প্ৰাচীন ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলৰ অৱদান আৰু তেওঁলোকৰ প্ৰতি আমাৰ ঋণৰ বিষয়ে বৰ্তমান আমি কমেইহে জানো। প্ৰাচীন কালত ভাৰতীয়সকলে গণিতত কৰা কামবোৰ চালে তেওঁলোকৰ অৱদানৰ বিষয়ে আচৰিত হ’বলগীয়া হয়। ই আমাক এইটোও অনুভৱ কৰায় যে প্ৰাচীন ভাৰতত ইয়াক কিমান গুৰুত্বপূৰ্ণ বুলি বিবেচনা কৰা হৈছিল। উদাহৰণস্বৰূপে, এতিয়া সাধাৰণতে স্বীকাৰ কৰা হয় যে দশমিক স্থানীয় মান পদ্ধতিৰ সংখ্যা চিহ্ন ভাৰতীয়সকলৰ দ্বাৰা আৱিষ্কাৰ কৰা হৈছিল আৰু প্ৰথমবাৰৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল।

এই অধ্যায়টোৱে খ্ৰীষ্টীয় যুগৰ আটাইতকৈ পুৰণি জানিব পৰা সময়ৰ পৰা সপ্তদশ শতিকালৈকে ভাৰতত গণিতৰ কিছুমান মুখ্য ক্ষেত্ৰৰ বিকাশ আৰং অগ্ৰগতিৰ বিষয়ে যথেষ্ট ভাল ধাৰণা দিব।

প্ৰাচীন ভাৰতৰ এক দৃষ্টিপাত

মহেঞ্জোদাৰোত হোৱা আৱিষ্কাৰসমূহে প্ৰকাশ কৰে যে খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৩০০০ চনৰ পৰাই সিন্ধু ভূমিৰ বাসিন্দাসকলে অতি সংগঠিত জীৱন যাপন কৰিছিল। প্ৰকৃততে, তেওঁলোক সেই সময়ৰ আন যিকোনো লোকতকৈ অধিক উন্নত আছিল। বেদৰ পিছত অহা ব্ৰাহ্মণ সাহিত্য (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ২০০০) আংশিকভাৱে আচাৰ-অনুষ্ঠানমূলক আৰু আংশিকভাৱে দাৰ্শনিক। এই ব্ৰাহ্মণ যুগৰ পিছত দুহাজাৰ বছৰৰো অধিক সময় ধৰি অবিৰত অগ্ৰগতি আৰু উজ্জ্বল সাফল্য অৰ্জন কৰা হৈছিল। গণিত বা জ্ঞানৰ অন্য যিকোনো শাখাৰ বিজ্ঞানৰ চৰ্চাক আধ্যাত্মিক জ্ঞানৰ বাধা হিচাপে গণ্য কৰা হোৱা নাছিল।

গণিতৰ চৰ্চালৈ গুৰুত্ব জৈনসকলেও দিছিল। তেওঁলোকৰ ধৰ্মীয় সাহিত্যত গণিত অনুযোগ অন্তৰ্ভুক্ত কৰা হৈছে। সংখ্যানৰ জ্ঞানক

ব্ৰাহ্মণসমূহ হৈছে চাৰিটা বেদৰ স্তোত্ৰসমূহৰ ওপৰত ভাষ্য থকা প্ৰাচীন ভাৰতীয় গ্ৰন্থৰ এক সংগ্ৰহ।

জৈন পুৰোহিতৰ প্ৰধান কৃতিত্বৰ ভিতৰত এটা বুলি কোৱা হৈছে। বৌদ্ধ সাহিত্যতো, পাটিগণিত (গণনা সংখ্যান) কলাবোৰৰ ভিতৰত প্ৰথম আৰু সৰ্বশ্ৰেষ্ঠ বুলি গণ্য কৰা হৈছে। এইবোৰে প্ৰাচীন ভাৰতত গণিতৰ চৰ্চাৰ ওপৰত ৰখা গুৰুত্ব আৰু মূল্যৰ বিষয়ে এটা ভাল ধাৰণা দিব।

সংখ্যাসূচক প্ৰতীকৰ বিকাশ

অতি প্ৰাচীন কালৰ পৰাই ভাৰতত দহ সংখ্যাৰ ভিত্তি হৈ আহিছে। ই ভাৰতৰ বৈশিষ্ট্যও যে অতি উচ্চ সংখ্যাৰ সংখ্যা নামৰ এক দীঘল শৃংখলা পোৱা গৈছে। যজুৰ্বেদ সংহিতা আৰু আন কেইবাটাও বৈদিক গ্ৰন্থত ১০১২ পৰ্যন্ত ডাঙৰ সংখ্যাৰ নামৰ ব্যৱহাৰৰ উল্লেখে এই সিদ্ধান্তত উপনীত হোৱাৰ বাবে যথেষ্ট কাৰণ দিয়ে যে, সেই দুৰৈৰ সময়তো ভাৰতীয়সকলৰ অবশ্যই সংখ্যাসূচক প্ৰতীকৰ এক সু-বিকশিত পদ্ধতি আছিল। অশোকৰ শিলালিপিৰ লিখনীয়ে দেখুৱায় যে তেওঁৰ সময়ত ভাৰতত সংখ্যাসূচক প্ৰতীকৰ ব্যৱহাৰ যথেষ্ট সাধাৰণ আছিল।

সংখ্যাসূচক চিহ্নৰ ৰূপৰ পৰিৱৰ্তনসমূহে সূচায় যে প্ৰতীকসমূহ দীৰ্ঘদিন ধৰি ব্যৱহাৰ হৈ আহিছিল। ব্ৰাহ্মী সংখ্যাসমূহ হৈছে এক বিশুদ্ধ ভাৰতীয় আৱিষ্কাৰ। এই প্ৰতীকসমূহৰ বিষয়ে আমাৰ জ্ঞান ৰজা অশোকৰ সময়লৈ (খ্ৰীষ্টপূৰ্ব ৩০০) যায়, যাৰ বিশাল ৰাজ্যই সমগ্ৰ ভাৰতক সামৰি লৈছিল আৰু উত্তৰে মধ্য এছিয়ালৈকে বিস্তৃত আছিল। খ্ৰীষ্টীয় প্ৰথম বা দ্বিতীয় শতিকাৰ পৰা সংখ্যা থকা আৰু তাৰিখযুক্ত কেইবাটাও শিলালিপি তেতিয়াৰ বোম্বাই প্ৰেচিডেন্সিৰ নাসিক জিলাৰ এটা গুহাত পোৱা গৈছে। ব্ৰাহ্মী চিহ্নৰ ১, ২ আৰু ৩ সংখ্যাক্ৰমে এটা, দুটা আৰু তিনিটা অনুভূমিক ৰেখাৰে তলত তলত ৰাখি দেখুওৱা হৈছিল।

আৰ্যভট্ট

এতিয়া স্পষ্ট যে ভাৰতৰ গণিতৰ এক দীঘলীয়া পৰম্পৰা আছে। কিন্তু খ্ৰীষ্টীয় $500-1200$ শতিকাৰ সময়ছোৱা অতি আকৰ্ষণীয় এই অৰ্থত যে ই ভাৰতীয় গণিতৰ সোণালী (সিদ্ধান্তিক) যুগ বুলি জনা যায়। ই আৰম্ভ হয় আৰ্যভট্ট প্ৰথমৰ পৰা, যি খ্ৰীষ্টীয় ৪৯৬ চনত জন্মগ্ৰহণ কৰিছিল, জ্ঞানৰ পদ্ধতিগত সংগ্ৰহ আৰং পদ্ধতিগতকৰণৰ বাবে জনাজাত এগৰাকী অগ্ৰগামী গণিতজ্ঞ, আৰু শেষ হয় খ্ৰীষ্টীয় ১১১৪ চনত জন্মগ্ৰহণ কৰা ভাস্কৰ দ্বিতীয়ৰ সৈতে যিয়ে গণিতৰ জ্ঞানক এক দৃঢ় ভেটিত স্থাপন কৰিছিল। তেওঁলোকৰ মাজৰ গণিতজ্ঞসকল বৰাহমিহিৰ (খ্ৰীষ্টীয় ৫০৫), ভাস্কৰ প্ৰথম (খ্ৰীষ্টীয় ৬০০), ব্ৰহ্মগুপ্ত (খ্ৰীষ্টীয় ৬২৮), মহাবীৰ (খ্ৰীষ্টীয় ৮৫০), শ্ৰীধৰ (খ্ৰীষ্টীয় ৮৫০), শ্ৰীপতি (খ্ৰীষ্টীয় ১০৩৯) সমানে বিখ্যাত আছিল।

আৰ্যভট্ট প্ৰথমৰ আৰ্যভটীয়ৰ দুটা ভাগ আছে- দশগীতিকা (দশমিক স্কেলত কিছুমান প্ৰয়োজনীয় প্ৰাচল আৰু শূন্যৰ আৱিষ্কাৰ, ত্ৰিকোণমিতিৰ উপাদান) আৰু গণিত (আঠটা মৌলিক ক্ৰিয়া, সমতলীয় জ্যামিতি, বীজগণিতীয় সমীকৰণ আৰু তেওঁলোকৰ সমাধান)। ব্ৰহ্মগুপ্তৰ ব্ৰহ্মস্ফুটসিদ্ধান্তত দুটা ভাগ আছে- গণিত (গণিত) আৰু কুট্টক (পালভেৰাইজাৰ), আনহাতে ভাস্কৰ দ্বিতীয়য়ে দুটা পৃথক গ্ৰন্থ লিখিছিল, লীলাৱতী (গণিত) আৰু বীজগণিত (বীজগণিত), যিয়ে দেখুৱায় যে এই সময়ছোৱাত গণিতৰ জ্ঞান কিমান পৰিমাণে বিস্তৃত হৈছিল।

শূন্যৰ প্ৰতীকটো আৱিষ্কাৰ কৰা হৈছিল আৰ্যভট্ট প্ৰথমৰ দ্বাৰা (খ্ৰীষ্টীয় ৪৯৬ চনত জন্ম) সংখ্যাৰ দশমিক অভিব্যক্তিৰ সৈতে সম্পৰ্কিত হৈ। আৰ্যভট্ট প্ৰথমে কয়, “খালী ঠাইবোৰ এটা বৃত্তৰে পূৰণ কৰিব লাগে” যি “শূন্য"ৰ দৰে দেখা যায়। ইয়াক তেওঁৰ ভাষ্যকাৰ ভাস্কৰ প্ৰথমে (খ্ৰীষ্টীয় ৬০০) চিত্ৰিত কৰিছে। ই নিশ্চিতভাৱে গণিতীয় গণনাত এক বিপ্লৱ আনিছিল আৰু নটা সংখ্যাসূচক প্ৰতীক আৰু শূন্যৰে সংখ্যা প্ৰকাশ কৰাৰ সমগ্ৰ কৌশল সহজ কৰিছিল।

পাটিগণিত

পাটিগণিতৰ মুখ্য অংশ হৈছে পাটিগণিত। পাটিগণিত শব্দটো পাটি, অৰ্থাৎ ‘ফলক’, আৰু গণিত, অৰ্থাৎ ‘গণনাৰ বিজ্ঞান’ শব্দৰ পৰা গঠিত এক যৌগিক শব্দ। গতিকে ইয়াৰ অৰ্থ হৈছে গণনাৰ বিজ্ঞান যি লিখাৰ সামগ্ৰী (ফলক)ৰ ব্যৱহাৰৰ প্ৰয়োজন। গণিতীয় গণনা সম্পাদন কৰাটোক কেতিয়াবা ধূলিকৰ্ম (‘ধূলি-কাম’) বুলি কোৱা হৈছিল, কাৰণ চিহ্নবোৰ ফলকত বা মাটিত সিঁচৰতি ধূলিত লিখা হৈছিল। ব্ৰহ্মগুপ্তৰ মতে পাটিগণিতত কুৰিটা ক্ৰিয়া আৰু আঠটা নিৰ্ণয় আছে। তেওঁ কয়: “যিজনে স্পষ্টকৈ আৰু পৃথককৈ কুৰিটা লজিষ্টিক্স, অৰ্থাৎ যোগ, আদি, আৰু (ছাঁৰ জৰিয়তে জোখ)কে ধৰি আঠটা নিৰ্ণয় জানে, সিয়েই এজন গণিতজ্ঞ।” আৰ্যভট্ট প্ৰথম (খ্ৰীষ্টীয় ৪৯৯) আছিল প্ৰথমজন যিয়ে তেওঁৰ সিদ্ধান্ত, আৰ্যভটীয়ত গণিতৰ এটা ভাগ অন্তৰ্ভুক্ত কৰিছিল। ব্ৰহ্মগুপ্তে (খ্ৰীষ্টীয় ৬২৮) এই ক্ষেত্ৰত আৰ্যভট্টক অনুসৰণ কৰিছিল, আৰু তেওঁৰ পিছত সিদ্ধান্ত গ্ৰন্থত গণিতৰ এটা ভাগ অন্তৰ্ভুক্ত কৰাটো সাধাৰণ ৰীতি হৈ পৰিছিল।

ভাৰতত ৰচনাৰ সংক্ষিপ্ততা, বিশেষকৈ বৈজ্ঞানিক বিষয়ত, শিক্ষিতসকলৰ চকুত অধিক মূল্য আছিল। এই কাৰণেই ভাৰতীয় গ্ৰন্থসমূহত কেৱল জনা সূত্ৰ আৰু ফলাফলৰ এক চমু বিৱৰণ থাকে, কেতিয়াবা ইমান সংক্ষিপ্তভাৱে প্ৰকাশ কৰা হয় যে বুজিবলৈ কঠিন হয়। এই সংকোচন পুৰণি গ্ৰন্থসমূহত অধিক স্পষ্ট; উদাহৰণস্বৰূপে, আৰ্যভটীয়ত বৰ্ণনা পৰৱৰ্তী গ্ৰন্থসমূহতকৈ অধিক সংকুচিত।

ব্ৰহ্মগুপ্ত

প্ৰাচীন গণিতৰ আঠটা মৌলিক ক্ৰিয়া হৈছে: (১) যোগ, (২) বিয়োগ, (৩) পূৰণ, (৪) হৰণ, (৫) বৰ্গ, (৬) বৰ্গমূল, (৭) ঘন আৰু (৮) ঘনমূল। আৰ্যভট্ট প্ৰথমে কেৱল বৰ্গ আৰু ঘনমূল উলিওৱাৰ নিয়ম দিছিল, আনহাতে ব্ৰহ্মগুপ্তে কেৱল ঘনমূলৰ নিয়ম দিছিল।

সকলো গণিতীয় ক্ৰিয়া যোগ আৰু বিয়োগৰ দুটা মৌলিক ক্ৰিয়াৰ ৰূপান্তৰ বুলি স্বীকাৰ কৰা হৈছিল প্ৰাচীন কালৰ পৰাই ভাৰতীয় গণিতজ্ঞসকলৰ দ্বাৰা। ভাস্কৰ প্ৰথমে কয় যে- “সকলো পাটিগণিতীয় ক্ৰিয়া দুটা শ্ৰেণীত পৰিণত হয়, যদিও সাধাৰণতে চাৰিটা বুলি বিবেচনা কৰা হয়। দুটা মুখ্য শ্ৰেণী হৈছে বৃদ্ধি আৰু হ্ৰাস। যোগ হৈছে বৃদ্ধি আৰু বিয়োগ হৈছে হ্ৰাস। ক্ৰিয়াৰ এই দুটা প্ৰকাৰে সমগ্ৰ গণিত (গণিত)ক ব্যাপ্ত কৰে।” গতিকে পূৰ্বৰ শিক্ষকসকলে কৈছিল: “পূৰণ আৰু বৰ্গমূল হৈছে যোগৰ বিশেষ প্ৰকাৰ; আৰু হৰণ আৰু ঘনমূল হৈছে বিয়োগৰ। নিশ্চিতভাৱে প্ৰতিটো গণিতীয় ক্ৰিয়াই বৃদ্ধি আৰু হ্ৰাসৰে গঠিত বুলি চিনাক্ত কৰা হ’ব।”

যোগ

আৰ্যভট্ট দ্বিতীয়য়ে যোগক সংজ্ঞায়িত কৰিছে- “কেইবাটাও সংখ্যাক একত কৰাটোৱেই যোগ”। যোগৰ প্ৰাচীন নাম হৈছে সংকলিত (একেলগে কৰা)। সাধাৰণতে ব্যৱহৃত আন সমতুল্য পদবোৰ হৈছে সংকলন (একেলগে কৰা), মিশ্ৰণ (মিহলোৱা), সংমেলন (একেলগে মিহলি কৰা), প্ৰক্ষেপণ (একেলগে দলিয়াই দিয়া), সংযোগন (একেলগে সংযোগ কৰা), একীকৰণ (একত কৰা), যুক্তি, যোগ (যোগ) আৰু অভ্যাস, আদি। সংকলিত শব্দটো কেতিয়াবা শৃংখলাৰ যোগফলৰ সাধাৰণ অৰ্থত কিছুমান লেখকে ব্যৱহাৰ কৰিছে।

সকলো গণিতীয় আৰু জ্যোতিৰ্বিজ্ঞানৰ গ্ৰন্থত যোগ প্ৰক্ৰিয়াৰ জ্ঞান স্বীকাৰ্য্য হিচাপে লোৱা হয়। ইয়াৰ চমু উল্লেখ কিছুমান পৰৱৰ্তী প্ৰাথমিক চৰিত্ৰৰ গ্ৰন্থত কৰা হৈছে। গতিকে ভাস্কৰ দ্বিতীয়য়ে লীলাৱতীত কয়: “সেই একে স্থানত থকা সংখ্যাবোৰ সৰল বা বিপৰীত ক্ৰমত যোগ কৰক।” ওপৰত উল্লেখ কৰা যোগৰ সৰল প্ৰক্ৰিয়াত, যোগ কৰিবলগীয়া সংখ্যাবোৰ তলত তলত লিখা হয়, আৰু তলত এডাল ৰেখা টনা হয়, যাৰ তলত যোগফল লিখা হয়। প্ৰথমে একক স্থানত থকা সংখ্যাবোৰৰ যোগফল লিখা হয়, যিয়ে যোগফলৰ প্ৰথম সংখ্যা দিয়ে। তাৰ পিছত দহক স্থানৰ সংখ্যাবোৰ একেলগে যোগ কৰা হয় আৰু তেওঁলোকৰ যোগফল ৰেখাৰ তলত থকা আংশিক যোগফলৰ দহক স্থানৰ সংখ্যাত যোগ কৰা হয় আৰু ফলাফল ইয়াৰ ঠাইত প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। এইদৰে যোগফলৰ দহক স্থানৰ সংখ্যা পোৱা যায়, ইত্যাদি।

যোগৰ বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়াত, শেষ স্থানত (অতি বাওঁফালে) থকা সংখ্যাবোৰ একেলগে যোগ কৰা হয় আৰু ফলাফল এই শেষ স্থানৰ তলত ৰখা হয়। তাৰ পিছত পৰৱৰ্তী স্থানৰ সংখ্যাবোৰ যোগ কৰা হয় আৰু প্ৰক্ৰিয়া চলি থাকে। পৰৱৰ্তী উলম্ব ৰেখাৰ সংখ্যাবোৰ যোগ কৰিলে, প্ৰয়োজন হ’লে আংশিক যোগফলৰ সংখ্যাবোৰ সংশোধন কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, যদি শেষ স্থানৰ সংখ্যাবোৰৰ যোগফল ১২ হয়, ১২ তলৰ ৰেখাৰ তলত ৰখা হয়, ২ যোগ কৰা সংখ্যাবোৰৰ তলত থকা; তাৰ পিছত, যদি পৰৱৰ্তী স্থানৰ সংখ্যাবোৰৰ যোগফল ১৩ (ধৰা হওক) হয়, ৩ যোগ কৰা সংখ্যাবোৰৰ তলত ৰখা হয় আৰু ১ বাওঁফাললৈ নিয়া হয়। এইদৰে, আংশিক যোগফল ১২ ৰ ২ সংখ্যাটো ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ৩ ৰে প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। আহক $26+57$ উলিয়াওঁ।

সৰল প্ৰক্ৰিয়া

$ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ১:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ২:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ৩:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ৪:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া

$ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ১:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ২:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ৩:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{পদক্ষেপ ৪:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

প্ৰ. ওপৰত উল্লেখ কৰা পদ্ধতিসমূহৰ দ্বাৰা তলৰ যোগসমূহ সম্পাদনা কৰক। বৰ্তমানৰ পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি উত্তৰবোৰ মিলাওক।

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

বিয়োগ

আৰ্যভট্ট দ্বিতীয়য়ে (খ্ৰীষ্টীয় ৯৫০) বিয়োগক সংজ্ঞায়িত কৰিছে:

“সৰ্বধন (মুঠ)ৰ পৰা (কিছু সংখ্যা) উলিয়াই অনাটোৱেই বিয়োগ; যি থাকে তাক শেষ (বাকী) বুলি কোৱা হয়।” বিয়োগৰ বাবে ব্যৱহৃত হৈছে ব্যুত্কলিত (আঁতৰাই কৰা), ব্যুত্কলন (আঁতৰাই কৰা), শোধন (পৰিষ্কাৰ কৰা), পতন (পৰোৱা), বিয়োগ (বিয়োগ), আদি পদ। বাকীৰ বাবে শেষ (অৱশিষ্ট) আৰু অন্তৰ (পাৰ্থক্য) পদবোৰ ব্যৱহাৰ কৰা হৈছিল। বিয়োজনীয়ক সৰ্বধন বা বিয়োজ্য বুলি কোৱা হৈছিল আৰু বিয়োজনক বিয়োজনক বুলি কোৱা হৈছিল।

ভাস্কৰ দ্বিতীয়য়ে বিয়োগৰ পদ্ধতি এনেদৰে দিয়ে: “সেইবোৰৰ স্থান অনুসৰি সংখ্যাবোৰ সৰল বা বিপৰীত ক্ৰমত বিয়োগ কৰক।” সৰল প্ৰক্ৰিয়াটো উদাহৰণৰ সহায়ত বুজাই দিয়া হৈছে, ধৰা হওক, $1000-360$। দহক স্থানত থকা শূন্যৰ পৰা ছয় বিয়োগ কৰিব নোৱাৰি, গতিকে দহ লৈ তাৰ পৰা ছয় বিয়োগ কৰি, বাকী (চাৰি) তলত (ছয়ৰ) ৰখা হয়, আৰু এই দহক পৰৱৰ্তী স্থানৰ পৰা বিয়োগ কৰিব লাগিব।

কাৰণ, একক আদিৰ স্থানবোৰ দহৰ গুণিতক হিচাপে, গতিকে বিয়োজনকৰ যি সংখ্যা বিয়োজনীয়কৰ অনুক্ৰমীয় সংখ্যাৰ পৰা বিয়োগ কৰিব নোৱাৰি, তাক দহৰ পৰা বিয়োগ কৰা হয়, বাকীটো লোৱা হয় আৰু এই দহক পৰৱৰ্তী স্থানৰ পৰা বিয়োগ কৰা হয়। এইদৰে এই দহক শেষ স্থানলৈ নিয়া হয় যেতিয়ালৈকে ই শেষ সংখ্যাৰ সৈতে নিঃশেষ নহয়। অন্য কথাত, নয় পৰ্যন্ত সংখ্যাবোৰে এটা স্থান দখল কৰে, স্থানৰ বিভেদন দহৰ পৰা আৰম্ভ হয়, গতিকে ইয়াত এটা দিয়া সংখ্যাত কিমান দহ আছে জানিব পাৰি’, আৰু সেয়েহে, যি সংখ্যাটো নিজৰ স্থানৰ পৰা বিয়োগ কৰিব নোৱাৰি, তাক পৰৱৰ্তী দহৰ পৰা বিয়োগ কৰা হয়, আৰু বাকীটো লোৱা হয়।”

বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়াটো একে, একমাত্ৰ পাৰ্থক্য হৈছে যে “ই বিয়োজনীয়কৰ শেষ স্থানৰ পৰা আৰম্ভ হয়, আৰু পূৰ্বতে পোৱা আংশিক পাৰ্থক্যবোৰ প্ৰয়োজন হ’লে সংশোধন কৰা হয়। প্ৰক্ৰিয়াটো পাটীত (ফলকত) কাম কৰাৰ বাবে উপযুক্ত য’ত সংখ্যাবোৰ সহজে ঘঁহি পেলাব পাৰি আৰু সংশোধন কৰিব পাৰি।”

প্ৰ. বিয়োগসমূহ সম্পাদনা কৰক:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56

পূৰণ

পূৰণৰ সাধাৰণ ভাৰতীয় নাম হৈছে গুণন। এই পদটো আটাইতকৈ পুৰণি যেন লাগে কাৰণ ই বৈদিক সাহিত্যত পোৱা যায়। হনন, বধ, ক্ষয় আদি পদবোৰ, যি ‘বধ’ বা ‘ধ্বংস’ বুজায়, পূৰণৰ বাবেও ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে। এই পদবোৰ দশমিক স্থানীয় মান সংখ্যাৰ সৈতে পূৰণৰ নতুন পদ্ধতি আৱিষ্কাৰৰ পিছত ব্যৱহাৰলৈ আহিছিল; কাৰণ নতুন পদ্ধতিত, গুণ্যৰ সংখ্যাবোৰ ক্ৰমে ঘঁহি পেলোৱা হৈছিল (ধ্বংস কৰা হৈছিল) আৰু তেওঁলোকৰ ঠাইত গুণফলৰ সংখ্যাবোৰ লিখা হৈছিল। হনন (বধ)ৰ সমাৰ্থক শব্দবোৰ আৰ্যভট্ট প্ৰথম (খ্ৰীষ্টীয় ৪৯৯), ব্ৰহ্মগুপ্ত (খ্ৰীষ্টীয় ৬২৮), শ্ৰীধৰ (খ্ৰীষ্টীয় ৭৫০), আৰু পৰৱৰ্তী লেখকসকলে ব্যৱহাৰ কৰিছে। এই পদবোৰ বখশালি পাণ্ডুলিপিতো দেখা যায়। প্ৰাচীন পাৰিভাষিক প্ৰমাণ কৰে যে পূৰণৰ সংজ্ঞা আছিল ‘গুণ্যক গুণকৰ সংখ্যা যিমানবাৰ পুনৰাবৃত্তি কৰি যোগ কৰাৰ এক প্ৰক্ৰিয়া।’ এই সংজ্ঞাটো আৰ্যভটীয়ৰ ভাষ্যত ভাস্কৰ প্ৰথমৰ দ্বাৰা পোৱা যায়।

গুণ্যক গুণ্য বুলি কোৱা হৈছিল আৰু গুণকক গুণক বা গুণকৰা বুলি কোৱা হৈছিল। গুণফলক গুণন-ফল (পূৰণৰ ফল) বা প্ৰত্যুত্পন্ন (‘পুনৰুৎপাদিত’, গতিকে পাটিগণিতত ‘পূৰণৰ দ্বাৰা পুনৰুৎপাদিত’) বুলি কোৱা হৈছিল।

পূৰণৰ পদ্ধতিসমূহ

ব্ৰহ্মগুপ্তে চাৰিটা পদ্ধতিৰ উল্লেখ কৰিছে: (১) গোমুত্ৰিকা, (২) খণ্ড, (৩) ভেদ, আৰু (৪) ইষ্ট। আৰ্যভট্ট দ্বিতীয়য়ে (খ্ৰীষ্টীয় ৯৫০) পদ্ধতিটোৰ নাম দিয়া নাছিল আৰু কৈছিল: “গুণকৰ প্ৰথম সংখ্যাটো গুণ্যৰ শেষ সংখ্যাৰ ওপৰত ৰাখক, আৰু তাৰ পিছত গুণকৰ সকলো সংখ্যাক গুণ্যৰ প্ৰতিটো সংখ্যাৰে ক্ৰমে পূৰণ কৰক।”

শ্ৰীপতিয়ে (খ্ৰীষ্টীয় ১০৩৯) কাপট-সন্ধি নাম দিয়ে আৰু কয়: “দুৱাৰৰ সংযোগৰ দৰে গুণকৰ তলত গুণ্য ৰাখি, ইয়াক (গুণকক) সৰল বা বিপৰীত ক্ৰমত চলাই ক্ৰমে (গুণ্যৰ সংখ্যাবোৰ) পূৰণ কৰক।”

তলৰ চিত্ৰণবোৰে কাপট-সন্ধি পৰিকল্পনা অনুসৰি পূৰণৰ দুটা প্ৰক্ৰিয়া বুজাই দিয়ে:

সৰল প্ৰক্ৰিয়া: কাম কৰাৰ এই পদ্ধতিটো জনপ্ৰিয় হোৱা যেন নালাগে। একাদশ শতিকাৰ পিছৰ লেখকসকলে ইয়াৰ উল্লেখ কৰা নাই, শ্ৰীপতি (খ্ৰীষ্টীয় ১০৩৯) হৈছে ইয়াৰ উল্লেখ কৰা শেষ লেখক।

উদাহৰণ: ১৩৫ ক ১২ ৰে পূৰণ কৰক।

সংখ্যাবোৰ পাটীত $i$ এনেদৰে লিখা হয়:

১২

১৩৫

গুণ্যৰ প্ৰথম (অৰ্থাৎ সোঁফালৰ) অংক (৫) লোৱা হয় আৰু গুণকৰ অংকবোৰৰ সৈতে পূৰণ কৰা হয়। এইদৰে

$5 \times 2=10 ; 0$ ২ ৰ তলত লিখা হয়, আৰু ১ কৈ যাব লাগিব।

তাৰ পিছত $5 \times 1=5$; ১ (কৈ যোৱা) যোগ কৰি, আমি ৬ পাওঁ। ৫ সংখ্যাটো, যি আৰু প্ৰয়োজন নহয়, ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ইয়াৰ ঠাইত ৬ লিখা হয়। এইদৰে, আমাৰ আছে:

১২

১৩৬০

তাৰ পিছত গুণকটো বাওঁফাললৈ এটা স্থানলৈ স্থানান্তৰিত কৰা হয়, আৰু আমাৰ আছে:

১২

১৩৬০

এতিয়া, ১২ ক ৩ ৰে পূৰণ কৰা হয়। বিৱৰণবোৰ হৈছে: $3 \times 2=6$; এই ৬ ২ ৰ তলত থকা ৬ সংখ্যাত যোগ কৰিলে ১২ পাওঁ। ৬ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ইয়াৰ ঠাইত ২ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। ১ কৈ যোৱা হয়। তাৰ পিছত $3 \times 1=3$; ৩ যোগ ১ (কৈ যোৱা) $=4$। ৩ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ৪ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। গুণক ১২ ক আন এটা স্থানলৈ বাওঁফাললৈ স্থানান্তৰিত কৰাৰ পিছত, পাটীত থকা সংখ্যাবোৰ এনেদৰে থাকে:

১২

১৪২০

তাৰ পিছত, $1 \times 2=2 ; 2+4=6 ; 4$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ৬ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। $1 \times 1=1$, যিটো ৬ ৰ বাওঁফালে ৰখা হয়।

ক্ৰিয়া শেষ হোৱাৰ লগে লগে, ১২ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু পাটীত গুণফল ১৬২০ থাকে।

এইদৰে ১২ আৰু ১৩৫ সংখ্যাবোৰ বধ কৰা হৈছে আৰু এটা নতুন সংখ্যা ১৬২০ জন্ম হৈছে (প্ৰত্যুত্পন্ন)।

বিপৰীত প্ৰক্ৰিয়া: বিপৰীত পদ্ধতিৰ দুটা প্ৰকাৰ আছিল যেন লাগে।

(ক) প্ৰথমটোত, সংখ্যাবোৰ এনেদৰে লিখা হয়:

১২

১৩৫

পূৰণ আৰম্ভ হয় গুণ্যৰ শেষ (অৰ্থাৎ বাওঁফালৰ) অংকৰ পৰা।

এইদৰে $1 \times 2=2 ; 1$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ২ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়; তাৰ পিছত $1 \times 1=1$, এইটো বাওঁফালে লিখা হয়; গুণক ১২ ক পৰৱৰ্তী সংখ্যালৈ স্থানান্তৰিত কৰা হয়। পাটীত কাম এতিয়া হ’ব:

১২ ১২৩৫

তাৰ পিছত, $3 \times 2=6 ; 3$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ৬ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়; তাৰ পিছত $3 \times 1=3$ আৰু $3+2=5 ; 2$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ইয়াৰ ঠাইত ৫ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। গুণক স্থানান্তৰিত কৰাৰ পিছত, পাটীত কাম এতিয়া হৈছে:

১২

১৫৬৫

এতিয়া, $5 \times 2=10 ; 5$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ইয়াৰ ঠাইত ০ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়; তাৰ পিছত $5 \times 1=5 ; 5+1=6 ; 6+6=12 ; 6$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ২ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়, আৰু ১ কৈ যোৱা হয়; তাৰ পিছত $1+5=6,5$ ঘঁহি পেলোৱা হয় আৰু ইয়াৰ ঠাইত ৬ প্ৰতিষ্ঠাপিত কৰা হয়। পাটীত এতিয়া গুণফল (প্ৰত্যুত্পন্ন) হিচাপে ১৬২০ আছে। কৈ যাবলগীয়া সংখ্যাবোৰ পাটীৰ এটা পৃথক অংশত টোকা কৰা হয় আৰু যোগ কৰাৰ পিছত ঘঁহি পেলোৱা হয়।

(খ) দ্বিতীয় পদ্ধতিত, আংশিক পূৰণবোৰ (অৰ্থাৎ গুণ্যৰ অংকবোৰৰ দ্ব