ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಸಾಧನೆಗಳು ಮತ್ತು ಅವರಿಗೆ ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ಋಣದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತ ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭಾರತೀಯರು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಅವರ ಸಾಧನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಆಶ್ಚರ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಎಷ್ಟು ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿತ್ತು ಎಂಬುದನ್ನು ಅದು ನಮಗೆ ಅರಿವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಥಾನ ಮೌಲ್ಯ ಪದ್ಧತಿಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಸಂಕೇತನವನ್ನು ಭಾರತೀಯರು ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಮೊದಲು ಬಳಸಿದರು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಅಧ್ಯಾಯವು ಕ್ರೈಸ್ತ ಶಕೆಯ ಹದಿನೇಳನೇ ಶತಮಾನದವರೆಗಿನ, ತಿಳಿದಿರುವ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮುಖ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಒಳ್ಳೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದ ಒಂದು ದೃಶ್ಯ

ಮೊಹೆಂಜೊದಾರೊದಲ್ಲಿ ನಡೆದ ಶೋಧನೆಗಳು ಕ್ರಿ.ಪೂ. 3,000 ರಷ್ಟು ಹಿಂದೆಯೇ ಸಿಂಧೂ ನದಿ ಪ್ರದೇಶದ ನಿವಾಸಿಗಳು ಅತ್ಯಂತ ಸಂಘಟಿತ ಜೀವನವನ್ನು ನಡೆಸುತ್ತಿದ್ದರು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಆ ಕಾಲದ ಇತರ ಯಾವುದೇ ಜನರಿಗಿಂತ ಅವರು ಹೆಚ್ಚು ಮುಂದುವರಿದಿದ್ದರು. ವೇದಗಳನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಬ್ರಾಹ್ಮಣ ಸಾಹಿತ್ಯ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 2000) ಭಾಗಶಃ ಆಚಾರಪದ್ಧತಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಶಃ ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಬ್ರಾಹ್ಮಣ ಕಾಲದ ನಂತರ ಎರಡು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳಿಗೂ ಹೆಚ್ಚು ಕಾಲ ನಿರಂತರ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಉಜ್ವಲ ಸಾಧನೆಗಳು ನಡೆದವು. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಶಾಖೆಗಳ ಸಂಸ್ಕೃತಿಯನ್ನು ಆಧ್ಯಾತ್ಮಿಕ ಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಅಡ್ಡಿಯಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿರಲಿಲ್ಲ.

ಗಣಿತದ (ಗಣಿತ) ಸಂಸ್ಕೃತಿಗೆ ಮಹತ್ವವನ್ನು ಜೈನರೂ ನೀಡಿದ್ದಾರೆ. ಅವರ ಧಾರ್ಮಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತ ಅನುಯೋಗ ಸೇರಿದೆ. ಸೈಂಖ್ಯಾನದ ಜ್ಞಾನವು

ಬ್ರಾಹ್ಮಣಗಳು ನಾಲ್ಕು ವೇದಗಳ ಸ್ತೋತ್ರಗಳ ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತೀಯ ಗ್ರಂಥಗಳ ಸಂಗ್ರಹವಾಗಿದೆ.

ಜೈನ ಪುರೋಹಿತರ ಪ್ರಮುಖ ಸಾಧನೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗಿದೆ. ಬೌದ್ಧ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲೂ, ಅಂಕಗಣಿತ (ಗಣನಾ ಸಂಖ್ಯಾನ)ವನ್ನು ಕಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಮತ್ತು ಉನ್ನತವಾದದ್ದು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಎಲ್ಲವೂ ಪ್ರಾಚೀನ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಸಂಸ್ಕೃತಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಮಹತ್ವ ಮತ್ತು ಮೌಲ್ಯದ ಬಗ್ಗೆ ಸರಿಯಾದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ

ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ, ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾಕ್ರಮದ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದೀರ್ಘ ಶ್ರೇಣಿಯ ಸಂಖ್ಯಾ ಹೆಸರುಗಳು ಕಂಡುಬಂದಿರುವುದು ಭಾರತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣವೂ ಆಗಿದೆ. ಯಜುರ್ವೇದ ಸಂಹಿತೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಇತರ ವೈದಿಕ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ 10^12 ರಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯಾ ನಾಮಗಳ ಬಳಕೆಯ ಉಲ್ಲೇಖವು, ಆ ದೂರದ ಕಾಲದಲ್ಲಿಯೂ ಭಾರತೀಯರು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಧಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಅಶೋಕನ ಶಾಸನಗಳ ಮೇಲಿನ ಬರಹಗಳು ಅವನ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತಗಳ ಬಳಕೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿತ್ತು ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು ಈ ಸಂಕೇತಗಳು ದೀರ್ಘಕಾಲದಿಂದ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿದ್ದವು ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಬ್ರಾಹ್ಮಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭಾರತೀಯ ಆವಿಷ್ಕಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂಕೇತಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಮ್ಮ ಜ್ಞಾನವು ಅಶೋಕ ರಾಜನ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 300) ಕಾಲಕ್ಕೆ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅವನ ವಿಶಾಲ ಸಾಮ್ರಾಜ್ಯವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಭಾರತವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿತ್ತು ಮತ್ತು ಉತ್ತರದಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯ ಏಷ್ಯಾ ವರೆಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿತ್ತು. ಕ್ರಿ.ಶ. ಮೊದಲ ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಶತಮಾನದಿಂದ ಕಾಲನಿರ್ಣಯ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹಲವಾರು ಶಾಸನಗಳು ಆಗಿನ ಬೊಂಬಾಯಿ ಪ್ರೆಸಿಡೆನ್ಸಿಯ ನಾಸಿಕ್ ಜಿಲ್ಲೆಯ ಗುಹೆಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಬ್ರಾಹ್ಮಿ ಸಂಕೇತನದ 1, 2 ಮತ್ತು 3 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಇರಿಸಲಾದ ಒಂದು, ಎರಡು ಮತ್ತು ಮೂರು ಸಮತಲ ರೇಖೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು.

ಆರ್ಯಭಟ

ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ದೀರ್ಘ ಸಂಪ್ರದಾಯವಿದೆ ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ, ಕ್ರಿ.ಶ. $500-1200$ ಅವಧಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತದ ಸುವರ್ಣ (ಸಿದ್ಧಾಂತಿಕ) ಕಾಲ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕ್ರಿ.ಶ. 496 ರಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ, ತಮ್ಮ ಜ್ಞಾನದ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಸಂಗ್ರಹ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೆಸರುವಾಸಿಯಾದ ಪ್ರವರ್ತಕ ಗಣಿತಜ್ಞ ಆರ್ಯಭಟ I ರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಿ.ಶ. 1114 ರಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ ಭಾಸ್ಕರ II ರೊಂದಿಗೆ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಅವರು ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಘನ ಅಡಿಪಾಯದ ಮೇಲೆ ನಿಲ್ಲಿಸಿದರು. ಅವರ ನಡುವಿನ ಗಣಿತಜ್ಞರು ವರಾಹಮಿಹಿರ (ಕ್ರಿ.ಶ. 505), ಭಾಸ್ಕರ I (ಕ್ರಿ.ಶ. 600), ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ (ಕ್ರಿ.ಶ. 628), ಮಹಾವೀರ (ಕ್ರಿ.ಶ. 850), ಶ್ರೀಧರ (ಕ್ರಿ.ಶ. 850), ಶ್ರೀಪತಿ (ಕ್ರಿ.ಶ. 1039) ಸಮಾನವಾಗಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದರು.

ಆರ್ಯಭಟ I ರ ಆರ್ಯಭಟೀಯದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ- ದಶಗೀತಿಕೆ (ದಶಮಾಂಶ ಮಾಪಕದ ಮೇಲೆ ಕೆಲವು ಅಗತ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದ ಆವಿಷ್ಕಾರ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಅಂಶಗಳು) ಮತ್ತು ಗಣಿತ (ಎಂಟು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳು, ಸಮತಲ ಜ್ಯಾಮಿತಿ, ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಪರಿಹಾರಗಳು). ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತರ ಬ್ರಹ್ಮಸ್ಫುಟಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಾಗಗಳಿವೆ- ಗಣಿತ (ಗಣಿತ) ಮತ್ತು ಕುಟ್ಟಕ (ಪಲ್ವರೈಜರ್), ಆದರೆ ಭಾಸ್ಕರ II ರು ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕೃತಿಗಳಾದ ಲೀಲಾವತಿ (ಗಣಿತ) ಮತ್ತು ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಬರೆದರು, ಇವುಗಳು ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ಜ್ಞಾನವು ಹೇಗೆ ಪರಿಮಾಣದಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಶೂನ್ಯದ ಸಂಕೇತವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ದಶಮಾಂಶ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಆರ್ಯಭಟ I (ಕ್ರಿ.ಶ. 496 ರಲ್ಲಿ ಜನನ) ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದರು. ಆರ್ಯಭಟ I ರು, “ಖಾಲಿ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದಿಂದ ತುಂಬಿಸಬೇಕು” ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ, ಅದು “ಶೂನ್ಯ” ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರ ಭಾಸ್ಕರ I (ಕ್ರಿ.ಶ. 600) ವಿವರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಗಣಿತದ ಗಣನೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಂತಿಯನ್ನು ತಂದಿತು ಮತ್ತು ಒಂಬತ್ತು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಸಂಕೇತಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವ ಸಂಪೂರ್ಣ ತಂತ್ರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸಿತು.

ಅಂಕಗಣಿತ

ಅಂಕಗಣಿತವು ಪಾಟೀಗಣಿತದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಪಾಟೀಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದವು ‘ಹಲಗೆ’ ಎಂದರ್ಥವಿರುವ ಪಾಟಿ ಮತ್ತು ‘ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಜ್ಞಾನ’ ಎಂದರ್ಥವಿರುವ ಗಣಿತ ಎಂಬ ಪದಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಸಂಯುಕ್ತ ಪದವಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಇದು ಬರವಣಿಗೆಯ ಸಾಮಗ್ರಿಯ (ಹಲಗೆ) ಬಳಕೆ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಧೂಲಿಕರ್ಮ (‘ದೂಳಿನ-ಕೆಲಸ’) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಏಕೆಂದರೆ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಹಲಗೆಯ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ನೆಲದ ಮೇಲೆ ಹರಡಿದ ದೂಳಿನ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತರ ಪ್ರಕಾರ ಪಾಟೀಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇಪ್ಪತ್ತು ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಎಂಟು ನಿರ್ಣಯಗಳಿವೆ. ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: “ಸಂಕಲನ, ಇತ್ಯಾದಿ ಇಪ್ಪತ್ತು ಲಾಜಿಸ್ಟಿಕ್ಸ್ ಮತ್ತು (ನೆರಳಿನ ಮೂಲಕ ಮಾಪನ ಸೇರಿದಂತೆ) ಎಂಟು ನಿರ್ಣಯಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ತಿಳಿದಿರುವವನು ಗಣಿತಜ್ಞನಾಗಿದ್ದಾನೆ.” ಆರ್ಯಭಟ I (ಕ್ರಿ.ಶ. 499) ರು ತಮ್ಮ ಸಿದ್ಧಾಂತವಾದ ಆರ್ಯಭಟೀಯದಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಮೊದಲಿಗರಾಗಿದ್ದರು. ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತರು (ಕ್ರಿ.ಶ. 628) ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಭಟರನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಅವರ ನಂತರ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಗಣಿತದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಶೈಲಿಯಾಯಿತು.

ಭಾರತದಲ್ಲಿ ಸಂಯೋಜನೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತತೆಗೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಷಯಗಳಲ್ಲಿ, ವಿದ್ವಾಂಸರ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವಿತ್ತು. ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಭಾರತೀಯ ಗ್ರಂಥಗಳು ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಕಷ್ಟವಾಗುವಷ್ಟು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಕುಚಿತತೆಯು ಹಳೆಯ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ; ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆರ್ಯಭಟೀಯದಲ್ಲಿನ ವಿವರಣೆಯು ನಂತರದ ಕೃತಿಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕುಚಿತವಾಗಿದೆ.

ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತ

ಪ್ರಾಚೀನ ಗಣಿತದ ಎಂಟು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳು: (1) ಸಂಕಲನ, (2) ವ್ಯವಕಲನ, (3) ಗುಣಾಕಾರ, (4) ಭಾಗಾಕಾರ, (5) ವರ್ಗ, (6) ವರ್ಗಮೂಲ, (7) ಘನ ಮತ್ತು (8) ಘನಮೂಲ. ಆರ್ಯಭಟ I ರು ವರ್ಗಮೂಲ ಮತ್ತು ಘನಮೂಲಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಿದರೆ, ಬ್ರಹ್ಮಗುಪ್ತರು ಘನಮೂಲ ನಿಯಮವನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡಿದರು.

ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ ಎಂಬ ಎರಡು ಮೂಲಭೂತ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ರೂಪಾಂತರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ಗುರುತಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಭಾಸ್ಕರ I ರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ- “ಎಲ್ಲಾ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಎರಡು ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜನೆಯಾಗುತ್ತವೆ, ಆದರೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಮುಖ್ಯ ವರ್ಗಗಳು ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತವೆ. ಸಂಕಲನವು ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಈ ಎರಡು ವಿಧಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಗಣಿತದ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಪಿಸಿವೆ (ಗಣಿತ).” ಹೀಗಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಶಿಕ್ಷಕರು ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ: “ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಸಂಕಲನದ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕಾರಗಳು; ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕವು ವ್ಯವಕಲನದ್ದಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣಿತದ ಕ್ರಿಯೆಯೂ ಹೆಚ್ಚಳ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.”

ಸಂಕಲನ

ಆರ್ಯಭಟ II ರು ಸಂಕಲನವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ- “ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದಾಗಿ ಮಾಡುವುದು ಸಂಕಲನವಾಗಿದೆ”. ಸಂಕಲನದ ಪ್ರಾಚೀನ ಹೆಸರು ಸಂಕಲಿತ (ಒಟ್ಟಿಗೆ ಮಾಡಿದ್ದು). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಇತರ ಸಮಾನಾರ್ಥಕ ಪದಗಳೆಂದರೆ ಸಂಕಲನ (ಒಟ್ಟಿಗೆ ಮಾಡುವುದು), ಮಿಶ್ರಣ (ಮಿಶ್ರಣ ಮಾಡುವುದು), ಸಮ್ಮೇಲನ (ಒಟ್ಟಿಗೆ ಬೆರೆಯುವುದು), ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣ (ಒಟ್ಟಿಗೆ ಎಸೆಯುವುದು), ಸಂಯೋಜನ (ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು), ಏಕೀಕರಣ (ಒಂದಾಗಿ ಮಾಡುವುದು), ಯುಕ್ತಿ, ಯೋಗ (ಸಂಕಲನ) ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಸಂಕಲಿತ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಸಂಕಲನ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಸ್ವಾಭಾವಿಕವೆಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ. ಕೆಲವು ನಂತರದ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸ್ವರೂಪದ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಬಹಳ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ ಭಾಸ್ಕರ II ರು ಲೀಲಾವತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುತ್ತಾರೆ: “ಅದೇ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ನೇರ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿ.” ಮೇಲೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿದ ಸಂಕಲನದ ನೇರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಸೇರಿಸಬೇಕಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಂದರ ಕೆಳಗೆ ಒಂದರಂತೆ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೆಳಗೆ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲು ಏಕಕಗಳ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೊತ್ತದ ಮೊದಲ ಅಂಕಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗೆ ನಿಂತಿರುವ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಅದರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ ಮೊತ್ತದ ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ.

ಸಂಕಲನದ ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ (ಅತ್ಯಂತ ಎಡ) ನಿಂತಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಈ ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನದ ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಮುಂದಿನ ಲಂಬ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 12 ಆಗಿದ್ದರೆ, 12 ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೆಯ ಕೆಳಗೆ ಇಡಲಾಗುತ್ತದೆ, 2 ಅನ್ನು ನೇರವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಂತರ, ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು 13 ಆಗಿದ್ದರೆ (ಹೇಳಿ), 3 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ ಅಂಕಿಗಳ ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 1 ಅನ್ನು ಎಡಕ್ಕೆ ಕೊಂಡೊಯ್ಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ, ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತ 12 ರಲ್ಲಿನ 2 ಅಂಕಿಯನ್ನು ಅಳಿಸಿಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 3 ರಿಂದ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $26+57$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ನೇರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

$ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ

$ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{ಹಂತ 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

ಪ್ರ. ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಕಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ. ಪ್ರಸ್ತುತ ದಿನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ.

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

ವ್ಯವಕಲನ

ಆರ್ಯಭಟ II (ಕ್ರಿ.ಶ. 950) ವ್ಯವಕಲನವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತಾರೆ:

“ಸರ್ವಧನದಿಂದ (ಒಟ್ಟು) ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ವ್ಯವಕಲನವಾಗಿದೆ; ಉಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಶೇಷ (ಉಳಿದದ್ದು) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.” ವ್ಯುತ್ಕಲಿತ (ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮಾಡಿದ್ದು), ವ್ಯುತ್ಕಲನ (ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮಾಡುವುದು), ಶೋಧನ (ಸ್ಪಷ್ಟಗೊಳಿಸುವುದು), ಪತನ (ಬೀಳುವಂತೆ ಮಾಡುವುದು), ವಿಯೋಗ (ಪ್ರತ್ಯೇಕಗೊಳಿಸುವುದು), ಇತ್ಯಾದಿ ಪದಗಳನ್ನು ವ್ಯವಕಲನಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಶೇಷ (ಉಳಿದದ್ದು) ಮತ್ತು ಅಂತರ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ) ಪದಗಳನ್ನು ಶೇಷಕ್ಕಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗಿದೆ. ಮಿನುಯೆಂಡ್ ಅನ್ನು ಸರ್ವಧನ ಅಥವಾ ವಿಯೋಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಸಬ್ಟ್ರಾಹೆಂಡ್ ಅನ್ನು ವಿಯೋಜಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ಭಾಸ್ಕರ II ರು ವ್ಯವಕಲನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಈ ರೀತಿ ನೀಡುತ್ತಾರೆ: “ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸ್ಥಳಗಳ ಪ್ರಕಾರ ನೇರ ಅಥವಾ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕಳೆಯಿರಿ.” ನೇರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯ ಸಹಾಯದಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಹೇಳಿ, $1000-360$. ಹತ್ತರ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಆರು ಕಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹತ್ತನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರಿಂದ ಆರನ್ನು ಕಳೆದು, ಉಳಿದದ್ದು (ನಾಲ್ಕು) ಅನ್ನು (ಆರರ) ಕೆಳಗೆ ಇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಹತ್ತನ್ನು ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಕಳೆಯಬೇಕು.

ಏಕೆಂದರೆ, ಏಕಕ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ಸ್ಥಳಗಳು ಹತ್ತರ ಗುಣಕಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಮಿನುಯೆಂಡ್ನ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಕಿಯಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗದ ಸಬ್ಟ್ರಾಹೆಂಡ್ನ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹತ್ತರಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಈ ಹತ್ತನ್ನು ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಕಡಿತಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ಈ ಹತ್ತನ್ನು ಕೊನೆಯ ಅಂಕಿಯೊಂದಿಗೆ ಖಾಲಿಯಾಗುವವರೆಗೆ ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಒಂಬತ್ತು ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದು ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ, ಸ್ಥಳಗಳ ವಿಭಿನ್ನತೆಯು ಹತ್ತರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ‘ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಹತ್ತುಗಳಿವೆ’ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ, ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಸ್ವಂತ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮುಂದಿನ ಹತ್ತರಿಂದ ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಉಳಿದದ್ದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ."

ವಿಲೋಮ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಸಮಾನವಾಗಿದೆ, ಏಕೈಕ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ “ಇದು ಮಿನುಯೆಂಡ್ನ ಕೊನೆಯ ಸ್ಥಾನದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೊದಲೇ ಪಡೆದ ಭಾಗಶಃ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಪಾಟೀ (ಹಲಗೆ) ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಲ್ಲಿ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಅಳಿಸಿಹಾಕಬಹುದು ಮತ್ತು ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು.”

ಪ್ರ. ವ್ಯವಕಲನಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ:

(i) 4000-230 $\hspace{5 mm}$ (ii) 4325 - 567 $\hspace{5 mm}$ (iii) 345-56