हमें वर्तमान में प्राचीन भारतीय गणितज्ञों की उपलब्धियों और उन पर हमारी ऋणात्मकता के बारे में बहुत कम ज्ञात है। प्राचीन काल में भारतीयों द्वारा गणित में किए गए कार्यों को देखकर व्यक्ति उनकी उपलब्धियों पर आश्चर्य करता है। यह हमें यह भी अहसास कराता है कि प्राचीन भारत में इसे कितना महत्वपूर्ण माना जाता था। उदाहरण के लिए, यह अब सामान्य रूप से स्वीकार किया जाता है कि दशमलव स्थान मान प्रणाली की संख्या संकेतन पद्धति का आविष्कार और प्रथम उपयोग भारतीयों द्वारा किया गया था।

यह अध्याय ईसवी सन् की सत्रहवीं शताब्दी तक के प्रारंभिकतम ज्ञात समय से भारत में गणित के कुछ प्रमुख क्षेत्रों की वृद्धि और विकास के बारे में एक उचित विचार देगा।

प्राचीन भारत की एक झलक

मोहनजोदड़ो में खोजें बताती हैं कि 3,000 ई.पू. तक ही सिंधु भूमि के निवासी एक अत्यंत संगठित जीवन जीते थे। वास्तव में, वे उस काल के किसी अन्य लोगों की तुलना में अधिक उन्नत थे। ब्राह्मण साहित्य (2000 ई.पू.) जो वेदों के बाद आता है, आंशिक रूप से कर्मकांडी और आंशिक रूप से दार्शनिक है। इस ब्राह्मण काल के बाद दो हजार वर्षों से अधिक समय तक निरंतर प्रगति और शानदार उपलब्धियाँ हुईं। गणित या किसी अन्य ज्ञान शाखा के विज्ञान की संस्कृति को आध्यात्मिक ज्ञान में बाधा नहीं माना जाता था।

गणित (गणिता) की संस्कृति को जैनों द्वारा भी महत्व दिया गया है। उनके धार्मिक साहित्य में गणित अनुयोग शामिल है। सांख्यान के ज्ञान को कहा गया है कि

ब्राह्मण चारों वेदों की ऋचाओं पर टीकाओं सहित प्राचीन भारतीय ग्रंथों का एक संग्रह हैं।

जैन पुरोहित की प्रमुख उपलब्धियों में से एक होना। बौद्ध साहित्य में भी अंकगणित (गणना समिख्यान) को पहली और सर्वोच्च कलाओं में माना गया है। ये सभी बातें प्राचीन भारत में गणित की संस्कृति को दी गई महत्ता और मूल्य की एक स्पष्ट झलक देती हैं।

संख्यात्मक प्रतीकों का विकास

आरंभिक काल से ही भारत में गिनती का आधार दस रहा है। यह भी भारत की विशेषता है कि यहाँ बहुत बड़ी संख्याओं के लंबे नामों की श्रृंखला मिली है। यजुर्वेद संहिता और अन्य कई वैदिक ग्रंथों में 10¹² जितनी बड़ी संख्यात्मक संज्ञाओं के प्रयोग के उल्लेख इस बात के पर्याप्त प्रमाण देते हैं कि उस दूरदराज़ काल में भी भारतीयों के पास संख्यात्मक प्रतीकों की एक विकसित पद्धति रही होगी। अशोक के अभिलेखों पर लिखावट दर्शाती है कि उसके समय भारत में संख्यात्मक प्रतीकों का प्रयोग सामान्य बात थी।

संख्यात्मक चिह्नों के रूपों में विभिन्नताएँ सुझाती हैं कि प्रतीक लंबे समय से प्रयोग में थे। ब्राह्मी संख्याएँ एक शुद्ध रूप से भारतीय आविष्कार हैं। इन प्रतीकों का हमारा ज्ञान सम्राट अशोक (ई.पू. 300) के समय तक जाता है, जिसके विशाल राज्य में सम्पूर्ण भारत सम्मिलित था और उत्तर में मध्य एशिया तक फैला था। नासिक जिले की एक गुफा में, जो तत्कालीन बॉम्बे प्रेसीडेंसी का भाग था, ई.स. पहली या दूसरी शताब्दी से संबंधित कई अभिलेख मिलते हैं जिनमें संख्याएँ हैं। ब्राह्मी संकेतन में 1, 2 और 3 को एक-दूसरे के नीचे रखी गई एक, दो और तीन क्षैतिज रेखाओं द्वारा दर्शाया गया था।

आर्यभट्ट

अब यह स्पष्ट है कि भारत की गणित की एक लंबी परंपरा है। हालाँकि, ई.स. 500-1200 की अवधि अत्यंत रोचक है क्योंकि इसे भारतीय गणित की स्वर्ण (सिद्धांतिक) अवधि के रूप में जाना जाता है। यह आर्यभट्ट प्रथम से प्रारंभ होती है, जिनका जन्म ई.स. 496 में हुआ था, एक अग्रणी गणितज्ञ जो ज्ञान के व्यवस्थित संग्रह और संगठन के लिए जाने जाते हैं, और भास्कर द्वितीय के साथ समाप्त होती है जिनका जन्म ई.स. 1114 में हुआ था और जिन्होंने गणित के ज्ञान को एक ठोस आधार पर रखा। इन दोनों के बीच के गणितज्ञ—वराहमिहिर (ई.स. 505), भास्कर प्रथम (ई.स. 600), ब्रह्मगुप्त (ई.स. 628), महावीर (ई.स. 850), श्रीधर (ई.स. 850), श्रीपति (ई.स. 1039)—समान रूप से प्रसिद्ध थे।

आर्यभटीय आर्यभट प्रथम की दो खण्डों में विभाजित है—दशगीतिका (दशमलव पैमाने पर कुछ आवश्यक पैरामीटर और शून्य की खोज, त्रिकोणमिति के तत्व) और गणित (आठ मूलभूत संक्रियाएँ, समतलीय ज्यामिति, बीजीय समीकरण और उनके हल)। ब्रह्मगुप्त ने अपने ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में दो खण्ड बनाए हैं—गणित (गणित) और कुट्टक (कूटक्रम), जबकि भास्कर द्वितीय ने दो अलग-अलग ग्रंथ लिखे, लीलावती (गणित) और बीजगणित (बीजगणित), जो दर्शाते हैं कि इस काल में गणित का ज्ञान किस प्रकार आयतन में विस्तृत हुआ है।

शून्य का प्रतीक आर्यभट प्रथम (जन्म ई.स. ४९६) ने संख्याओं की दशमलव अभिव्यक्ति के संदर्भ में खोजा। आर्यभट प्रथम कहते हैं, “रिक्त स्थानों को एक वृत्त से भरना चाहिए” जो “शून्य” जैसा दिखता है। इसे उनके टीकाकार भास्कर प्रथम (ई.स. ६००) ने स्पष्ट किया है। इसने वास्तव में गणितीय गणना में क्रांति ला दी और नौ संख्यात्मक प्रतीकों और शून्य के साथ संख्याओं को व्यक्त करने की पूरी तकनीक को सरल बना दिया।

अंकगणित

अंकगणित पाटीगणित का प्रमुख भाग बनाता है। पाटीगणित शब्द दो शब्दों—‘पाटी’ जिसका अर्थ है ‘पट्ट’ और ‘गणित’ जिसका अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’—से मिलकर बना एक संयुक्त शब्द है। इस प्रकार इसका अर्थ है वह गणना-विज्ञान जिसमें लेखन सामग्री (पट्ट) का प्रयोग आवश्यक हो। गणितीय गणनाओं को कभी-कभी धूलिकर्म (‘धूल-कार्य’) कहा जाता था, क्योंकि अंक पट्ट पर या भूमि पर बिछाई गई धूल पर लिखे जाते थे। ब्रह्मगुप्त के अनुसार पाटीगणित में बीस प्रक्रियाएँ और आठ निर्धारण होते हैं। वह कहता है: “जो व्यक्ति बीस लॉजिस्टिक्स, अर्थात् योग आदि, और आठ निर्धारणों—जिनमें छाया-माप सम्मिलित है—को स्पष्टतः और पृथक्-पृथक् जानता है, वह गणितज्ञ है।” आर्यभट्ट प्रथम (ई. 499) अपने सिद्धांत, आर्यभटीय, में गणित का एक अध्याय सम्मिलित करने वाला प्रथम व्यक्ति था। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) ने इस दृष्टि से आर्यभट्ट का अनुसरण किया, और उसके पश्चात् किसी सिद्धांत-ग्रंथ में गणित का अध्याय सम्मिलित करना सामान्य प्रथा बन गई।

भारत में संक्षिप्त रचना—विशेषतः वैज्ञानिक विषयों में—विद्वानों की दृष्टि में अधिक मूल्यवान थी। इसी कारण भारतीय ग्रंथों में ज्ञात सूत्रों और परिणामों का केवल संक्षिप्त विवरण मिलता है, जो कभी-कभी इतना संक्षिप्त होता है कि समझना कठिन हो जाता है। यह संक्षेपता प्राचीनतर ग्रंथों में अधिक प्रखर है; उदाहरणस्वरूप, आर्यभटीय में प्रस्तुति उत्तरोत्तर ग्रंथों की तुलना में अधिक संक्षिप्त है।

ब्रह्मगुप्त

प्राचीन गणित के आठ मूलभूत संक्रियाएँ हैं: (1) योग, (2) व्यवकलन, (3) गुणा, (4) भाग, (5) वर्ग, (6) वर्गमूल, (7) घन और (8) घनमूल। आर्यभट्ट प्रथम ने केवल वर्ग और घनमूल निकालने के नियम दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने केवल घनमूल नियम दिया।

यह बात कि सभी गणितीय संक्रियाएँ योग और व्यवकलन नामक दो मूलभूत संक्रियाओं के रूपांतर हैं, भारतीय गणितज्ञों ने प्रारंभिक काल से ही मान ली थी। भास्कर प्रथम कहता है—“सभी अंकगणितीय संक्रियाएँ दो वर्गों में समाहित हो जाती हैं, यद्यपि सामान्यतः इन्हें चार माना जाता है। दो मुख्य वर्ग हैं—वृद्धि और ह्रास। योग वृद्धि है और व्यवकलन ह्रास है। ये दो प्रकार की संक्रियाएँ सम्पूर्ण गणित (गणिता) में व्याप्त हैं।” इसलिए पूर्व के आचार्यों ने कहा है: “गुणा और वर्गवृद्धि योग के विशेष प्रकार हैं; और भाग और घात व्यवकलन के विशेष प्रकार हैं। वास्तव में प्रत्येक गणितीय संक्रिया वृद्धि और ह्रास में ही समाहित होगी।”

योग

आर्यभट्ट द्वितीय ने योग को इस प्रकार परिभाषित किया है—“अनेक संख्याओं का एक बन जाना योग है।” योग का प्राचीन नाम संकलित (साथ में बना हुआ) है। अन्य समानार्थक शब्द जो सामान्यतः प्रयुक्त होते हैं वे हैं—संकलन (साथ में बनाना), मिश्रण (मिलाना), संमेलन (साथ में घुलना-मिलना), प्रक्षेपण (साथ में फेंकना), संयोजन (साथ में जोड़ना), एकीकरण (एक में बनाना), युक्ति, योग (योग) और अभ्यास आदि। संकलित शब्द का प्रयोग कुछ लेखकों द्वारा श्रेणी के योग के सामान्य अर्थ में किया गया है।

सभी गणितीय और खगोलशास्त्रीय ग्रंथों में योग की प्रक्रिया का ज्ञान स्वतः मान लिया जाता है। कुछ बाद के प्रारंभिक स्वभाव के ग्रंथों में इसका बहुत संक्षिप्त उल्लेख मिलता है। इस प्रकार भास्कर द्वितीय लीलावती में कहते हैं: “सीधे या उल्टे क्रम में समान स्थानों के अंकों को जोड़ो।” उपरोक्त वर्णित सीधी योग प्रक्रिया में, जिन संख्याओं को जोड़ना होता है उन्हें एक के नीचे एक लिखा जाता है, और नीचे एक रेखा खींची जाती है, जिसके नीचे योग लिखा जाता है। प्रथमतः इकाई के स्थान में खड़ी संख्याओं का योग लिखा जाता है, जिससे योग का प्रथम अंक प्राप्त होता है। तत्पश्चात दहाई के स्थान की संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और उनका योग रेखा के नीचे खड़े आंशिक योग के दहाई के स्थान के अंक में जोड़ा जाता है और परिणाम उसके स्थान पर रखा जाता है। इस प्रकार योग का दहाई का अंक प्राप्त होता है, और इसी प्रकार आगे भी।

जोड़ की प्रतिलोम प्रक्रिया में, अंतिम स्थान (बायाँ छोर) में खड़ी संख्याओं को एक साथ जोड़ा जाता है और परिणाम इस अंतिम स्थान के नीचे रखा जाता है। फिर अगले स्थान की संख्याओं को जोड़ा जाता है और यह प्रक्रिया चलती रहती है। आंशिक योग की संख्याओं को, यदि आवश्यक हो, तब सुधारा जाता है जब अगली ऊर्ध्वाधर पंक्ति के अंक जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए,
यदि अंतिम स्थान की संख्याओं का योग 12 हो, तो 12 को तल रेखा के नीचे रखा जाता है, 2 सीधे जोड़ी गई संख्याओं के नीचे; फिर, यदि अगले स्थान की संख्याओं का योग 13 (मान लीजिए) हो, तो 3 को जोड़े गए अंकों के नीचे रखा जाता है और 1 बायीं ओर ले जाया जाता है। इस प्रकार, आंशिक योग 12 के अंक 2 को मिटा कर 3 से बदल दिया जाता है। आइए $26+57$ निकालें।

प्रत्यक्ष प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{चरण 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्रतिलोम प्रक्रिया

$ \begin{array}{ll} & \text{चरण 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{चरण 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

प्र. निम्नलिखित योगों को उपरोक्त विधियों से कीजिए। अपने उत्तरों की वर्तमान विधि से जाँच कीजिए।

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

व्यवकलन

आर्यभट्ट द्वितीय (ई.स. 950) व्यवकलन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:

“सर्वधन (कुल) में से (किसी संख्या) का निकालना व्यवकलन है; जो शेष बचता है उसे शेष कहा जाता है।” व्युत्कलित (अलग किया गया), व्युत्कलन (अलग करना), शोधन (साफ़ करना), पतन (गिराना), वियोग (पृथक्करण) आदि पदों का प्रयोग व्यवकलन के लिए किया गया है। शेष (अवशेष) और अंतर के लिए शेष तथा अंतर पदों का प्रयोग किया गया है। घट्य को सर्वधन या वियोज्य तथा घटाकर को वियोजक कहा गया है।

भास्कर द्वितीय घटाने की विधि इस प्रकार देते हैं: “संख्याओं को उनके स्थानों के अनुसार प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम क्रम में घटाएँ।” प्रत्यक्ष प्रक्रिया को एक उदाहरण—मान लीजिए, $1000-360$—की सहायता से समझाया गया है। दहाई के स्थान पर खड़े शून्य से छह नहीं घटाया जा सकता, इसलिए दस लेकर उससे छह घटाया जाता है, शेष (चार) नीचे (छह के) रखा जाता है, और यह दस अगले स्थान से घटाया जाना है।

क्योंकि इकाई आदि के स्थान दस के गुणक हैं, इसलिए यदि घटाने वाली संख्या के अंक को घटाए जाने वाली संख्या के संगत अंक से नहीं घटाया जा सकता, तो उसे दस से घटाया जाता है, शेष लिया जाता है और यह दस अगले स्थान से घटा दिया जाता है। इस प्रकार यह दस अंतिम स्थान तक ले जाया जाता है जब तक कि वह अंतिम अंक के साथ समाप्त न हो जाए। दूसरे शब्दों में, नौ तक की संख्याएँ एक स्थान घेरती हैं, स्थानों का विभेद दस से प्रारंभ होता है, इसलिए यह ज्ञात हो जाता है कि किसी दी गई संख्या में कितने दस हैं, और इसलिए जो संख्या अपने स्थान से नहीं घटाई जा सकती वह अगले दस से घटाई जाती है और शेष लिया जाता है।

व्युत्क्रम प्रक्रिया भी इसी प्रकार है, केवल अंतर इतना है कि “यह घटाए जाने वाली संख्या के अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, और पहले प्राप्त आंशिक अंतरों को, यदि आवश्यक हो, सुधारा जाता है। यह प्रक्रिया पाटी (तख्ते) पर कार्य करने के लिए उपयुक्त है जहाँ अंकों को आसानी से मिटाया और सुधारा जा सकता है।”

प्र. घटाव कीजिए:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

गुणा

भारत में गुणा के लिए सामान्य नाम गुणना है। यह शब्द सबसे प्राचीन प्रतीत होता है क्योंकि यह वैदिक साहित्य में प्रयुक्त होता है। हनन, वध, क्षय आदि शब्द, जिनका अर्थ ‘मारना’ या ‘नष्ट करना’ है, का भी गुणा के लिए प्रयोग किया गया है। ये शब्द दशमलव स्थान-मान संख्या प्रणाली के साथ गुणा की नई विधि की खोज के बाद प्रचलित हुए; क्योंकि इस नई विधि में, गुण्य के अंक क्रमशः मिटाए जाते (नष्ट किए जाते) थे और उनके स्थान पर गुणनफल के अंक लिखे जाते थे। हनन (मारना) के समानार्थी शब्दों का प्रयोग आर्यभट्ट प्रथम (ई.स. 499), ब्रह्मगुप्त (ई.स. 628), श्रीधर (ई.स. 750) और बाद के लेखकों द्वारा किया गया है। ये शब्द बख्शाली पाण्डुलिपि में भी प्रकट होते हैं। प्राचीन पारिभाषिक शब्दावली सिद्ध करती है कि गुणा की परिभाषा थी ‘गुण्य को गुणक के समान बार बार दोहराकर किया जाने वाला एक योग प्रक्रिया’। यह परिभाषा भास्कर प्रथम द्वारा लिखित आर्यभटीय की टीका में प्रकट होती है।

गुण्य को गुण्य और गुणक को गुणक या गुणकार कहा जाता था। गुणनफल को गुणना-फल (गुणा का परिणाम) या प्रत्युत्पन्न (‘पुन: उत्पन्न’, इसलिए अंकगणित में ‘गुणा द्वारा पुन: उत्पन्न’) कहा जाता था।

गुणा की विधियाँ

ब्रह्मगुप्त चार विधियों का उल्लेख करते हैं: (1) गोमुत्रिका, (2) खण्ड, (3) भेद, और (4) इस्तेर। आर्यभट्ट द्वितीय (ई.सं. 950) ने विधि का नाम नहीं दिया और कहा: “गुणक के प्रथम अंक को गुण्य के अंतिम अंक के ऊपर रखो, फिर गुणक के सभी अंकों को गुण्य के प्रत्येक अंक से क्रमशः गुणा करो।”

श्रीपति (ई.सं. 1039) कपाट-संधि नाम देते हैं और कहते हैं: “गुण्य को गुणक के नीचे दो दरवाजों के संयोग की भाँति रखकर, (गुणक को) सीधे या उल्टे क्रम में घुमाते हुए (गुण्य के अंकों को) क्रमशः गुणा करो।”

निम्नलिखित चित्रण कपाट-संधि योजना के अनुसार गुणा की दो प्रक्रियाओं को समझाते हैं:

सीधी प्रक्रिया: यह कार्यविधि लोकप्रिय प्रतीत नहीं हुई। ग्यारहवीं शताब्दी के बाद के लेखकों ने इसका उल्लेख नहीं किया है, श्रीपति (ई.सं. 1039) इसका उल्लेख करने वाले अंतिम लेखक हैं।

उदाहरण: 135 को 12 से गुणा करो।

संख्याओं को पाटी पर इस प्रकार लिखा जाता है:

12

135

गुण्य का प्रथम (अर्थात् दायाँ से सबसे दायाँ) अंक (5) लिया जाता है और गुणक के अंकों से गुणा किया जाता है। इस प्रकार

$5 \times 2=10 ; 0$ को 2 के नीचे लिखा जाता है, और 1 को ले जाया जाता है।

फिर $5 \times 1=5$; 1 (ले जाया गया) जोड़ने पर हमें 6 मिलता है। अंक 5, जिसकी अब आवश्यकता नहीं है, मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 6 लिखा जाता है। इस प्रकार हमारे पास है:

12

1360

फिर गुणक को एक स्थान बायीं ओर सरकाया जाता है, और हमारे पास है:

12

1360

अब, 12 को 3 से गुणा किया जाता है। विवरण इस प्रकार है: $3 \times 2=6$; यह 6, 2 के नीचे स्थित 6 में जोड़ने पर 12 आता है। 6 को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 2 लिखा जाता है। 1 को कैरी किया जाता है। फिर $3 \times 1=3$; 3 में 1 (कैरी) जोड़ने पर $=4$। 3 को मिटा दिया जाता है और 4 लिखा जाता है। गुणक 12 को बाईं ओर एक स्थान स्थानांतरित करने के बाद, पाटी पर अंक इस प्रकार हैं:

12

1420

फिर, $1 \times 2=2 ; 2+4=6 ; 4$ को मिटा दिया जाता है और 6 लिखा जाता है। $1 \times 1=1$, जिसे 6 के बाईं ओर रखा जाता है।

चूंकि संक्रिया समाप्त हो गई है, 12 को मिटा दिया जाता है और पाटी पर गुणनफल 1620 है।

इस प्रकार संख्याएं 12 और 135 समाप्त हो गई हैं और एक नई संख्या 1620 उत्पन्न हुई है (प्रत्युत्पन्न)।

विलोम प्रक्रिया: विलोम विधि की दो किस्में प्रतीत होती हैं।

(a) पहली में, संख्याएं इस प्रकार लिखी जाती हैं:

12

135

गुणन गुण्य के अंतिम (अर्थात् सबसे बाईं ओर के) अंक से प्रारंभ होता है।

इस प्रकार $1 \times 2=2 ; 1$ को मिटा दिया जाता है और 2 लिखा जाता है; फिर $1 \times 1=1$, यह बाईं ओर लिखा जाता है; गुणक 12 को अगले अंक पर ले जाया जाता है। अब पाटी पर कार्य इस प्रकार होगा:

12 1235

फिर, $3 \times 2=6 ; 3$ को मिटा दिया जाता है और 6 लिखा जाता है; फिर $3 \times 1=3$ और $3+2=5 ; 2$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 5 लिखा जाता है। गुणक को स्थानांतरित करने के बाद, अब पाटी पर कार्य इस प्रकार है:

12

1565

अब, $5 \times 2=10 ; 5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 0 रखा जाता है; फिर $5 \times 1=5 ; 5+1=6 ; 6+6=12 ; 6$ को मिटा दिया जाता है और 2 रखा जाता है, और 1 को आगे ले जाया जाता है; फिर $1+5=6,5$ को मिटा दिया जाता है और उसके स्थान पर 6 रखा जाता है। पाटी में अब गुणनफल (प्रत्युत्पन्न) के रूप में 1620 है। आगे ले जाने वाले अंक पाटी के एक अलग हिस्से पर नोट किए जाते हैं और जोड़ने के बाद मिटा दिए जाते हैं।

(b) दूसरी विधि में, आंशिक गुणन (अर्थात गुण्य के अंकों द्वारा गुणन) सीधी विधि से किए जाते हैं। ये आंशिक गुणन, हालांकि, प्रतीत होता है कि उलटे क्रम में किए गए थे, यह सामान्य ढंग था।

निम्नलिखित संख्याओं को सीधी और परोक्ष विधियों से गुणा कीजिए। आधुनिक गुणन तकनीक का उपयोग कर उत्तर की जांच कीजिए:

(i) $345 \times 27$

(ii) $678 \times 45$

(iii) $756 \times 98$

भाग

भाग को गुणन का व्युत्क्रम माना गया प्रतीत होता है। इस संक्रिया के सामान्य भारतीय नाम भागहर, भाजन, हरण, छेदन आदि हैं। इन सभी शब्दों का शाब्दिक अर्थ है ‘भागों में तोड़ना’, अर्थात ‘भाग देना’, सिवाय हरण के, जिसका अर्थ है ‘ले जाना’। यह शब्द भाग को घटाव से संबंधित दर्शाता है। भाज्य को भाज्य, हार्य आदि कहा जाता है, भाजक को भाजक, भागहर या सरलतः हर कहा जाता है, और भागफल को लब्धि कहा जाता है, जिसका अर्थ है ‘जो प्राप्त हुआ’ या लब्ध।

लंबी भाग विधि

निम्नलिखित उदाहरण पाटी पर संक्रिया करने की भारतीय विधि को स्पष्ट करेगा:

उदाहरण: 1620 को 12 से विभाजित करें।

भाजक 12 को भाज्य के नीचे इस प्रकार रखा जाता है: 1620

12

प्रक्रिया भाज्य के अत्यन्त बायें से प्रारम्भ होती है, जो इस स्थिति में 16 है। इस 16 को 12 से विभाजित किया जाता है। भागफल 1 को एक पृथक पंक्ति में रखा जाता है। इस प्रकार, आंशिक भागफल 1 लिखे जाने के बाद प्रक्रिया इस प्रकार है:

1620

12 1

भागफलों की पंक्ति

16 को मिटा दिया जाता है और शेष 4 को उसके स्थान पर रखा जाता है। घटाव इस प्रकार किया जाता है कि घटाई जाने वाली गुणा के प्रत्येक अंक के प्राप्त होते ही क्रमशः अंकों को मिटाया जाता है, पाटी पर अंक इस प्रकार हैं:

420

12

$$\frac{1}{\text { भागफलों की पंक्ति }}$$

भाजक 12 को अब एक स्थान दायें की ओर सरकाया जाता है, जिससे प्राप्त होता है: 420

12

$$ \frac{1}{\text { भागफलों की पंक्ति }} $$

42 को तब 12 से विभाजित किया जाता है। परिणामी भागफल 3 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में लगाया जाता है, 42 को मिटा दिया जाता है और शेष 6 को उसके स्थान पर रखा जाता है। अब अंक इस प्रकार हैं:

12

$$ \begin{equation*} \frac{13}{\text { भागफलों की पंक्ति }} \tag{60} \end{equation*} $$

भाजक को एक स्थान दायें की ओर सरकाने पर, हमें मिलता है 60

12

पहले की तरह भाग देने के बाद, परिणामी भागफल 5 को ‘भागफलों की पंक्ति’ में लगाया जाता है और 60 को मिटा दिया जाता है जिससे कोई शेष नहीं बचता। भागफलों की पंक्ति में 135 है, जो अभीष्ट परिणाम है।

उपरोक्त प्रक्रिया, जब अंक मिटाए नहीं जाते और क्रमिक चरणों को एक के नीचे एक लिखा जाता है, तो यह आधुनिक लंबा भाग (long division) की विधि बन जाती है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह विधि भारत में चौथी शताब्दी ईस्वी के आसपास, यदि पहले से नहीं, तो उस समय आविष्कार की गई थी।

(i) 1771 को 23 से भाग दें

(ii) 9728 को 32 से भाग दें

(iii) 6930 को 45 से भाग दें

भिन्न

सबसे प्राचीन ज्ञात ग्रंथ, ऋग्वेद में, भिन्न आधा (अर्ध) और तीन-चौथाई (त्रि-पाद) प्रकट होते हैं। मैत्रायणी संहिता के एक पद में, भिन्न एक-सोलहवां (कला), एक-बारहवां (कुष्ठ), एक-आठवां (सफ) और एक-चौथाई (पाद) का उल्लेख है। सबसे प्राचीन ज्ञात गणितीय ग्रंथ, शुल्बसूत्र में, भिन्नों का केवल उल्लेख ही नहीं किया गया है, बल्कि उनका उपयोग समस्याओं के कथन और हल में भी किया गया है।

ऋग्वेद में तीन-चौथाई भिन्न का प्रयोग सम्भवतः हमारे ज्ञात संयुक्त भिन्नों का सबसे प्राचीन अभिलेख है। संस्कृत समास ‘त्रि-पाद’ का शाब्दिक अर्थ है ‘तीन पैर’। संख्या के रूप में प्रयुक्त, यह दर्शाता है कि विचाराधीन अंश का पूरे से वही अनुपात है जो चौपाये के तीन पैर उसके कुल पैरों से रखते हैं। पद ‘पाद’ स्वयं एक-चौथाई के लिए संख्याशब्द है, और समास ‘त्रि-पाद’ ठीक उसी नियम पर बना है जिस पर अंग्रेज़ी ‘three-fourth’ बना है। शुल्ब में इकाई भिन्नों को भाग या अंश शब्द के साथ मूल संख्या रखकर दर्शाया गया है; इस प्रकार पञ्च-दश-भाग (पन्द्रह भाग) ‘एक-पन्द्रहवें’ के समतुल्य है, सप्त-भाग (सात भाग) ‘एक-सातवें’ के समतुल्य है, और इसी प्रकार आगे। क्रमवाचक संख्या को भाग या अंश के साथ प्रयोग करना भी प्रचलित है, जैसे पञ्चम-भाग (पाँचवाँ भाग) ‘एक-पाँचवें’ के समतुल्य है। कभी-कभी काव्य-लाभ के लिए भाग शब्द को छोड़ दिया जाता है। संयुक्त भिन्न जैसे 3/8 और 2/7 को क्रमशः त्रि-अष्टम (तीन-आठवें) और द्वि-सप्तम (दो-सातवें) कहा जाता है।

वर्ग

संस्कृत में वर्ग के लिए प्रयुक्त शब्द वर्ग या कृति है। वर्ग शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘पंक्तियाँ’ या ‘दल’ (समान वस्तुओं के)। परंतु गणित में यह ‘सामान्यतः वर्ग घात का तथा वर्गाकार आकृति या उसके क्षेत्रफल का’ बोध कराता है। इस प्रकार आर्यभट्ट प्रथम कहते हैं: “चार समान भुजाओं वाली वर्गाकार आकृति और (उसके क्षेत्रफल को दर्शाने वाली) संख्या को वर्ग कहा जाता है। दो समान राशियों का गुणनफल भी वर्ग है।”

कृति शब्द का शाब्दिक अर्थ है ‘करना’, ‘बनाना’ या ‘क्रिया’। इसमें विशिष्ट प्रदर्शन की भावना है, संभवतः आलेखीय निरूपण की। दोनों शब्द वर्ग और कृति गणितीय ग्रंथों में प्रयुक्त हुए हैं, परंतु वर्ग शब्द को प्राधान्य दिया गया है।

निम्नलिखित पाटी पर कार्य करने की विधि है, प्रक्रिया अंतिम स्थान से प्रारंभ होती है, श्रीधर, महावीर, भास्कर द्वितीय और अन्य के अनुसार:

उदाहरण: 125 का वर्ग ज्ञात कीजिए।

संख्या लिखी जाती है:

125

बाईं ओर से अंतिम अंक 1 है। उसका वर्ग स्वयं के ऊपर रखा जाता है।

1

125

फिर अंतिम अंक (अर्थात् 1) का दुगुना है $2 \times 1=2$; इसे शेष अंकों के नीचे (2 के नीचे या 5 के नीचे, जो भी प्रत्यक्ष या व्युत्क्रम गुणन विधि प्रयुक्त हो, उसके अनुसार) रखकर अंतिम अंक 1 को मिटा दिया जाता है, तब पाटी पर कार्य इस प्रकार प्रकट होता है:

1

25

2

2 से गुणन करने पर (नीचे, अर्थात् $25 \times 2=50$) और परिणामों को संबंधित अंकों के ऊपर रखने पर, 2 को मिटाने पर हमें प्राप्त होता है:

150

25

एक चक्र का संचालन पूरा हो गया है। अब, शेष अंकों अर्थात् 25 को एक स्थान दायीं ओर सरकाते हुए हमें मिलता है:

150

25

अब, प्रक्रिया दोहराई जाती है, अर्थात् अंतिम अंक (2) का वर्ग उसी के ऊपर रखा जाता है (0 को मिटाकर) जिससे मिलता है:

154

25

फिर, अंतिम अंक का दुगुना (अर्थात् $2 \times 2=4$) शेष अंकों के नीचे रखा जाता है और 2 को मिटा दिया जाता है, जिससे हमें मिलता है:

154

5

4

गुणा करते हुए, $4 \times 5=20$, और इसे संगत अंक 5 के ऊपर रखा जाता है (अर्थात् 0 को 5 के ऊपर और 2 को बाईं ओर ले जाया जाता है), जिससे पाटी पर कार्य इस प्रकार दिखाई देता है:

1560

5

इस प्रकार, दूसरे चक्र का संचालन पूरा हो गया है। फिर, 5 को सरकाते हुए हमें मिलता है:

1560

5

5 का वर्ग करने पर हमें 25 मिलता है, और इसे 5 के ऊपर रखा जाता है, 0 को प्रतिस्थापित करते हुए (अर्थात् 5 को 5 के ऊपर और 2 को बाईं ओर ले जाया जाता है), हमें मिलता है: 15625 5

चूँकि कोई भी अंक शेष नहीं हैं, कार्य समाप्त होता है।

5 को मिटा देने पर, पाटी में 15625 आता है, जो अभीष्ट वर्ग है।

प्र. निम्नलिखित संख्याओं के वर्ग ऊपर दी गई विधि से ज्ञात कीजिए। उत्तरों की जाँच वर्तमान वर्ग निकालने की विधि से कीजिए।

(i) 234

(ii) 356

(iii) 487

(iv) 753

(v) 269

वर्गमूल

‘मूल’ के लिए हिंदी शब्द मूल और पाद हैं। संस्कृत साहित्य में मूल शब्द का सामान्य अर्थ पौधे या वृक्ष की ‘जड़’ है; परंतु रूपक रूप में यह किसी वस्तु का पाद या निम्नतम भाग या तल है। इसके अन्य अर्थ हैं आधार, नींव, कारण, उद्गम आदि। पाद शब्द का अर्थ है ‘पैर का निचला भाग’ (रूपक रूप में किसी वस्तु का निचला भाग या आधार), पैर, भाग, अंश, पक्ष, स्थान, कारण, शतरंज की बिसात पर एक वर्ग आदि। दोनों शब्दों के समान अर्थ हैं—पैर, किसी वस्तु का निम्नतम भाग या आधार, कारण या उद्गम। अतः यह पूर्णतया स्पष्ट है कि भारतीय वर्गमूल (square-root) शब्द से वर्ग का कारण या उद्गम या वर्ग (आकृति) की भुजा अभिप्रेत करते थे।

वर्गमूल ज्ञात करने की विधि का वर्णन आर्यभटीय में अत्यंत संक्षेप में इस प्रकार दिया गया है:

“सदा सम स्थान को द्विगुने वर्गमूल (पूर्ववर्ती विषम स्थान तक) से भाग दो; विषम स्थान से भागफल के वर्ग को घटाने के पश्चात् भागफल को अगले स्थान पर (मूल की पंक्ति में) रखने पर मूल प्राप्त होता है।” यह विधि इस प्रकार दिखाई जा सकती है:

उदाहरण: 54756 का वर्गमूल निकालिए।

विषम और सम स्थानों को क्रमशः ऊध्र्वाधर और क्षैतिज रेखाओं से चिह्नित किया गया है। विभिन्न चरण तब इस प्रकार दर्शाए जाते हैं।

प्रक्रिया समाप्त होती है। मूल 234 है।

ज्यामिति

अस्तित्व में आने वाली सबसे प्राचीन गणितीय ग्रंथ सूल्बसूत्र हैं—बौधायन, आपस्तम्ब और कात्यायन के—जो कि उत्तर वैदिक युग के सूत्र काल के साहित्य का भाग हैं। सूल्बसूत्रों के 800 ई.पू. के आसपास रचे जाने का अनुमान लगाया गया है, पर इन सूत्रों में दर्ज गणितीय ज्ञान और भी प्राचीन है; क्योंकि सूल्ब लेखक इस बात पर बल देते हैं कि वे केवल उन तथ्यों को उद्धृत कर रहे हैं जो प्रारंभिक वैदिक युग के ब्राह्मणों और संहिताओं के रचनाकारों को पहले से ज्ञात थे। सूल्बसूत्र वैदिक अग्नि वेदियों की विभिन्न सुरुचिपूर्ण रचनाओं के डिज़ाइन और निर्माण में प्रयुक्त गणितीय परिणामों का संकलन प्रस्तुत करते हैं। वेदियों को समृद्ध प्रतीकात्मक महत्व प्राप्त था और इन्हें सटीकता से बनाना आवश्यक था। कई ईंट-वेदियों की रचनाएँ काफी रोचक हैं, उदाहरणस्वरूप, वहाँ उड़ान में एक बाज़ की वक्र पंखों वाली आकृति, पूर्णतः स्पोक्स के साथ एक रथ-चक्र या फिर बाहर निकले सिर व पैरों वाला कछुआ दिखाने वाली रचनाएँ हैं। सूल्बसूत्र में त्रिभुजों के प्रकार—सम, द्विसम और विषम त्रिभुज—मूलतः समबाहु, समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज हैं।

बौधायन

इतिहास में समतलीय ज्यामिति दो महत्वपूर्ण उपयोगी स्तंभों पर टिकी रही है: (i) ‘पाइथागोरस प्रमेय’ के नाम से प्रसिद्ध परिणाम, और (ii) समरूप आकृतियों के गुणधर्म। सुल्बसूत्रों में पाइथागोरस प्रमेय का कथन देखा जा सकता है, साथ ही विभिन्न ज्यामितीय रचनाओं में इसके उपयोग, जैसे दो दिए गए वर्गों के योग या अंतर के बराबर क्षेत्रफल का वर्ग बनाना, या आयत के बराबर।

आर्यभट्ट प्रथम ने सभी सामान्य ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल या परिमाप के लिए सही सूत्र दिए, जबकि ब्रह्मगुप्त ने त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए सही सूत्र दिए; साथ ही चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल जब भुजाएँ ज्ञात हों, और चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण।

बीजगणित

बीजगणित के विज्ञान का भारतीय नाम बीजगणित है। बीज का अर्थ है ‘तत्व’ या ‘विश्लेषण’ और गणित का अर्थ है ‘गणना का विज्ञान’। इस प्रकार बीजगणित का शाब्दिक अर्थ है ‘तत्वों के साथ गणना का विज्ञान’ या ‘विश्लेषणात्मक गणना का विज्ञान’। ब्रह्मगुप्त (ई. 628) बीजगणित को कुट्टकगणित या सरलतया कुट्टक कहता है। कुट्टक पद, जिसका अर्थ ‘पीसने वाला’ है, बीजगणित के विज्ञान की एक शाखा को संदर्भित करता है जो विशेषतः प्रथम कोटि की अनिर्धारित समीकरणों के विषय से संबंधित है। यह रोचक है कि यह विषय भारतीयों के लिए इतना महत्वपूर्ण माना गया कि सातवीं शताब्दी के आरंभ में सम्पूर्ण बीजगणित विज्ञान का नाम इसी के नाम पर रखा गया। बीजगणित को अव्यक्त-गणित या “अज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान” (अव्यक्त = अज्ञात) भी कहा जाता है, जो व्यक्त-गणित या “ज्ञातों के साथ गणना का विज्ञान” (व्यक्त = ज्ञात) नाम वाले अंकगणित—जिसमें ज्यामिति और क्षेत्रमिति सम्मिलित हैं—के विपरीत है।

बीजगणित का महत्व

प्राचीन भारतीय बीजगणित को अत्यंत उपयोगी विज्ञान मानते थे। बीजगणित पर अपने ग्रंथ के प्रारंभिक श्लोकों में ब्रह्मगुपट टिप्पणी करता है:

“चूँकि बीजगणित के बिना प्रश्नों को जानना (अर्थात् हल करना) दुर्लभ है, इसलिए मैं उदाहरणों सहित बीजगणित का वर्णन करूँगा। कुट्टक, शून्य, ऋण और धन राशियाँ, अज्ञात, मध्यपदावर्त्त, एक अज्ञात वाली समीकरणें, फ़ैक्टम और वर्ग-स्वभाव को जानकर कोई विद्वानों में विद्वान आचार्य बन जाता है।”

इसी प्रकार भास्कर द्वितीय (1150 ई.) लिखते हैं—“जिसे विद्वान गणक (संख्यापक) बुद्धि के उत्पत्तिकर्ता के रूप में वर्णित करते हैं, जो एक बुद्धिमान सत्ता (सत्पुरुष) के निर्देशन से कार्य करता है और जो केवल सभी ज्ञात (व्यक्त) वस्तुओं का मूल कारण (बीज) है, मैं उस अदृश्य ईश्वर तथा अज्ञातों की गणना-विद्या को वंदन करता हूँ… चूँकि प्रश्न शायद ही बीजगणितीय तर्क के बिना हल किए जा सकते हैं, और मंद बुद्धि वाले उन्हें बिल्कुल नहीं सुलझा सकते, इसलिए मैं विश्लेषण की क्रियाओं का वर्णन करूँगा।” इस प्रकार, भास्कर द्वितीय के अनुसार, बीजगणित को वह विज्ञान कहा जा सकता है जो प्रतीकों द्वारा व्यक्त संख्याओं का अध्ययन करता है, और जिसमें बुद्धिमान युक्तियों तथा चतुर उपायों के लिए पर्याप्त गुंजाइश और प्राथमिक आवश्यकता होती है।

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति

भारत में बीजगणित की उत्पत्ति सुल्ब (800-500 ई.पू.) और ब्राह्मण (2000 ई.पू.) काल तक पहुँचाई जा सकती है। परंतु तब यह अधिकतर ज्यामितीय था। वर्ग को एक दी गई भुजा वाले आयत में रूपांतरित करने की ज्यामितीय विधि, जो प्रमुख सुल्ब में वर्णित है, स्पष्टतः एक अज्ञात राशि वाले रैखिक समीकरण $a x=c^{2 n}$ के हल के समतुल्य है। द्विघात समीकरण का समकक्ष एक ऐसी आकृति (वेदी) के निर्माण में मिलता है जो किसी दी गई आकृति के समरूप हो परंतु उससे निर्धारित मात्रा में क्षेत्रफल में भिन्न हो। उस समस्या को हल करने की सामान्य विधि आकृति की रैखिक मापों की माप-इकाई बढ़ाना था।

आर्यभट्ट प्रथम ने द्विपद प्रसार में भी महत्वपूर्ण योगदान दिए। इनका उपयोग घातांकों पर संक्रियाएँ, वर्ग, वर्गमूल, घन, घनमूल आदि निकालने के लिए किया गया।

त्रिकोणमिति

बीजगणित की संकल्पनाओं के विकास के अतिरिक्त, भारतीयों ने त्रिकोणमिति की संकल्पनाओं को भी व्यवस्थित रूप से विकसित किया जो इसके आधुनिक रूप से मेल खाती थीं। उन्होंने इसके आगे के विकास में बीजगणित का उपयोग किया।

यद्यपि यूनानियों ने त्रिकोणमिति की स्थापना की, उनकी प्रगति उपयुक्त बीजगणितीय यंत्र और संकेतों की अनुपस्थिति के कारण रुक गई। भारतीयों ने साइन और कोसाइन फलनों की खोज की, अधिकांश मानक सूत्रों और पहचानों की खोज की, जिसमें $\sin (A \pm B)$ का मूलभूत सूत्र भी शामिल है और अपेक्षाकृत सटीक साइन तालिकाएँ बनाईं। ब्रह्मगुप्त (ई.पू. 628) और गोविन्दस्वामी (ई.पू. 880) ने साइन तालिकाओं से मध्यवर्ती कोणों के साइनों की गणना के लिए प्रक्षेपण सूत्र दिए — ये द्वितीय कोटि के अंतर के लिए न्यूटन-स्टर्लिंग और न्यूटन-गॉस सूत्रों के विशेष मामले हैं (जो उच्च कक्षाओं में पढ़ाए जाते हैं)। उल्लेखनीय सन्निकटन भारतीय ग्रंथों में दिए गए हैं जिनमें आर्यभट्ट प्रथम (ई.पू. 499) का 3.1416, माधव (ई.पू. 1500) का 3.14159265359 और नीलकण्ठ (ई.पू. 1500) का 355/113 शामिल हैं।

आर्यभट्ट प्रथम ने पहली बार एक चतुर्थ-वृत्त के भीतर समकोण त्रिभुज को परिभाषित किया और लंब तथा आधार को कोण के फलन के रूप में व्यक्त किया, और लंब, ज्या या जीवा को $R \operatorname{Sin} \theta$ के रूप में तथा आधार, को-ज्या $\bar{a}$ को $R \operatorname{Cos} \theta$ के रूप में व्यक्त किया, जो सम्बन्ध $(R \operatorname{Sin} \theta)^{2}+(R \operatorname{Cos} \theta)^{2}=R^{2}$ को संतुष्ट करता है, जहाँ $R$ वृत्त की त्रिज्या है। उन्होंने मान दिए, $R$ Sin $0^{\circ}=0, R \operatorname{Sin} 30^{\circ}=R / \sqrt{ } 3$, $R \operatorname{Sin} 45^{\circ}=R / \sqrt{ } 2, R \operatorname{Sin} 60^{\circ}=R \sqrt{3} / 2, R \operatorname{Sin} 90^{\circ}=R$।

उन्होंने आगे सुझाव दिया कि Sine के मान अंतराल $0 \leq \theta \leq 1$ में बढ़ते हैं, और Cosine के मान उसी प्रकार घटते हैं, अर्थात् $\mathrm{R} \operatorname{Cos} 0^{\circ}=\mathrm{R}$ और $\operatorname{Cos} 90^{\circ}=0$। ये सभी तथ्य आधुनिक त्रिकोणमिति में भी अध्ययन किए जाते हैं।

अभ्यास

1. प्राचीन गणितज्ञों को कितनी मूलभूत संक्रियाएँ ज्ञात थीं? वे क्या हैं?

2. प्राचीन भारतीय गणितज्ञों और उनकी अवधि का नाम बताइए, जिन्होंने ज्यामिति और त्रिकोणमिति में कार्य किया।

क्या आपको प्राचीन गणितीय संकल्पनाओं और आपके द्वारा अध्ययन की जा रही बीजगणित, ज्यामिति और त्रिकोणमिति की वर्तमान गणितीय संकल्पनाओं के बीच कोई समानता दिखाई देती है? (आप संदर्भों में दिए गए साहित्य का भी उल्लेख कर सकते हैं)।

3. (क) क्या आपको लगता है कि संख्याओं पर आधारभूत संक्रियाएँ करने की प्रक्रिया में प्राचीन काल और आज की आपने जो पद्धति पढ़ी है, उनमें कोई अंतर है?

(ख) आपको कौन-सी प्रक्रिया आसान लगती है? क्यों? अपने मित्रों से चर्चा कीजिए।

4. कम-से-कम तीन ऐसे पद लिखिए जिनका प्रयोग प्राचीन गणितज्ञों ने किया था और उनके अर्थ दीजिए:

(क) योग
(ख) व्यवकलन
(ग) गुणा
(घ) भाग

5. साहित्य से ऐसी गणितीय संकल्पनाएँ खोजिए जो इस अध्याय में चर्चित नहीं की गई हैं और जिनका विकास भारतीय गणितज्ञों ने किया है।

शब्दावली

गणित अनुयोग: गणित के सिद्धांतों का प्रस्तुतीकरण

कपट-संधि: संख्याओं को गुणा करने की एक विधि

सांख्यान: संख्याओं का विज्ञान, अर्थात् अंकगणित तथा खगोलशास्त्र

शुल्बसूत्र: संस्कृत नाम शुल्बसूत्र या ‘शुल्व सूत्र’ सर्वेयरों की उस प्रथा से उत्पन्न हुआ है जिसमें वे ज़मीन के समीप डोरियों को खूँटियों से जोड़कर सीधी रेखाएँ खींचते थे। आज भी हम ईंटों के कारीगरों को यह कला अपनाते देख सकते हैं, यदि वे यह सुनिश्चित करना चाहें कि दीवार सीधी है।

यजुर्वेद संहिता: यजुर्वेद-संहिताएँ अध्वर्यु पुजारी के लिए प्रार्थना-पुस्तक हैं, जिसे लगभग सभी कर्मकांडीय कार्य करने पड़ते थे।