ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల సాధనలు మరియు వారి పట్ల మనకున్న ఋణం గురించి ప్రస్తుతం మనకు చాలా తక్కువ తెలుసు. ప్రాచీన కాలంలో భారతీయులు గణితంలో చేసిన పనులను పరిశీలిస్తే, వారి సాధనలను గురించి ఆశ్చర్యపోవడం తప్పదు. ఇది ప్రాచీన భారతదేశంలో దీనికి ఎంత ప్రాముఖ్యత ఇవ్వబడిందో కూడా మనకు అర్థం చేస్తుంది. ఉదాహరణకు, దశాంశ స్థాన విలువ సంఖ్యా సంజ్ఞాన పద్ధతి భారతీయులచే కనుగొనబడి మొదటిసారిగా ఉపయోగించబడిందని ఇప్పుడు సాధారణంగా అంగీకరించబడుతోంది.

ఈ అధ్యాయం క్రైస్తవ శకం ప్రారంభం నుండి పదిహేడవ శతాబ్దం వరకు భారతదేశంలో గణితశాస్త్రంలోని కొన్ని ప్రధాన రంగాల వృద్ధి మరియు అభివృద్ధి గురించి చాలా మంచి అవగాహనను ఇస్తుంది.

ప్రాచీన భారతదేశం యొక్క సంగ్రహ దృశ్యం

మొహెంజొదారోలోని ఆవిష్కరణలు క్రీ.పూ. 3,000 నాటికే సింధు భూమి నివాసులు అత్యంత వ్యవస్థీకృత జీవితాన్ని గడిపారని వెల్లడిస్తున్నాయి. వాస్తవానికి, ఆ కాలంలోని ఇతర ప్రజల కంటే వారు చాలా ముందున్నారు. వేదాలను అనుసరించే బ్రాహ్మణ సాహిత్యం (క్రీ.పూ. 2000) పాక్షికంగా ఆచారపరమైనది మరియు పాక్షికంగా తాత్వికమైనది. ఈ బ్రాహ్మణ కాలం తర్వాత రెండు వేల సంవత్సరాల పాటు నిరంతర పురోగతి మరియు ప్రతిభావంతమైన సాధనలు జరిగాయి. గణిత శాస్త్రం లేదా జ్ఞానం యొక్క ఏదైనా ఇతర శాఖ యొక్క సంస్కృతిని ఆధ్యాత్మిక జ్ఞానానికి అడ్డంకిగా భావించలేదు.

గణిత (గణితం) సంస్కృతికి ప్రాముఖ్యతను జైనులు కూడా ఇస్తారు. వారి మతపరమైన సాహిత్యంలో గణితానుయోగం ఉంటుంది. సైంఖ్యాన జ్ఞానం

బ్రాహ్మణాలు నాలుగు వేదాల స్తోత్రాలపై వ్యాఖ్యానాలతో కూడిన ప్రాచీన భారతీయ గ్రంథాల సంకలనం.

జైన పురోహితుని ప్రధాన సాధనలలో ఒకటిగా పేర్కొనబడింది. బౌద్ధ సాహిత్యంలో కూడా, అంకగణితం (గణనా సంఖ్యాన) కళలలో మొదటిది మరియు ఉత్తమమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది. ఇవన్నీ ప్రాచీన భారతదేశంలో గణిత సంస్కృతికి ఇవ్వబడిన ప్రాముఖ్యత మరియు విలువ గురించి మంచి అవగాహనను ఇస్తాయి.

సంఖ్యాపరమైన ప్రతీకవాదం యొక్క అభివృద్ధి

చాలా ప్రాచీన కాలం నుండి, భారతదేశంలో పది సంఖ్యా లెక్కింపు యొక్క ఆధారంగా ఉంది. ఇది భారతదేశానికి కూడా ప్రత్యేకత, చాలా ఎక్కువ సంఖ్యల యొక్క పేర్ల యొక్క పొడవైన శ్రేణి కనుగొనబడింది. యజుర్వేద సంహిత మరియు అనేక ఇతర వైదిక రచనలలో 10^12 వంటి పెద్ద సంఖ్యా విభాగాల ఉపయోగానికి సూచన, ఆ సుదూర కాలంలో కూడా భారతీయులు బాగా అభివృద్ధి చెందిన సంఖ్యా చిహ్నాల వ్యవస్థను కలిగి ఉండి ఉండాలని నిర్ధారించడానికి తగినంత ఆధారాలను అందిస్తుంది. అశోకుని శాసనాలపై రాసిన వాటిని బట్టి అతని కాలంలో భారతదేశంలో సంఖ్యా చిహ్నాల ఉపయోగం చాలా సాధారణం అని తెలుస్తోంది.

సంఖ్యా సంకేతాల రూపాలలోని వైవిధ్యాలు, ఈ చిహ్నాలు చాలా కాలం పాటు ఉపయోగంలో ఉన్నాయని సూచిస్తాయి. బ్రాహ్మి సంఖ్యలు పూర్తిగా భారతీయ ఆవిష్కరణ. ఈ చిహ్నాల గురించి మన జ్ఞానం అశోక చక్రవర్తి (క్రీ.పూ. 300) కాలం వరకు వెళుతుంది, అతని విస్తృత సామ్రాజ్యం మొత్తం భారతదేశాన్ని కలిగి ఉండి ఉత్తరాన మధ్య ఆసియా వరకు విస్తరించింది. క్రీ.శ. మొదటి లేదా రెండవ శతాబ్దానికి చెందిన సంఖ్యలను కలిగి ఉన్న అనేక శాసనాలు అప్పటి బొంబాయి ప్రెసిడెన్సీలోని నాసిక్ జిల్లాలోని గుహలో కనుగొనబడ్డాయి. బ్రాహ్మి సంజ్ఞలో 1, 2 మరియు 3 సంఖ్యలు ఒకదాని క్రింద ఒకటి ఉంచబడిన ఒకటి, రెండు మరియు మూడు క్షితిజ సమాంతర రేఖల ద్వారా సూచించబడ్డాయి.

ఆర్యభట్ట

భారతదేశానికి గణితంలో సుదీర్ఘ సంప్రదాయం ఉందని ఇప్పుడు స్పష్టంగా ఉంది. అయితే, క్రీ.శ. $500-1200$ కాలం చాలా ఆసక్తికరంగా ఉంది, ఎందుకంటే ఇది భారతీయ గణితం యొక్క స్వర్ణ (సిద్ధాంతిక) కాలంగా పిలువబడుతుంది. ఇది క్రీ.శ. 496లో జన్మించిన ఆర్యభట I తో ప్రారంభమవుతుంది, అతను జ్ఞానాన్ని క్రమబద్ధంగా సేకరించడం మరియు వ్యవస్థీకరించడం కోసం ప్రసిద్ధి చెందిన మార్గదర్శక గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, మరియు క్రీ.శ. 1114లో జన్మించిన భాస్కర II తో ముగుస్తుంది, అతను గణిత జ్ఞానాన్ని దృఢమైన పునాదిపై ఉంచాడు. వారి మధ్య ఉన్న గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వరాహమిహిర (క్రీ.శ. 505), భాస్కర I (క్రీ.శ. 600), బ్రహ్మగుప్త (క్రీ.శ. 628), మహావీర (క్రీ.శ. 850), శ్రీధర (క్రీ.శ. 850), శ్రీపతి (క్రీ.శ. 1039) కూడా సమానంగా ప్రసిద్ధులు.

ఆర్యభట I యొక్క ఆర్యభటీయం రెండు విభాగాలను కలిగి ఉంది- దశగితికే (దశాంశ స్థాయిలో కొన్ని అవసరమైన పారామితులు మరియు సున్నా యొక్క ఆవిష్కరణ, త్రికోణమితి యొక్క మూలాలు) మరియు గణిత (ఎనిమిది ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు, సమతల జ్యామితి, బీజగణిత సమీకరణాలు మరియు వాటి పరిష్కారాలు). బ్రహ్మగుప్త తన బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతంలో రెండు విభాగాలను కలిగి ఉన్నాడు- గణిత (గణితం) మరియు కుట్టక (పల్వరైజర్), అయితే భాస్కర II రెండు ప్రత్యేక రచనలు, లీలావతీ (గణితం) మరియు బీజగణిత (బీజగణితం) రాశాడు, ఇవి ఈ కాలంలో గణిత జ్ఞానం ఎంత వాల్యూమ్లలో విస్తరించిందో చూపిస్తాయి.

సున్నా కోసం చిహ్నం ఆర్యభట I (క్రీ.శ. 496లో జన్మించారు) చే సంఖ్యల దశాంశ వ్యక్తీకరణకు సంబంధించి కనుగొనబడింది. ఆర్యభట I, “ఖాళీ స్థలాలను వృత్తంతో నింపాలి” అని చెప్పాడు, ఇది “శూన్య” లాగా కనిపిస్తుంది. ఇది అతని వ్యాఖ్యాత భాస్కర I (క్రీ.శ. 600) చే వివరించబడింది. ఇది నిజంగా గణిత గణనలలో విప్లవాన్ని తీసుకువచ్చింది మరియు తొమ్మిది సంఖ్యా చిహ్నాలు మరియు సున్నాతో సంఖ్యలను వ్యక్తపరిచే మొత్తం సాంకేతికతను సరళీకృతం చేసింది.

అంకగణితం

అంకగణితం పాటీగణితంలో ప్రధాన భాగాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. పాటీగణితం అనే పదం పాటీ, అంటే ‘బోర్డు’ మరియు గణిత, అంటే ‘లెక్కింపు శాస్త్రం’ అనే పదాల నుండి ఏర్పడిన సమాస పదం. అందువలన ఇది రాయడానికి అవసరమైన పదార్థం (బోర్డు) ఉపయోగించాల్సిన లెక్కింపు శాస్త్రాన్ని సూచిస్తుంది. గణిత గణనలను నిర్వహించడాన్ని కొన్నిసార్లు ధూలికర్మ (‘దుమ్ము పని’) అని పిలిచేవారు, ఎందుకంటే బొమ్మలు బోర్డు లేదా నేలపై చల్లబడిన దుమ్ముపై రాయబడేవి. బ్రహ్మగుప్త ప్రకారం పాటీగణితంలో ఇరవై కార్యకలాపాలు మరియు ఎనిమిది నిర్ధారణలు ఉన్నాయి. అతను ఇలా చెప్పాడు: “ఇరవై లాజిస్టిక్స్, అంటే సంకలనం మొదలైనవి, మరియు (నీడ ద్వారా కొలతతో సహా) ఎనిమిది నిర్ధారణలను విభిన్నంగా మరియు విడివిడిగా తెలిసిన వ్యక్తి గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు.” ఆర్యభట I (క్రీ.శ. 499) తన సిద్ధాంతం, ఆర్యభటీయంలో గణితంపై విభాగాన్ని చేర్చిన మొదటి వ్యక్తి. బ్రహ్మగుప్త (క్రీ.శ. 628) ఈ విషయంలో ఆర్యభట్టను అనుసరించాడు, మరియు అతని తర్వాత సిద్ధాంత గ్రంథంలో గణితంపై విభాగాన్ని చేర్చడం సాధారణ ఫ్యాషన్గా మారింది.

భారతదేశంలో సంక్షిప్తత, ముఖ్యంగా శాస్త్రీయ విషయాలలో, పండితుల దృష్టిలో ఎక్కువ విలువను కలిగి ఉంది. ఈ కారణంగానే భారతీయ గ్రంథాలు తెలిసిన సూత్రాలు మరియు ఫలితాల యొక్క సంక్షిప్త ప్రకటనను మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి, కొన్నిసార్లు అర్థం చేసుకోవడానికి కష్టంగా ఉండేంత సంక్షిప్తంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి. ఈ సంక్షిప్తత పాత రచనలలో మరింత స్పష్టంగా ఉంటుంది; ఉదాహరణకు, ఆర్యభటీయంలోని వివరణ తరువాతి రచనల కంటే మరింత సంక్షిప్తంగా ఉంటుంది.

బ్రహ్మగుప్త

ప్రాచీన గణితం యొక్క ఎనిమిది ప్రాథమిక కార్యకలాపాలు: (1) సంకలనం, (2) వ్యవకలనం, (3) గుణకారం, (4) భాగాహారం, (5) వర్గం, (6) వర్గమూలం, (7) ఘనం మరియు (8) ఘనమూలం. ఆర్యభట్ట I వర్గమూలాలు మరియు ఘనమూలాలను కనుగొనడానికి నియమాలను మాత్రమే ఇచ్చాడు, అయితే బ్రహ్మగుప్త ఘనమూల నియమాన్ని మాత్రమే ఇచ్చాడు.

అన్ని గణిత కార్యకలాపాలు సంకలనం మరియు వ్యవకలనం అనే రెండు ప్రాథమిక కార్యకలాపాల వైవిధ్యాలు అని ప్రాచీన కాలం నుండే భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులచే గుర్తించబడింది. భాస్కర I ఇలా పేర్కొన్నాడు- “అన్ని అంకగణిత కార్యకలాపాలు రెండు వర్గాలలోకి రిజల్వ్ అవుతాయి, అయినప్పటికీ సాధారణంగా నాలుగుగా పరిగణించబడతాయి. రెండు ప్రధాన వర్గాలు పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల. సంకలనం పెరుగుదల మరియు వ్యవకలనం తగ్గుదల. కార్యకలాపాల యొక్క ఈ రెండు రకాలు మొత్తం గణితాన్ని (గణిత) చొచ్చుకుపోతాయి.” కాబట్టి మునుపటి గురువులు ఇలా చెప్పారు: “గుణకారం మరియు ఉత్పన్నం సంకలనం యొక్క ప్రత్యేక రకాలు; మరియు భాగాహారం మరియు ఘాతాంకీకరణ వ్యవకలనం యొక్కది. నిజానికి ప్రతి గణిత కార్యకలాపం పెరుగుదల మరియు తగ్గుదలతో కూడి ఉంటుందని గుర్తించబడుతుంది.”

సంకలనం

ఆర్యభట II సంకలనాన్ని ఇలా నిర్వచించాడు- “అనేక సంఖ్యలను ఒకటిగా చేయడం సంకలనం”. సంకలనానికి ప్రాచీన పేరు సంకలిత (కలిపి చేయబడింది). ఇతర సమానార్థక పదాలు సాధారణంగా ఉపయోగించబడతాయి సంకలన (కలిపి చేయడం), మిశ్రణ (కలపడం), సమ్మేళన (కలిసి కలపడం), ప్రక్షేపణ (కలిపి విసరడం), సంయోజన (కలిపి కూర్చడం), ఏకీకరణ (ఒకటిగా చేయడం), యుక్తి, యోగ (సంకలనం) మరియు అభ్యాస, మొదలైనవి. సంకలిత అనే పదం కొంతమంది రచయితలచే శ్రేణి మొత్తం యొక్క సాధారణ అర్థంలో ఉపయోగించబడింది.

అన్ని గణిత మరియు ఖగోళ రచనలలో, సంకలన ప్రక్రియ యొక్క జ్ఞానం మామూలుగా తీసుకోబడింది. దీని గురించి చాలా సంక్షిప్తంగా ప్రాథమిక స్వభావం కలిగిన కొన్ని తరువాతి రచనలలో ప్రస్తావించబడింది. అందువలన భాస్కర II లీలావతీలో చెప్పాడు: “సంఖ్యలను అదే స్థానాలలో ప్రత్యక్ష లేదా విలోమ క్రమంలో కలపండి.” పైన ప్రస్తావించిన ప్రత్యక్ష సంకలన ప్రక్రియలో, కలపాల్సిన సంఖ్యలు ఒకదాని క్రింద ఒకటి వ్రాయబడతాయి మరియు దిగువన ఒక రేఖ గీయబడుతుంది, దాని క్రింద మొత్తం వ్రాయబడుతుంది. మొదట యూనిట్ల స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యల మొత్తం వ్రాయబడుతుంది, తద్వారా మొత్తం యొక్క మొదటి అంకె లభిస్తుంది. పదుల స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలు కలిపి వాటి మొత్తం దిగువ రేఖ క్రింద ఉన్న పాక్షిక మొత్తం యొక్క పదుల స్థానంలో ఉన్న అంకెకు కలుపబడుతుంది మరియు ఫలితం దాని స్థానంలో ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంచబడుతుంది. ఈ విధంగా మొత్తం యొక్క పదుల స్థానంలో ఉన్న అంకె లభిస్తుంది, మరియు అలాగే ముందుకు సాగుతుంది.

విలోమ సంకలన ప్రక్రియలో, చివరి స్థానంలో (ఎడమ వైపు చివర) ఉన్న సంఖ్యలు కలుపబడతాయి మరియు ఫలితం ఈ చివరి స్థానం క్రింద ఉంచబడుతుంది. తరువాతి స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యలు కలుపబడతాయి మరియు ప్రక్రియ కొనసాగుతుంది. తరువాతి నిలువు వరుసలో ఉన్న అంకెలు కలుపబడినప్పుడు, అవసరమైతే పాక్షిక మొత్తం యొక్క సంఖ్యలు సరిదిద్దబడతాయి. ఉదాహరణకు, చివరి స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యల మొత్తం 12 అయితే, 12 దిగువ రేఖ క్రింద ఉంచబడుతుంది, 2 నేరుగా కలుపబడిన సంఖ్యల క్రింద ఉంటుంది; అప్పుడు, తరువాతి స్థానంలో ఉన్న సంఖ్యల మొత్తం 13 (అనుకోండి) అయితే, 3 కలుపబడిన అంకెల క్రింద ఉంచబడుతుంది మరియు 1 ఎడమ వైపుకు తీసుకువెళ్ళబడుతుంది. ఈ విధంగా, పాక్షిక మొత్తం 12 లోని అంకె 2 తుడిచివేయబడుతుంది మరియు 3 ద్వారా ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంచబడుతుంది. $26+57$ని కనుగొందాం.

ప్రత్యక్ష ప్రక్రియ

$ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

విలోమ ప్రక్రియ

$ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{స్టెప్ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

ప్ర. పైన పేర్కొన్న పద్ధతుల ద్వారా కింది సంకలనాలను చేయండి. ప్రస్తుత దిన పద్ధతిని ఉపయోగించి మీ సమాధానాలను సరిచూడండి.

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

వ్యవకలనం

ఆర్యభట II (క్రీ.శ. 950) వ్యవకలనాన్ని ఇలా నిర్వచించాడు:

“సర్వధన (మొత్తం) నుండి (కొంత సంఖ్యను) తీసివేయడం వ్యవకలనం; మిగిలినది శేష (మిగిలినది) అంటారు.” వ్యుత్కలిత (వేరు చేయబడింది), వ్యుత్కలన (వేరు చేయడం), శోధన (తొలగించడం), పతన (పడేలా చేయడం), వియోగ (విభజన), మొదలైన పదాలు వ్యవకలనం కోసం ఉపయోగించబడ్డాయి. శేష (మిగులు) మరియు అంతర (తేడా) అనే పదాలు మిగిలినది కోసం ఉపయోగించబడ్డాయి. తగ్గించాల్సిన సంఖ్యను సర్వధన లేదా వియోజ్య అని మరియు తీసివేయాల్సిన సంఖ్యను వియోజక అని పిలిచేవారు.

భాస్కర II వ్యవకలన పద్ధతిని ఇలా ఇస్తాడు: “సంఖ్యలను వాటి స్థానాల ప్రకారం ప్రత్యక్ష లేదా విలోమ క్రమంలో తీసివేయండి.” ప్రత్యక్ష ప్రక్రియ ఒక ఉదాహరణ సహాయంతో వివరించబడింది, $1000-360$ అనుకోండి. పదుల స్థానంలో ఉన్న సున్నా నుండి ఆరు తీసివేయబడదు, కాబట్టి పది తీసుకొని దాని నుండి ఆరు తీసివేస్తే, మిగిలినది (నాలుగు) క్రింద (ఆరు) ఉంచబడుతుంది, మరియు ఈ పది తరువాతి స్థానం నుండి తీసివేయబడాలి.

ఎందుకంటే, యూనిట్ మొదలైన స్థానాలు పది గుణిజాలు కాబట్టి, తగ్గించాల్సిన సంఖ్య యొక్క సంబంధిత అంకె నుండి తీసివేయలేని తీసివేయాల్సిన సంఖ్య యొక్క అంకె పది నుండి తీసివేయబడుతుంది, మిగిలినది తీసుకోబడుతుంది మరియు ఈ పది తరువాతి స్థానం నుండి తగ్గించబడుతుంది. ఈ విధంగా ఈ పది చివరి స్థానానికి తీసుకువెళ్ళబడుతుంది, అది చివరి అంకెతో ఖాళీ అయ్యే వరకు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, తొమ్మిది వరకు సంఖ్యలు ఒక స్థానాన్ని ఆక్రమిస్తాయి, స్థానాల విభేదం పది నుండి ప్రారంభమవుతుంది, కాబ