ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਾਪਤੀਆਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀ ਸਾਡੇ ਋ਣੀ ਹੋਣ ਬਾਰੇ ਇਸ ਸਮੇਂ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਜਾਣਕਾਰੀ ਹੈ। ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਭਾਰਤੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਕੀਤੇ ਕੰਮਾਂ ‘ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਨ ਨਾਲ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਾਪਤੀਆਂ ‘ਤੇ ਹੈਰਾਨੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਵੀ ਅਹਿਸਾਸ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਇਸਨੂੰ ਕਿੰਨੀ ਮਹੱਤਤਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਸੀ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਹੁਣ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਸਥਾਨ-ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਖੋਜ ਭਾਰਤੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ ਅਤੇ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਹੀ ਵਰਤੀ ਗਈ ਸੀ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਤੋਂ ਈਸਵੀ ਸੰਮਤ ਦੇ ਸਤਾਰ੍ਹਵੀਂ ਸਦੀ ਤੱਕ, ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸਭ ਤੋਂ ਪੁਰਾਣੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਲੈ ਕੇ, ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੇ ਕੁਝ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਅਤੇ ਪ੍ਰਗਤੀ ਬਾਰੇ ਕਾਫ਼ੀ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਮਿਲੇਗਾ।

ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤ ਦੀ ਇੱਕ ਝਲਕ

ਮੋਹਨਜੋਦੜੋ ਵਿੱਚ ਹੋਈਆਂ ਖੋਜਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ 3000 ਈਸਾ ਪੂਰਵ ਦੇ ਆਸ-ਪਾਸ ਹੀ ਸਿੰਧੂ ਧਰਤੀ ਦੇ ਵਾਸੀ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਜੀਵਨ ਜੀ ਰਹੇ ਸਨ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਉਹ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਲੋਕਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਉੱਨਤ ਸਨ। ਵੇਦਾਂ ਦੇ ਬਾਅਦ ਆਉਣ ਵਾਲਾ ਬ੍ਰਾਹਮਣ ਸਾਹਿਤ (2000 ਈਸਾ ਪੂਰਵ) ਅੱਧਾ ਰਸਮ-ਰਿਵਾਜਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਅੱਧਾ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ। ਇਸ ਬ੍ਰਾਹਮਣ ਕਾਲ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦੋ ਹਜ਼ਾਰ ਸਾਲਾਂ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੇਂ ਲਈ ਨਿਰੰਤਰ ਪ੍ਰਗਤੀ ਅਤੇ ਸ਼ਾਨਦਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤੀਆਂ ਹਾਸਲ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ। ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨ ਜਾਂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੀ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸ਼ਾਖਾ ਦੀ ਸੰਸਕ੍ਰਿਤੀ ਨੂੰ ਆਤਮਿਕ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਰੁਕਾਵਟ ਨਹੀਂ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ।

ਗਣਿਤ (ਗਣਿਤ) ਦੀ ਸੰਸਕ੍ਰਿਤੀ ਨੂੰ ਮਹੱਤਤਾ ਜੈਨੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਧਾਰਮਿਕ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਅਨੁਯੋਗ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਸੈਂਖਯਾਨ ਦਾ ਗਿਆਨ ਜੈਨ ਪੁਜਾਰੀ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਯੋਗਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਬੋਧੀ ਸਾਹਿਤ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਅੰਕਗਣਿਤ (ਗਣਨਾ ਸਮਿਖਯਾਨ) ਨੂੰ ਕਲਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਉੱਤਮ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੀ ਸੰਸਕ੍ਰਿਤੀ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਮਹੱਤਤਾ ਅਤੇ ਮੁੱਲ ਬਾਰੇ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਵਿਚਾਰ ਦੇਣਗੀਆਂ।

ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਕਵਾਦ ਦਾ ਵਿਕਾਸ

ਬਹੁਤ ਪੁਰਾਣੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਹੀ, ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਦਸ ਨੇ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਆਧਾਰ ਬਣਾਇਆ ਹੈ। ਇਹ ਭਾਰਤ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਵੀ ਹੈ, ਕਿ ਬਹੁਤ ਉੱਚ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਨਾਮਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਲੜੀ ਮਿਲੀ ਹੈ। ਯਜੁਰਵੇਦ ਸੰਹਿਤਾ ਅਤੇ ਕਈ ਹੋਰ ਵੈਦਿਕ ਰਚਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ 10¹² ਜਿੰਨੇ ਵੱਡੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਨਾਮਾਂ ਦੇ ਇਸਤੇਮਾਲ ਦਾ ਹਵਾਲਾ, ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਕੱਢਣ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਆਧਾਰ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਉਸ ਦੂਰ ਦੇ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਭਾਰਤੀਆਂ ਕੋਲ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਜ਼ਰੂਰ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਸੀ। ਅਸ਼ੋਕ ਦੀਆਂ ਸ਼ਿਲਾਲੇਖਾਂ ‘ਤੇ ਲਿਖਤਾਂ ਤੋਂ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਦੇ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਦਾ ਇਸਤੇਮਾਲ ਕਾਫ਼ੀ ਆਮ ਸੀ।

ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਹ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪ੍ਰਤੀਕ ਲੰਬੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਵਰਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਸਨ। ਬ੍ਰਾਹਮੀ ਅੰਕ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਭਾਰਤੀ ਖੋਜ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਬਾਰੇ ਸਾਡਾ ਗਿਆਨ ਰਾਜਾ ਅਸ਼ੋਕ (300 ਈਸਾ ਪੂਰਵ) ਦੇ ਸਮੇਂ ਤੱਕ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਰਾਜ ਵਿੱਚ ਸਾਰਾ ਭਾਰਤ ਸ਼ਾਮਲ ਸੀ ਅਤੇ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਮੱਧ ਏਸ਼ੀਆ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਈਸਵੀ ਸੰਮਤ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਜਾਂ ਦੂਜੀ ਸਦੀ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਅਤੇ ਤਾਰੀਖਾਂ ਵਾਲੇ ਕਈ ਸ਼ਿਲਾਲੇਖ ਉਸ ਸਮੇਂ ਦੀ ਬੰਬਈ ਪ੍ਰੈਜ਼ੀਡੈਂਸੀ ਦੇ ਨਾਸਿਕ ਜ਼ਿਲ੍ਹੇ ਦੀ ਇੱਕ ਗੁਫਾ ਵਿੱਚ ਮਿਲੇ ਹਨ। ਬ੍ਰਾਹਮੀ ਸੰਕੇਤਨ ਦੇ ਅੰਕ 1, 2 ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ, ਦੋ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਖਿਤਿਜੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ।

ਆਰੀਭੱਟ

ਹੁਣ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਭਾਰਤ ਦੀ ਗਣਿਤ ਦੀ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਪਰੰਪਰਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਈਸਵੀ ਸੰਮਤ ਦਾ ਕਾਲ $500-1200$ ਬਹੁਤ ਹੀ ਦਿਲਚਸਪ ਹੈ ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ ਦਾ ਸੁਨਹਿਰੀ (ਸਿਧਾਂਤਿਕ) ਕਾਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਆਰੀਭੱਟ ਪਹਿਲੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਜਨਮ 496 ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ ਹੋਇਆ ਸੀ, ਇੱਕ ਅਗਰਗਾਮੀ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀ ਜੋ ਗਿਆਨ ਦੇ ਉਸਦੇ ਵਿਵਸਥਿਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਅਤੇ ਵਿਵਸਥਾਕਰਨ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅੰਤ ਭਾਸਕਰ ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਜਨਮ 1114 ਈਸਵੀ ਵਿੱਚ ਹੋਇਆ ਸੀ ਅਤੇ ਜਿਸਨੇ ਗਣਿਤ ਦੇ ਗਿਆਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਬੁਨਿਆਦ ‘ਤੇ ਰੱਖਿਆ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰਲੇ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀ ਵਰਾਹਮਿਹਿਰ (505 ਈਸਵੀ), ਭਾਸਕਰ ਪਹਿਲਾ (600 ਈਸਵੀ), ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ (628 ਈਸਵੀ), ਮਹਾਵੀਰ (850 ਈਸਵੀ), ਸ਼੍ਰੀਧਰ (850 ਈਸਵੀ), ਸ਼੍ਰੀਪਤੀ (1039 ਈਸਵੀ) ਵੀ ਉੱਨੇ ਹੀ ਮਸ਼ਹੂਰ ਸਨ।

ਆਰੀਭੱਟ ਪਹਿਲੇ ਦੀ ਆਰੀਭੱਟੀਆ ਦੇ ਦੋ ਭਾਗ ਹਨ- ਦਸਗੀਤਿਕਾ (ਦਸ਼ਮਲਵ ਪੈਮਾਨੇ ‘ਤੇ ਕੁਝ ਜ਼ਰੂਰੀ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਦੀ ਖੋਜ, ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੇ ਤੱਤ) ਅਤੇ ਗਣਿਤ (ਅੱਠ ਮੁੱਢਲੇ ਕਾਰਜ, ਸਮਤਲ ਰੇਖਾਗਣਿਤ, ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਹੱਲ)। ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ ਦੀ ਬ੍ਰਹਮਸਫੁਟਸਿਧਾਂਤਾ ਵਿੱਚ ਦੋ ਭਾਗ ਹਨ- ਗਣਿਤ (ਗਣਿਤ) ਅਤੇ ਕੁੱਟਕ (ਪਲਵਰਾਈਜ਼ਰ), ਜਦਕਿ ਭਾਸਕਰ ਦੂਜੇ ਨੇ ਦੋ ਵੱਖਰੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਲਿਖੀਆਂ, ਲੀਲਾਵਤੀ (ਗਣਿਤ) ਅਤੇ ਬੀਜਗਣਿਤ (ਬੀਜਗਣਿਤ), ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਇਸ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦਾ ਗਿਆਨ ਕਿਵੇਂ ਵਿਸਤਾਰਿਆ ਹੈ।

ਸਿਫ਼ਰ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਕ ਦੀ ਖੋਜ ਆਰੀਭੱਟ ਪਹਿਲੇ (ਜਨਮ 496 ਈਸਵੀ) ਦੁਆਰਾ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਦਸ਼ਮਲਵ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਆਰੀਭੱਟ ਪਹਿਲਾ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ, “ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਨਾਲ ਭਰ ਦੇਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ” ਜੋ “ਸ਼ੂਨਿਆ” ਵਰਗਾ ਦਿਖਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਉਸਦੇ ਟੀਕਾਕਾਰ ਭਾਸਕਰ ਪਹਿਲੇ (600 ਈਸਵੀ) ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸਨੇ ਸੱਚਮੁੱਚ ਗਣਿਤੀ ਗਣਨਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕ੍ਰਾਂਤੀ ਲਿਆ ਦਿੱਤੀ ਅਤੇ ਨੌਂ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਕਾਂ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਨਾਲ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੀ ਸਾਰੀ ਤਕਨੀਕ ਨੂੰ ਸਰਲ ਬਣਾ ਦਿੱਤਾ।

ਅੰਕਗਣਿਤ

ਅੰਕਗਣਿਤ ਪਾਟੀਗਣਿਤ ਦਾ ਮੁੱਖ ਹਿੱਸਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਪਾਟੀਗਣਿਤ ਸ਼ਬਦ ਪਾਟੀ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਤਖ਼ਤੀ’, ਅਤੇ ਗਣਿਤ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਗਣਨਾ ਦਾ ਵਿਗਿਆਨ’, ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸ਼ਬਦ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਗਣਨਾ ਦਾ ਵਿਗਿਆਨ ਜਿਸ ਲਈ ਲਿਖਣ ਦੀ ਸਮੱਗਰੀ (ਤਖ਼ਤੀ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਗਣਿਤੀ ਗਣਨਾਵਾਂ ਕਰਨ ਨੂੰ ਕਈ ਵਾਰ ਧੂਲੀਕਰਮ (‘ਧੂੜ-ਕਾਰਜ’) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਸੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਤਖ਼ਤੀ ‘ਤੇ ਫੈਲਾਈ ਧੂੜ ‘ਤੇ ਜਾਂ ਜ਼ਮੀਨ ‘ਤੇ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਸੀ। ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਾਟੀਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵੀਹ ਕਾਰਜ ਅਤੇ ਅੱਠ ਨਿਰਧਾਰਨ ਹਨ। ਉਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ: “ਜੋ ਵੀਹ ਲੌਜਿਸਟਿਕਸ, ਯਾਨੀ ਜੋੜ, ਆਦਿ, ਅਤੇ (ਪਰਛਾਵੇਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਪ ਸਮੇਤ) ਅੱਠ ਨਿਰਧਾਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਅਤੇ ਵੱਖਰੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜਾਣਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਇੱਕ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀ ਹੈ।” ਆਰੀਭੱਟ ਪਹਿਲਾ (499 ਈਸਵੀ) ਆਪਣੀ ਸਿਧਾਂਤ, ਆਰੀਭੱਟੀਆ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਭਾਗ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਪਹਿਲਾ ਸੀ। ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ (628 ਈਸਵੀ) ਨੇ ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਆਰੀਭੱਟ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕੀਤੀ, ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਬਾਅਦ ਸਿਧਾਂਤ ਰਚਨਾ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਭਾਗ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨਾ ਆਮ ਫੈਸ਼ਨ ਬਣ ਗਿਆ।

ਭਾਰਤ ਵਿੱਚ ਰਚਨਾ ਦੀ ਸੰਖੇਪਤਾ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ ਵਿਗਿਆਨਕ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਵਿਦਵਾਨਾਂ ਦੀਆਂ ਨਜ਼ਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਮੁੱਲ ਰੱਖਦੀ ਸੀ। ਇਸੇ ਕਾਰਨ ਭਾਰਤੀ ਗ੍ਰੰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਜਾਣੇ-ਪਛਾਣੇ ਸੂਤਰਾਂ ਅਤੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸੰਖੇਪ ਬਿਆਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਈ ਵਾਰ ਇੰਨਾ ਸੰਖੇਪਤਾ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮਝਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖੇਪਤਾ ਪੁਰਾਣੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ; ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਆਰੀਭੱਟੀਆ ਵਿੱਚ ਵਿਆਖਿਆ ਬਾਅਦ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸੰਖੇਪ ਹੈ।

ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ

ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਗਣਿਤ ਦੇ ਅੱਠ ਮੁੱਢਲੇ ਕਾਰਜ ਹਨ: (1) ਜੋੜ, (2) ਘਟਾਓ, (3) ਗੁਣਾ, (4) ਭਾਗ, (5) ਵਰਗ, (6) ਵਰਗਮੂਲ, (7) ਘਣ ਅਤੇ (8) ਘਣਮੂਲ। ਆਰੀਭੱਟ ਪਹਿਲੇ ਨੇ ਸਿਰਫ਼ ਵਰਗਮੂਲ ਅਤੇ ਘਣਮੂਲ ਲੱਭਣ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦਿੱਤੇ, ਜਦਕਿ ਬ੍ਰਹਮਗੁਪਤ ਨੇ ਸਿਰਫ਼ ਘਣਮੂਲ ਦਾ ਨਿਯਮ ਦਿੱਤਾ।

ਕਿ ਸਾਰੇ ਗਣਿਤੀ ਕਾਰਜ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਦੇ ਦੋ ਮੁੱਢਲੇ ਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਰੂਪਾਂਤਰ ਹਨ, ਇਸਨੂੰ ਪੁਰਾਣੇ ਸਮੇਂ ਤੋਂ ਹੀ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ-ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਮਾਨਤਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਭਾਸਕਰ ਪਹਿਲਾ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ- “ਸਾਰੇ ਅੰਕਗਣਿਤੀ ਕਾਰਜ ਦੋ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਵਿਭਾਜਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਚਾਰ ਮੰਨੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਦੋ ਮੁੱਖ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਾਧਾ ਅਤੇ ਘਾਟਾ ਹਨ। ਜੋੜ ਵਾਧਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘਟਾਓ ਘਾਟਾ ਹੈ। ਕਾਰਜਾਂ ਦੀਆਂ ਇਹ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਪੂਰੇ ਗਣਿਤ (ਗਣਿਤ) ਵਿੱਚ ਫੈਲੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਹਨ।” ਇਸ ਲਈ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਪਕਾਂ ਨੇ ਕਿਹਾ ਹੈ: “ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਘਾਤ ਵਾਧੇ ਦੇ ਖਾਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹਨ; ਅਤੇ ਭਾਗ ਅਤੇ ਘਾਤਕਰਨ ਘਟਾਓ ਦੇ। ਦਰਅਸਲ ਹਰ ਗਣਿਤੀ ਕਾਰਜ ਵਾਧੇ ਅਤੇ ਘਾਟੇ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਮੰਨਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।”

ਜੋੜ

ਆਰੀਭੱਟ ਦੂਜਾ ਜੋੜ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ- “ਕਈ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਣਾਉਣਾ ਜੋੜ ਹੈ”। ਜੋੜ ਲਈ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਨਾਮ ਸੰਕਲਿਤ (ਇਕੱਠੇ ਬਣਾਇਆ) ਹੈ। ਹੋਰ ਸਮਾਨਾਰਥੀ ਸ਼ਬਦ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਉਹ ਹਨ ਸੰਕਲਨ (ਇਕੱਠੇ ਬਣਾਉਣਾ), ਮਿਸ਼ਰਣ (ਮਿਲਾਉਣਾ), ਸੰਮੇਲਨ (ਇਕੱਠੇ ਮਿਲਾਉਣਾ), ਪ੍ਰਕਸ਼ੇਪਣ (ਇਕੱਠੇ ਸੁੱਟਣਾ), ਸੰਯੋਜਨ (ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਨਾ), ਏਕੀਕਰਣ (ਇੱਕ ਬਣਾਉਣਾ), ਯੁਕਤੀ, ਯੋਗ (ਜੋੜ) ਅਤੇ ਅਭਿਆਸ, ਆਦਿ। ਸੰਕਲਿਤ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੁਝ ਲੇਖਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਲੜੀ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਸਾਰੀਆਂ ਗਣਿਤੀ ਅਤੇ ਖਗੋਲੀ ਰਚਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦਾ ਗਿਆਨ ਮੰਨ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਬਹੁਤ ਸੰਖੇਪ ਜ਼ਿਕਰ ਕੁਝ ਬਾਅਦ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਰਚਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਭਾਸਕਰ ਦੂਜਾ ਲੀਲਾਵਤੀ ਵਿੱਚ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ: “ਸਿੱਧੇ ਜਾਂ ਉਲਟੇ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਥਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਅੰਕ ਜੋੜੋ।” ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਜੋੜ ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਜੋੜੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਹੇਠਾਂ ਜੋੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੋੜ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅੰਕ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਦਹਾਈਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ ਹੇਠਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੜ੍ਹੇ ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦੇ ਦਹਾਈਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਉਸਦੀ ਥਾਂ ‘ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੋੜ ਦੇ ਦਹਾਈਆਂ ਦੇ ਸਥਾਨ ਦਾ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਗੇ।

ਜੋੜ ਦੀ ਉਲਟੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਆਖਰੀ ਸਥਾਨ (ਅੰਤਮ ਖੱਬੇ) ‘ਤੇ ਖੜ੍ਹੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਇਕੱਠੇ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਤੀਜਾ ਇਸ ਆਖਰੀ ਸਥਾਨ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਅਗਲੇ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ ਦੇ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ, ਜੇ ਲੋੜ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਹੀ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਗਲੀ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਜੇ ਆਖਰੀ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 12 ਹੈ, ਤਾਂ 12 ਨੂੰ ਹੇਠਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 2 ਨੂੰ ਸਿੱਧੇ ਜੋੜੇ ਗਏ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ; ਫਿਰ, ਜੇ ਅਗਲੇ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 13 (ਮੰਨ ਲਓ) ਹੈ, ਤਾਂ 3 ਨੂੰ ਜੋੜੇ ਗਏ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 1 ਨੂੰ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਲੈ ਜਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਸ਼ਕ ਜੋੜ 12 ਦਾ ਅੰਕ 2 ਮਿਟਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 3 ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ $26+57$ ਲੱਭੀਏ।

ਸਿੱਧੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ

$ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

ਉਲਟੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ

$ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ਪੜਾਅ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

ਪ੍ਰਸ਼ਨ. ਉੱਪਰ ਦੱਸੀਆਂ ਵਿਧੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਜੋੜ ਕਰੋ। ਮੌਜੂਦਾ ਦਿਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਆਪਣੇ ਜਵਾਬਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

ਘਟਾਓ

ਆਰੀਭੱਟ ਦੂਜਾ (950 ਈਸਵੀ) ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ:

“ਸਰਵਧਨ (ਕੁੱਲ) ਵਿੱਚੋਂ (ਕੁਝ ਅੰਕ) ਕੱਢਣਾ ਘਟਾਓ ਹੈ; ਜੋ ਬਚਦਾ ਹੈ ਉਸਨੂੰ ਸ਼ੇਸ਼ (ਬਾਕੀ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।” ਘਟਾਓ ਲਈ ਵਿਉਤਕਲਿਤ (ਵੱਖਰੇ ਬਣਾਏ), ਵਿਉਤਕਲਨ (ਵੱਖਰਾ ਕਰਨਾ), ਸ਼ੋਧਨ (ਸਾਫ਼ ਕਰਨਾ), ਪਤਨ (ਡਿੱਗਣ ਦਾ