால், குறைக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் தொடர்புடைய எண்ணிலிருந்து கழிக்க முடியாத கழிக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் எண்ணிக்கை பத்திலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது, மீதி எடுக்கப்படுகிறது மற்றும் இந்த பத்து அடுத்த இடத்திலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது. இந்த வழியில் இந்த பத்து கடைசி இடத்திற்கு எடுத்துச் செல்லப்படுகிறது, அது கடைசி எண்ணுடன் தீர்ந்துவிடும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒன்பது வரையிலான எண்கள் ஒரு இடத்தை ஆக்கிரமிக்கின்றன, இடங்களின் வேறுபாடு பத்திலிருந்து தொடங்குகிறது, எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண்ணில் எத்தனை பத்துகள் உள்ளன என்பது தெரியும், எனவே, அதன் சொந்த இடத்திலிருந்து கழிக்க முடியாத எண் அடுத்த பத்திலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது, மற்றும் மீதமுள்ளவை எடுக்கப்படுகின்றன."

தலைகீழ் செயல்முறை ஒத்ததாகும், ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால் “இது குறைக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் கடைசி இடத்திலிருந்து தொடங்குகிறது, மேலும் முன்னர் பெறப்பட்ட பகுதி வேறுபாடுகள் தேவைப்பட்டால் சரி செய்யப்படுகின்றன. பாடியில் (பலகை) உருவங்களை எளிதாக துடைத்து சரிசெய்ய முடியும் என்பதால் இந்த செயல்முறை பொருத்தமானது.”

கே. கழித்தல்களைச் செய்யுங்கள்:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

பெருக்கல்

பெருக்கலுக்கான பொதுவான இந்தியப் பெயர் குணனா. இந்த சொல் வேத இலக்கியத்தில் தோன்றுவதால் மிகப் பழமையானதாகத் தெரிகிறது. ஹனனா, வதா, க்ஷயா போன்ற சொற்கள், ‘கொல்லுதல்’ அல்லது ‘அழித்தல்’ என்று பொருள்படும், பெருக்கலுக்கும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. தசம இட மதிப்பு எண்களுடன் பெருக்கலின் புதிய முறை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பிறகு இந்த சொற்கள் பயன்பாட்டுக்கு வந்தன; ஏனெனில் புதிய முறையில், பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் உருவங்கள் தொடர்ச்சியாக துடைக்கப்பட்டு (அழிக்கப்பட்டு), அவற்றின் இடங்களில் பெருக்கத்தின் உருவங்கள் எழுதப்பட்டன. ஹனனாவின் (கொல்லுதல்) ஒத்த சொற்கள் ஆரியபட்டா I (கி.பி. 499), பிரம்மகுப்தர் (கி.பி. 628), ஸ்ரீதரர் (கி.பி. 750) மற்றும் பிந்தைய எழுத்தாளர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. இந்த சொற்களும் பக்ஷாலி கையெழுத்துப் பிரதியில் தோன்றுகின்றன. பண்டைய சொல்லியல், பெருக்கலின் வரையறை ‘பெருக்கியின் எண்ணிக்கை போல பல முறை பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் மறுபடியும் மறுபடியும் சேர்ப்பதன் அடிப்படையிலான ஒரு செயல்முறை’ என்பதை நிரூபிக்கிறது. இந்த வரையறை பாஸ்கர I இன் ஆரியபட்டியாவின் விளக்கத்தில் தோன்றுகிறது.

பெருக்கப்பட வேண்டிய எண் குண்யா என்றும், பெருக்கி குணகா அல்லது குணகாரா என்றும் அழைக்கப்பட்டது. பெருக்கத்தின் விளைவாக குணனா-பலா (பெருக்கலின் முடிவு) அல்லது பிரத்யுத்பன்னா (‘மீண்டும் உருவாக்கப்பட்டது’, எனவே எண்கணிதத்தில் ‘பெருக்கல் மூலம் மீண்டும் உருவாக்கப்பட்டது’) என்று அழைக்கப்பட்டது.

பெருக்கல் முறைகள்

பிரம்மகுப்தர் நான்கு முறைகளைக் குறிப்பிடுகிறார்: (1) கோமுத்திரிகா, (2) கண்டா, (3) பேதா, மற்றும் (4) இஷ்டா. ஆரியபட்டா II (கி.பி. 950) முறைக்கு பெயரிடவில்லை மற்றும் கூறினார்: “பெருக்கியின் முதல் எண்ணை பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் கடைசி எண்ணிக்கைக்கு மேல் வைக்கவும், பின்னர் பெருக்கியின் அனைத்து எண்களையும் பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் ஒவ்வொரு எண்ணாலும் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்கவும்.”

ஸ்ரீபதி (கி.பி. 1039) கபட-சந்தி என்ற பெயரைக் கொடுத்து கூறுகிறார்: “இரண்டு கதவுகளின் சந்திப்பில் உள்ளதைப் போல பெருக்கியின் கீழ் பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்ணை வைத்து, நேரடி அல்லது தலைகீழ் வரிசையில் அதை (பெருக்கி) நகர்த்துவதன் மூலம் தொடர்ச்சியாக (பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்களை) பெருக்கவும்.”

பின்வரும் விளக்கப்படங்கள் கபட-சந்தி திட்டத்தின் படி பெருக்கலின் இரண்டு செயல்முறைகளை விளக்குகின்றன:

நேரடி செயல்முறை: இந்த வேலை முறை பிரபலமாக இருந்ததாகத் தெரியவில்லை. பதினொன்றாம் நூற்றாண்டுக்குப் பிறகு எழுத்தாளர்களால் இது குறிப்பிடப்படவில்லை, ஸ்ரீபதி (கி.பி. 1039) இதைக் குறிப்பிட்ட கடைசி எழுத்தாளர் ஆவார்.

எடுத்துக்காட்டு: 135 ஐ 12 ஆல் பெருக்கவும்.

எண்கள் பாடில் $i$ இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளன:

12

135

பெருக்கப்பட வேண்டிய எண்ணின் முதல் (அதாவது வலதுபுறம்) இலக்கம் (5) எடுக்கப்பட்டு பெருக்கியின் இலக்கங்களால் பெருக்கப்படுகிறது. இவ்வாறு

$5 \times 2=10 ; 0$ 2 க்கு க