प्राचीन भारतीय गणितज्ञांच्या कार्याची आणि त्यांच्याकडून आपल्या ऋणाची माहिती सध्या आपल्याला फारशी उपलब्ध नाही. प्राचीन काळात भारतीयांनी गणितात केलेल्या कार्याकडे पाहिल्यास त्यांच्या कार्याची आश्चर्य वाटते. तसेच प्राचीन भारतात गणिताला किती महत्त्व दिले जात होते हेही आपल्याला जाणवते. उदाहरणार्थ, आता सर्वसाधारणपणे मान्य केले जाते की दशांश स्थानमूल्य पद्धतीचा शोध भारतीयांनीच लावला आणि प्रथम वापर केला.

या प्रकरणात ख्रिस्ती शकाच्या सतराव्या शतकापर्यंतच्या प्रारंभीकाळापासून भारतातील गणिताच्या काही प्रमुख क्षेत्रांच्या वाढीची आणि विकासाची चांगली कल्पना मिळेल.

प्राचीन भारताचे एक दर्शन

मोहेंजोदारोमधील शोधांवरून असे दिसून येते की इ.स.पू. ३,००० च्या सुमारास सिंधू भूमीतील रहिवाशांनी अत्यंत सुसंघटित जीवन जगले होते. खरं तर, त्या काळातील इतर कोणत्याही लोकांपेक्षा ते अधिक प्रगत होते. वेदांनंतर येणारी ब्राह्मण साहित्य (इ.स.पू. २०००) अंशतः कर्मकांडी आणि अंशतः तात्त्विक आहे. या ब्राह्मण कालखंडानंतर दोन हजार वर्षांहून अधिक काळ सतत प्रगती आणि उत्कृष्ट कार्ये झाली. गणितशास्त्र किंवा ज्ञानाच्या इतर कोणत्याही शाखेची संस्कृती ही आध्यात्मिक ज्ञानाला अडथळा ठरते असे मानले जात नव्हते.

जैनांनीही गणिताच्या संस्कृतीला महत्त्व दिले आहे. त्यांच्या धार्मिक साहित्यात गणित अनुयोगाचा समावेश आहे. सांख्यानाचे ज्ञान हे जैन पुरोहिताचे एक प्रमुख कौशल्य असल्याचे नमूद केले आहे.

ब्राह्मण हे चार वेदांच्या सूक्तांवरील टीकांसह प्राचीन भारतीय ग्रंथांचा संग्रह आहे.

बौद्ध साहित्यातही, अंकगणित (गणना संख्यान) ही कला म्हणून प्रथम आणि सर्वात उदात्त मानली जाते. हे सर्व प्राचीन भारतात गणिताच्या संस्कृतीवर दिलेले महत्त्व आणि मूल्य याची चांगली कल्पना देईल.

संख्यात्मक प्रतीकवादाचा विकास

अतिशय प्राचीन काळापासून, भारतात संख्यांचा आधार दहा हाच राहिला आहे. भारतातील वैशिष्ट्य म्हणजे अतिशय उच्च संख्यांची नावे असलेली दीर्घ मालिका आढळली आहे. यजुर्वेद संहिता आणि इतर अनेक वैदिक ग्रंथांमध्ये १०१२ इतक्या मोठ्या संख्यात्मक नामांचा वापर केल्याचा उल्लेख, यावरून असा निष्कर्ष काढण्यास पुरेसा आधार आहे की, त्या प्राचीन काळातही भारतीयांकडे संख्यात्मक चिन्हांची सुविकसित पद्धत असणे आवश्यक होते. अशोकाच्या शिलालेखांवरील लेखनावरून असे दिसून येते की त्याच्या काळात भारतात संख्यात्मक चिन्हांचा वापर अगदी सामान्य होता.

संख्यात्मक चिन्हांच्या स्वरूपातील बदल सूचित करतात की ही चिन्हे दीर्घकाळापासून वापरात होती. ब्राह्मी अंक ही पूर्णपणे भारतीय शोध आहे. या चिन्हांचे आपले ज्ञान राजा अशोक (इ.स.पू. ३००) यांच्या काळापर्यंत जाते, ज्यांच्या विस्तृत साम्राज्यात संपूर्ण भारताचा समावेश होता आणि उत्तरेकडे मध्य आशियापर्यंत विस्तारले होते. इ.स. पहिल्या किंवा दुसऱ्या शतकातील अंक असलेले अनेक शिलालेख तत्कालीन बॉम्बे प्रेसिडेन्सीच्या नाशिक जिल्ह्यातील एका गुहेत आढळले आहेत. ब्राह्मी संकेतनातील १, २ आणि ३ या संख्या अनुक्रमे एक, दोन आणि तीन आडव्या रेषांनी दर्शविल्या जात होत्या.

आर्यभट्ट

आता हे स्पष्ट झाले आहे की भारतात गणिताची एक दीर्घ परंपरा आहे. तथापि, इ.स. $500-1200$ हा कालखंड अत्यंत मनोरंजक आहे कारण याला भारतीय गणिताचा सुवर्ण (सिद्धांतिक) काल म्हणून ओळखले जाते. याची सुरुवात आर्यभट्ट प्रथम यांच्यापासून होते, जे इ.स. ४९६ मध्ये जन्मलेले, ज्ञानाच्या पद्धतशीर संकलन आणि पद्धतीकरणासाठी प्रसिद्ध असलेले अग्रगण्य गणितज्ञ होते आणि याचा शेवट इ.स. १११४ मध्ये जन्मलेल्या भास्कर द्वितीय यांच्यापर्यंत होतो, ज्यांनी गणिताचे ज्ञान स्थिर पायावर ठेवले. त्यांच्यामधील गणितज्ञ वराहमिहिर (इ.स. ५०५), भास्कर प्रथम (इ.स. ६००), ब्रह्मगुप्त (इ.स. ६२८), महावीर (इ.स. ८५०), श्रीधर (इ.स. ८५०), श्रीपती (इ.स. १०३९) हेही तितकेच प्रसिद्ध होते.

आर्यभट्ट प्रथम यांच्या आर्यभटीयमध्ये दोन विभाग आहेत- दशगीतिका (दशांश प्रमाणातील काही आवश्यक पॅरामीटर्स आणि शून्याचा शोध, त्रिकोणमितीचे घटक) आणि गणित (आठ मूलभूत क्रिया, समतल भूमिती, बीजगणितीय समीकरणे आणि त्यांची उकले). ब्रह्मगुप्त यांच्या ब्रह्मस्फुटसिद्धांतामध्ये दोन विभाग आहेत- गणित (गणित) आणि कुट्टक (पल्वरायझर), तर भास्कर द्वितीय यांनी दोन स्वतंत्र ग्रंथ, लीलावती (गणित) आणि बीजगणित लिहिले, जे या कालखंडात गणिताचे ज्ञान किती प्रमाणात विस्तारले आहे हे दर्शवितात.

शून्याचे चिन्ह आर्यभट्ट प्रथम (इ.स. ४९६ मध्ये जन्मलेले) यांनी संख्यांच्या दशांश अभिव्यक्तीशी संबंधित शोधले. आर्यभट्ट प्रथम म्हणतात, “रिक्त स्थाने वर्तुळाने भरावी” जे “शून्य” सारखे दिसते. हे त्यांच्या टीकाकार भास्कर प्रथम (इ.स. ६००) यांनी स्पष्ट केले आहे. यामुळे गणितीय गणनेत खरोखरच एक क्रांती झाली आणि नऊ संख्यात्मक चिन्हे आणि शून्य यांचा वापर करून संख्या व्यक्त करण्याची संपूर्ण तंत्रे सोपी झाली.

अंकगणित

अंकगणित हा पाटीगणिताचा मोठा भाग आहे. पाटीगणित हा संयुक्त शब्द पाटी (म्हणजे ‘फळा’) आणि गणित (म्हणजे ‘गणनेचे शास्त्र’) या शब्दांपासून तयार झाला आहे. अशाप्रकारे याचा अर्थ गणनेचे शास्त्र आहे ज्यासाठी लेखन सामग्री (फळा) वापरणे आवश्यक आहे. गणितीय गणना करण्याला कधीकधी धूलिकर्म (‘धूळ-कार्य’) असे म्हटले जात असे, कारण आकडे फळ्यावर किंवा जमिनीवर पसरलेल्या धुळीवर लिहिले जात असत. ब्रह्मगुप्तांनुसार पाटीगणितात वीस क्रिया आणि आठ निर्धार आहेत. ते म्हणतात: “जो वीस लॉजिस्टिक्स, म्हणजे बेरीज इ., आणि (छायेने मोजमाप) यासह आठ निर्धार वेगळेपणे आणि स्वतंत्रपणे जाणतो तो गणितज्ञ आहे.” आर्यभट्ट प्रथम (इ.स. ४९९) हे आपल्या सिद्धांत, आर्यभटीयमध्ये गणिताचा विभाग समाविष्ट करणारे पहिले होते. ब्रह्मगुप्त (इ.स. ६२८) यांनी या बाबतीत आर्यभट्टांचे अनुसरण केले आणि त्यानंतर सिद्धांत ग्रंथात गणिताचा विभाग समाविष्ट करणे ही सामान्य पद्धत झाली.

भारतात, विशेषतः वैज्ञानिक बाबतीत, रचनेची संक्षिप्तता ही विद्वानांच्या दृष्टीने अधिक मूल्यवान होती. याच कारणास्तव भारतीय ग्रंथांमध्ये ज्ञात सूत्रे आणि निकालांचा केवळ संक्षिप्त उल्लेख असतो, कधीकधी इतका संक्षिप्तपणे व्यक्त केला जातो की समजणे कठीण होते. ही संक्षिप्तता जुन्या ग्रंथांमध्ये अधिक स्पष्ट आहे; उदाहरणार्थ, आर्यभटीयमधील विवेचन नंतरच्या ग्रंथांपेक्षा अधिक संक्षिप्त आहे.

ब्रह्मगुप्त

प्राचीन गणिताच्या आठ मूलभूत क्रिया आहेत: (१) बेरीज, (२) वजाबाकी, (३) गुणाकार, (४) भागाकार, (५) वर्ग, (६) वर्गमूळ, (७) घन आणि (८) घनमूळ. आर्यभट्ट प्रथम यांनी केवळ वर्गमूळ आणि घनमूळ शोधण्याचे नियम दिले, तर ब्रह्मगुप्तांनी केवळ घनमूळाचा नियम दिला.

सर्व गणितीय क्रिया ह्या बेरीज आणि वजाबाकी या दोन मूलभूत क्रियांचे प्रकार आहेत, हे प्राचीन काळापासून भारतीय गणितज्ञांना माहीत होते. भास्कर प्रथम सांगतात की- “सर्व अंकगणितीय क्रिया दोन श्रेणींमध्ये विभागल्या जातात, जरी सामान्यतः चार मानल्या जातात. दोन मुख्य श्रेणी म्हणजे वाढ आणि घट. बेरीज म्हणजे वाढ आणि वजाबाकी म्हणजे घट. क्रियेच्या या दोन प्रकारांमुळे संपूर्ण गणित (गणित) व्यापलेले आहे.” म्हणून मागील शिक्षक म्हणतात: “गुणाकार आणि घातांक हे बेरीजचे विशिष्ट प्रकार आहेत; आणि भागाकार आणि व्यस्त घात हे वजाबाकीचे. खरंच, प्रत्येक गणितीय क्रिया वाढ आणि घट यांच्यापासून बनलेली आहे हे लक्षात येईल.”

बेरीज

आर्यभट्ट द्वितीय बेरीजची व्याख्या अशी करतात- “अनेक संख्यांचे एक करणे म्हणजे बेरीज”. बेरीजसाठीचे प्राचीन नाव संकलित (एकत्र केलेले) आहे. इतर सामान्यतः वापरले जाणारे समानार्थी शब्द संकलन (एकत्र करणे), मिश्रण (मिसळणे), संमेलन (एकत्र मिसळणे), प्रक्षेपण (एकत्र टाकणे), संयोजन (एकत्र जोडणे), एकीकरण (एक करणे), युक्ति, योग (बेरीज) आणि अभ्यास इ. आहेत. संकलित हा शब्द काही लेखकांनी मालिकेच्या बेरजेच्या सामान्य अर्थाने वापरला आहे.

सर्व गणितीय आणि खगोलशास्त्रीय ग्रंथांमध्ये, बेरीज प्रक्रियेचे ज्ञान गृहीत धरले जाते. काही नंतरच्या प्राथमिक स्वरूपाच्या ग्रंथांमध्ये त्याचा अगदी थोडक्यात उल्लेख केला आहे. अशाप्रकारे भास्कर द्वितीय लीलावतीत म्हणतात: “समान स्थानांमधील आकडे थेट किंवा व्यस्त क्रमाने जोडा.” वर नमूद केलेल्या बेरीजच्या थेट प्रक्रियेत, जोडल्या जाणाऱ्या संख्या एकाखाली एक लिहिल्या जातात आणि तळाशी एक रेषा काढली जाते, ज्याखाली बेरीज लिहिली जाते. प्रथम एकक स्थानातील संख्यांची बेरीज लिहिली जाते, यामुळे बेरजेचा पहिला आकडा मिळतो. नंतर दशक स्थानातील संख्या एकत्र जोडल्या जातात आणि त्यांची बेरीज रेषेखालील आंशिक बेरजेच्या दशक स्थानातील आकड्यात जोडली जाते आणि परिणाम त्याच्या जागी ठेवला जातो. अशाप्रकारे बेरजेचा दशक स्थानाचा आकडा मिळतो, आणि असेच पुढे चालू राहते.

बेरीजच्या व्यस्त प्रक्रियेत, शेवटच्या स्थानातील (अगदी डावीकडील) संख्या एकत्र जोडल्या जातात आणि परिणाम या शेवटच्या स्थानाखाली ठेवला जातो. नंतर पुढील स्थानातील संख्या जोडल्या जातात आणि प्रक्रिया सुरू राहते. पुढील उभ्या रेषेतील आकडे जोडल्यावर आवश्यक असल्यास आंशिक बेरजेच्या संख्या दुरुस्त केल्या जातात. उदाहरणार्थ, शेवटच्या स्थानातील संख्यांची बेरीज १२ असेल तर १२ तळाच्या रेषेखाली ठेवला जातो, २ हा जोडल्या गेलेल्या संख्यांच्या थेट खाली ठेवला जातो; नंतर, पुढील स्थानातील संख्यांची बेरीज १३ (समजा) असल्यास, ३ हा जोडलेल्या आकड्यांखाली ठेवला जातो आणि १ डावीकडे नेला जातो. अशाप्रकारे, आंशिक बेरीज १२ मधील आकडा २ पुसला जातो आणि त्याऐवजी ३ लिहिला जातो. चला $26+57$ शोधूया.

थेट प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

व्यस्त प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{पायरी 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्र. वर नमूद केलेल्या पद्धतींनी खालील बेरीज करा. आजच्या पद्धतीचा वापर करून तुमची उत्तरे तपासा.

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

वजाबाकी

आर्यभट्ट द्वितीय (इ.स. ९५०) वजाबाकीची व्याख्या अशी करतात:

“सर्वधन (एकूण) मधून (काही संख्या) काढून घेणे म्हणजे वजाबाकी; जे उरते त्याला शेष (बाकी) म्हणतात.” वजाबाकीसाठी व्युत्कलित (वेगळे केलेले), व्युत्कलन (वेगळे करणे), शोधन (साफ करणे), पतन (पाडणे), वियोग (वेगळे करणे) इ. शब्द वापरले गेले आहेत. बाकीसाठी शेष (अवशेष) आणि अंतर (फरक) हे शब्द वापरले गेले आहेत. वियोज्याला सर्वधन किंवा वियोज्य म्हटले गेले आहे आणि वियोजकाला वियोजक म्हटले गेले आहे.

भास्कर द्वितीय वजाबाकीची पद्धत अशी देतात: “थेट किंवा व्यस्त क्रमाने त्यांच्या स्थानांनुसार संख्या वजा करा.” थेट प्रक्रिया उदाहरणाच्या मदतीने स्पष्ट केली आहे, समजा, $1000-360$. दशक स्थानातील शून्यातून सहा वजा करता येत नाही, म्हणून दहा घेऊन त्यातून सहा वजा केल्यास, बाकी (चार) खाली (सहा) ठेवली जाते, आणि हे दहा पुढील स्थानातून वजा करावे लागेल.

कारण, एकक इ. स्थाने दहाचे गुणाकार आहेत, म्हणून वियोज्याचा जो आकडा वियोज्याच्या संबंधित आकड्यातून वजा करता येत नाही तो दहामधून वजा केला जातो, बाकी घेतली जाते आणि हे दहा पुढील स्थानातून कमी केले जाते. अशाप्रकारे हे दहा शेवटच्या स्थानापर्यंत नेले जाते जोपर्यंत ते शेवटच्या आकड्यासह संपुष्टात येत नाही. दुसऱ्या शब्दांत, नऊ पर्यंतच्या संख्या एक स्थान व्यापतात, दहापासून स्थानांचे विभेदन सुरू होते, म्हणून दिलेल्या संख्येमध्ये किती दहा आहेत हे माहीत आहे’, आणि म्हणून, स्वतःच्या स्थानातून वजा करता येणार नाही अशी संख्या पुढील दहामधून वजा केली जाते, आणि बाकी घेतली जाते."

व्यस्त प्रक्रिया समान आहे, फरक एवढाच आहे की “ती वियोज्याच्या शेवटच्या स्थानापासून सुरू होते, आणि आवश्यक असल्यास पूर्वी मिळालेली आंशिक फरक दुरुस्त केली जातात. ही प्रक्रिया पाटीवर काम करण्यासाठी योग्य आहे जिथे आकडे सहजपणे पुसून टाकता येतात आणि दुरुस्त करता येतात.”

प्र. वजाबाकी करा:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

गुणाकार

गुणाकाराचे सामान्य भारतीय नाव गुणन आहे. हा शब्द सर्वात प्राचीन वाटतो कारण तो वैदिक साहित्यात आढळतो. हनन, वध, क्षय इ. शब्द, ज्याचा अर्थ ‘मारणे’ किंवा ‘नष्ट करणे’ असा होतो, ते देखील गुणाकारासाठी वापरले गेले आहेत. दशांश स्थानमूल्य अंकांसह गुणाकाराची नवीन पद्धत शोधल्यानंतर हे शब्द वापरात आले; कारण नवीन पद्धतीत, गुण्याचे आकडे क्रमशः पुसले जात (नष्ट केले जात) आणि त्यांच्या जागी गुणाकाराचे आकडे लिहिले जात. हनन (मारणे) चे समानार्थी शब्द आर्यभट्ट प्रथम (इ.स. ४९९), ब्रह्मगुप्त (इ.स. ६२८), श्रीधर (इ.स. ७५०), आणि नंतरच्या लेखकांनी वापरले आहेत. हे शब्द बख्शाली हस्तलिखितातही दिसतात. प्राचीन शब्दावली सिद्ध करते की गुणाकाराची व्याख्या ‘गुण्याची गुणक जितकी वेळा असेल तितक्या वेळा पुनरावृत्तीवर आधारित बेरीज करण्याची प्रक्रिया’ होती. ही व्याख्या आर्यभटीयावरील भास्कर प्रथम यांच्या टीकेत आढळते.

गुण्याला गुण्य आणि गुणकाला गुणक किंवा गुणकार असे म्हटले जात असे. गुणाकाराला गुणन-फल (गुणाकाराचा परिणाम) किंवा प्रत्युत्पन्न (‘पुन्हा उत्पन्न केलेले’, म्हणून अंकगणितात ‘गुणाकाराने पुन्हा उत्पन्न केलेले’) म्हटले जात असे.

गुणाकाराच्या पद्धती

ब्रह्मगुप्त चार पद्धती नमूद करतात: (१) गोमुत्रिका, (२) खंड, (३) भेद, आणि (४) इष्ट. आर्यभट्ट द्वितीय (इ.स. ९५०) यांनी पद्धतीचे नाव दिले नाही आणि सांगितले: “गुणकाचा पहिला आकडा गुण्याच्या शेवटच्या आकड्यावर ठेवा, आणि नंतर गुणकाचे सर्व आकडे गुण्याच्या प्रत्येक आकड्याने क्रमशः गुणा.”

श्रीपती (इ.स. १०३९) नाव कपाट-संधी देतात आणि सांगतात: “गुण्याला गुणकाखाली दोन दरवाजांच्या संधीसारखे ठेवून, थेट किंवा व्यस्त क्रमाने हलवून क्रमशः (गुण्याचे आकडे) गुणा.”

खालील उदाहरणे कपाट-संधी योजनेनुसार गुणाकाराच्या दोन प्रक्रिया स्पष्ट करतात:

थेट प्रक्रिया: काम करण्याची ही पद्धत लोकप्रिय वाटत नाही. अकराव्या शतकानंतरच्या लेखकांनी याचा उल्लेख केलेला नाही, श्रीपती (इ.स. १०३९) हे त्याचा उल्लेख करणारे शेवटचे लेखक आहेत.

उदाहरण: १३५ ला १२ ने गुणा.

संख्या पाटीवर $i$ अशा प्रकारे लिहिल्या जातात:

12

135

गुण्याचा पहिला (म्हणजे उजवीकडील) अंक (५) घेतला जातो आणि गुणकाच्या अंकांनी गुणाकार केला जातो. अशा प्रकारे

$5 \times 2=10 ; 0$ हे २ च्या खाली लिहिले जाते, आणि १ वर नेला जातो.

नंतर $5 \times 1=5$; १ (वर नेलेला) जोडल्यास आपल्याला ६ मिळते. आता आवश्यक नसलेली संख्या ५ पुसली जाते आणि त्याऐवजी ६ लिहिली जाते. अशाप्रकारे, आपल्याकडे आहे:

12

1360

नंतर गुणक एक स्थान डावीकडे हलवला जातो, आणि आपल्याकडे आहे:

12

1360

आता, १२ ला ३ ने गुणले जाते. तपशील आहेत: $3 \times 2=6$; हे ६ जोडले २ च्या खालील आकडा ६ मिळते १२. ६ पुसला जातो आणि त्याऐवजी २ ठेवला जातो. १ वर नेला जातो. नंतर $3 \times 1=3$; ३ अधिक १ (वर नेलेला) $=4$. ३ पुसला जातो आणि ४ ठेवला जातो. गुणक १२ दुसऱ्या स्थानावर डावीकडे हलवल्यानंतर, पाटीवरील आकडे असे दिसतात:

12

1420

नंतर, $1 \times 2=2 ; 2+4=6 ; 4$ पुसला जातो आणि ६ ठेवला जातो. $1 \times 1=1$, जो ६ च्या डावीकडे ठेवला जातो.

कार्य संपल्यामुळे, १२ पुसला जातो आणि पाटीवर गुणाकार १६२० असतो.

अशाप्रकारे १२ आणि १३५ या संख्या मारल्या गेल्या आहेत आणि एक नवीन संख्या १६२० जन्मली आहे (प्रत्युत्पन्न).

व्यस्त प्रक्रिया: व्यस्त पद्धतीचे दोन प्र