પ્રાચીન ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓની સિદ્ધિઓ અને તેમના પ્રત્યેની આપણી ઋણાત્મકતા વિશે હાલમાં આપણને ઘણું ઓછું જાણવા મળ્યું છે. પ્રાચીન સમયમાં ભારતીયો દ્વારા ગણિતમાં કરવામાં આવેલા કાર્યો પર એક નજર નાખવાથી તેમની સિદ્ધિઓ વિશે આશ્ચર્ય થાય છે. તે આપણને એ પણ સમજાવે છે કે પ્રાચીન ભારતમાં તે કેટલું મહત્વપૂર્ણ માનવામાં આવતું હતું. ઉદાહરણ તરીકે, હવે સામાન્ય રીતે એ માન્ય છે કે સંખ્યા સંકેતની દશાંશ સ્થાન મૂલ્ય પદ્ધતિની શોધ ભારતીયો દ્વારા કરવામાં આવી હતી અને પ્રથમ વાર તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ પ્રકરણ ઈસવી સનના સત્તરમી સદી સુધીના જાણીતા પ્રાચીન સમયથી ભારતમાં ગણિતના કેટલાક મુખ્ય ક્ષેત્રોની વૃદ્ધિ અને વિકાસ વિશે એક સારો ખ્યાલ આપશે.

પ્રાચીન ભારતનો એક ઝલક

મોહેનજો-દડોમાં થયેલી શોધખોળથી જણાય છે કે ઈ.સ. પૂર્વે 3000 જેટલા પ્રાચીન સમયમાં પણ સિંધુ ભૂમિના નિવાસીઓ ખૂબ સંગઠિત જીવન જીવતા હતા. હકીકતમાં, તે સમયના અન્ય કોઈ પણ લોકો કરતાં તેઓ વધુ પ્રગતિશીલ હતા. વેદોને અનુસરતું બ્રાહ્મણ સાહિત્ય (ઈ.સ. પૂર્વે 2000) આંશિક રીતે રૂઢિચુસ્ત અને આંશિક રીતે દાર્શનિક છે. આ બ્રાહ્મણ કાળ પછી બે હજાર વર્ષથી વધુ સમય સુધી સતત પ્રગતિ અને શ્રેષ્ઠ સિદ્ધિઓ હાંસલ કરવામાં આવી હતી. ગણિતશાસ્ત્ર અથવા જ્ઞાનની અન્ય કોઈ પણ શાખાના વિજ્ઞાનની સંસ્કૃતિને આધ્યાત્મિક જ્ઞાન માટે અવરોધ માનવામાં આવતી નહોતી.

ગણિત (ગણિત)ની સંસ્કૃતિને મહત્વ જૈન ધર્મના લોકો પણ આપે છે. તેમના ધાર્મિક સાહિત્યમાં ગણિત અનુયોગનો સમાવેશ થાય છે. સંક્યાનનું જ્ઞાન જૈન પુરોહિતની મુખ્ય યોગ્યતાઓમાંની એક હોવાનું જણાવવામાં આવ્યું છે.

બ્રાહ્મણો ચાર વેદોના સૂત્રો પર ટીકાઓ સાથેના પ્રાચીન ભારતીય ગ્રંથોનો સંગ્રહ છે.

બૌદ્ધ સાહિત્યમાં પણ, અંકગણિત (ગણના સંક્યાન)ને કલાઓમાં પ્રથમ અને સૌથી ઉમદા માનવામાં આવે છે. આ બધું પ્રાચીન ભારતમાં ગણિતની સંસ્કૃતિ પર મૂકવામાં આવેલા મહત્વ અને મૂલ્યનો એક સારો ખ્યાલ આપશે.

સંખ્યાત્મક પ્રતીકવાદનો વિકાસ

ખૂબ જ પ્રાચીન સમયથી, ભારતમાં ગણનાનો આધાર દસ રહ્યો છે. ભારતની આ પણ ખાસિયત છે કે ખૂબ જ ઉચ્ચ સંખ્યાઓની નામોની લાંબી શ્રેણી મળી આવી છે. યજુર્વેદ સંહિતા અને અન્ય કેટલાક વૈદિક ગ્રંથોમાં 1012 જેટલી મોટી સંખ્યાત્મક સંજ્ઞાઓના ઉપયોગનો સંદર્ભ એ નિષ્કર્ષ પર આવવા માટે પૂરતો આધાર પૂરો પાડે છે કે, તે દૂરના સમયમાં પણ, ભારતીયો પાસે સંખ્યાત્મક પ્રતીકોની સુવિકસિત પદ્ધતિ હોવી જોઈએ. અશોકના શિલાલેખો પરના લેખનથી જણાય છે કે તેના સમયમાં ભારતમાં સંખ્યાત્મક પ્રતીકોનો ઉપયોગ ખૂબ જ સામાન્ય હતો.

સંખ્યાત્મક ચિહ્નોના સ્વરૂપોમાં થયેલા ફેરફારો સૂચવે છે કે પ્રતીકો લાંબા સમયથી ઉપયોગમાં હતા. બ્રાહ્મી અંકો એક સંપૂર્ણપણે ભારતીય શોધ છે. આ પ્રતીકો વિશેનું આપણું જ્ઞાન રાજા અશોક (ઈ.સ. પૂર્વે 300)ના સમય સુધી પહોંચે છે, જેના વિશાળ શાસનમાં સમગ્ર ભારતનો સમાવેશ થતો હતો અને ઉત્તરમાં મધ્ય એશિયા સુધી વિસ્તરેલું હતું. ઈસવી સન પ્રથમ અથવા બીજી સદીના અંકો ધરાવતા અનેક શિલાલેખો તત્કાલીન બોમ્બે પ્રેસિડેન્સીના નાસિક જિલ્લાની એક ગુફામાં મળી આવ્યા છે. બ્રાહ્મી સંકેતની સંખ્યાઓ 1, 2 અને 3 એકબીજાની નીચે મૂકવામાં આવેલી એક, બે અને ત્રણ આડી રેખાઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવી હતી.

આર્યભટ્ટ

હવે સ્પષ્ટ છે કે ભારતની ગણિતની લાંબી પરંપરા છે. જોકે, ઈસવી સન $500-1200$નો સમયગાળો એ અર્થમાં અત્યંત રસપ્રદ છે કે આને ભારતીય ગણિતનો સુવર્ણ (સિદ્ધાંતિક) કાળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. તે આર્યભટ્ટ પ્રથમથી શરૂ થાય છે, જે ઈસવી સન 496માં જન્મ્યા હતા, એક અગ્રણી ગણિતશાસ્ત્રી જે તેમના વ્યવસ્થિત સંગ્રહ અને જ્ઞાનના વ્યવસ્થાપન માટે જાણીતા છે, અને ભાસ્કર બીજા સાથે સમાપ્ત થાય છે જે ઈસવી સન 1114માં જન્મ્યા હતા અને જેણે ગણિતના જ્ઞાનને મજબૂત પાયા પર મૂક્યું હતું. તેમની વચ્ચેના ગણિતશાસ્ત્રીઓ વરાહમિહિર (ઈસવી સન 505), ભાસ્કર પ્રથમ (ઈસવી સન 600), બ્રહ્મગુપ્ત (ઈસવી સન 628), મહાવીર (ઈસવી સન 850), શ્રીધર (ઈસવી સન 850), શ્રીપતિ (ઈસવી સન 1039) સમાન રીતે પ્રસિદ્ધ હતા.

આર્યભટ્ટ પ્રથમના આર્યભટીયમાં બે વિભાગો છે- દશગીતિકા (દશાંશ સ્કેલ પરના કેટલાક આવશ્યક પરિમાણો અને શૂન્યની શોધ, ત્રિકોણમિતિના તત્વો) અને ગણિત (આઠ મૂળભૂત ક્રિયાઓ, સમતલ ભૂમિતિ, બીજગણિતીય સમીકરણો અને તેમના ઉકેલો). બ્રહ્મગુપ્તના બ્રહ્મસ્ફુટસિદ્ધાંતમાં બે વિભાગો છે- ગણિત (ગણિત) અને કુટ્ટક (પલ્વરાઇઝર), જ્યારે ભાસ્કર બીજાએ બે અલગ ગ્રંથો લખ્યા, લીલાવતી (ગણિત) અને બીજગણિત (બીજગણિત), જે દર્શાવે છે કે આ સમયગાળામાં ગણિતનું જ્ઞાન કેટલું વિસ્તર્યું છે.

શૂન્યનું પ્રતીક આર્યભટ્ટ પ્રથમ (ઈસવી સન 496માં જન્મ્યા) દ્વારા સંખ્યાઓના દશાંશ અભિવ્યક્તિ સંબંધમાં શોધવામાં આવ્યું હતું. આર્યભટ્ટ પ્રથમ કહે છે, “ખાલી જગ્યાઓ વર્તુળથી ભરવી જોઈએ” જે “શૂન્ય” જેવું દેખાય છે. આને તેના ટીકાકાર ભાસ્કર પ્રથમ (ઈસવી સન 600) દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે. આથી ખરેખર ગાણિતિક ગણતરીમાં ક્રાંતિ આવી અને નવ સંખ્યાત્મક પ્રતીકો અને શૂન્ય સાથે સંખ્યાઓને વ્યક્ત કરવાની સંપૂર્ણ તકનીકને સરળ બનાવી.

અંકગણિત

અંકગણિત પાટીગણિતનો મુખ્ય ભાગ બનાવે છે. પાટીગણિત શબ્દ પાટી અને ગણિત શબ્દોમાંથી બનેલો સંયુક્ત શબ્દ છે, જેનો અર્થ છે ‘બોર્ડ’ અને ‘ગણતરીનું વિજ્ઞાન’. આમ તેનો અર્થ ગણતરીનું વિજ્ઞાન છે જેમાં લેખન સામગ્રી (બોર્ડ) ના ઉપયોગની જરૂરિયાત છે. ગાણિતિક ગણતરીઓ કરવાની ક્રિયાને ક્યારેક ધૂલિકર્મ (‘ધૂળ-કાર્ય’) કહેવામાં આવતી હતી, કારણ કે આકૃતિઓ બોર્ડ પર અથવા જમીન પર પાથરેલી ધૂળ પર લખવામાં આવતી હતી. બ્રહ્મગુપ્ત મુજબ પાટીગણિતમાં વીસ ક્રિયાઓ અને આઠ નિર્ધારણો છે. તે કહે છે: “જે વીસ લોજિસ્ટિક્સ, એટલે કે સરવાળો, વગેરે, અને (છાયા દ્વારા માપ) સહિત આઠ નિર્ધારણોને સ્પષ્ટ અને અલગ રીતે જાણે છે તે ગણિતશાસ્ત્રી છે.” આર્યભટ્ટ પ્રથમ (ઈસવી સન 499) તેમના સિદ્ધાંત, આર્યભટીયમાં ગણિતનો વિભાગ સમાવવા માટે પ્રથમ હતા. બ્રહ્મગુપ્ત (ઈસવી સન 628) આ સંદર્ભમાં આર્યભટ્ટનું અનુસરણ કરે છે, અને તેમના પછી સિદ્ધાંત ગ્રંથમાં ગણિતનો વિભાગ સમાવવાની સામાન્ય ફેશન બની ગઈ.

ભારતમાં રચનાની સંક્ષિપ્તતાને, ખાસ કરીને વૈજ્ઞાનિક બાબતોમાં, વિદ્વાનોની નજરમાં વધુ મૂલ્ય હતું. આ જ કારણ છે કે ભારતીય ગ્રંથોમાં માત્ર જાણીતા સૂત્રો અને પરિણામોનો સંક્ષિપ્ત વિધાન હોય છે, ક્યારેક એટલા સંક્ષિપ્ત રીતે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે કે ભાગ્યે જ સમજી શકાય તેવા હોય છે. આ સંકુચિતતા જૂનાં કાર્યોમાં વધુ સ્પષ્ટ છે; ઉદાહરણ તરીકે, આર્યભટીયમાં નિરૂપણ પછીના કાર્યો કરતાં વધુ સંકુચિત છે.

બ્રહ્મગુપ્ત

પ્રાચીન ગણિતની આઠ મૂળભૂત ક્રિયાઓ છે: (1) સરવાળો, (2) બાદબાકી, (3) ગુણાકાર, (4) ભાગાકાર, (5) વર્ગ, (6) વર્ગમૂળ, (7) ઘન અને (8) ઘનમૂળ. આર્યભટ્ટ પ્રથમએ માત્ર વર્ગ અને ઘનમૂળ શોધવાના નિયમો આપ્યા હતા, જ્યારે બ્રહ્મગુપ્તએ માત્ર ઘનમૂળનો નિયમ આપ્યો હતો.

બધી ગાણિતિક ક્રિયાઓ સરવાળો અને બાદબાકીની બે મૂળભૂત ક્રિયાઓના ભિન્નરૂપ છે, તે પ્રાચીન સમયથી ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા માન્યતા પ્રાપ્ત હતી. ભાસ્કર પ્રથમ જણાવે છે કે-“બધી અંકગણિત ક્રિયાઓ બે શ્રેણીઓમાં વિભાજિત થાય છે, જોકે સામાન્ય રીતે ચાર ગણવામાં આવે છે. બે મુખ્ય શ્રેણીઓ વધારો અને ઘટાડો છે. સરવાળો એ વધારો છે અને બાદબાકી એ ઘટાડો છે. ક્રિયાઓના આ બે પ્રકારો સમગ્ર ગણિતમાં વ્યાપે છે.” તેથી પહેલાના શિક્ષકોએ કહ્યું છે: “ગુણાકાર અને વર્ગમૂળ એ સરવાળાના ચોક્કસ પ્રકાર છે; અને ભાગાકાર અને ઘન એ બાદબાકીના છે. ખરેખર, દરેક ગાણિતિક ક્રિયા વધારો અને ઘટાડોનો સમાવેશ કરતી હોવાની ઓળખ થશે.”

સરવાળો

આર્યભટ્ટ બીજા સરવાળાની વ્યાખ્યા આપે છે- “અનેક સંખ્યાઓને એકમાં બનાવવું એ સરવાળો છે”. સરવાળા માટેનું પ્રાચીન નામ સંકલિત (સાથે બનાવેલું) છે. અન્ય સમાનાર્થી શબ્દો સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા છે તે સંકલન (સાથે બનાવવું), મિશ્રણ (મિશ્રણ), સંમેલન (સાથે મિશ્રણ), પ્રક્ષેપણ (સાથે ફેંકવું), સંયોજન (સાથે જોડાવું), એકીકરણ (એકમાં બનાવવું), યુક્તિ, યોગ (સરવાળો) અને અભ્યાસ, વગેરે. સંકલિત શબ્દનો ઉપયોગ કેટલાક લેખકો દ્વારા શ્રેણીના સરવાળાના સામાન્ય અર્થમાં કરવામાં આવ્યો છે.

બધા ગાણિતિક અને ખગોળીય કાર્યોમાં, સરવાળાની પ્રક્રિયાનું જ્ઞાન માની લેવામાં આવે છે. તેનો ખૂબ જ સંક્ષિપ્ત ઉલ્લેખ પછીના પ્રાથમિક પાત્રના કેટલાક કાર્યોમાં કરવામાં આવ્યો છે. આમ ભાસ્કર બીજા લીલાવતીમાં કહે છે: “સીધા અથવા વિપરીત ક્રમમાં સમાન સ્થાનોમાં આકૃતિઓ ઉમેરો.” ઉપરોક્ત સંદર્ભિત સરવાળાની સીધી પ્રક્રિયામાં, ઉમેરવાની સંખ્યાઓ એકબીજાની નીચે લખવામાં આવે છે, અને તળિયે એક રેખા દોરવામાં આવે છે, જેની નીચે સરવાળો લખવામાં આવે છે. પ્રથમ એકમોના સ્થાને ઊભેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો લખવામાં આવે છે, આમ સરવાળાની પ્રથમ આકૃતિ મળે છે. પછી દસના સ્થાનની સંખ્યાઓ એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને તેમનો સરવાળો રેખાની નીચે ઊભેલા આંશિક સરવાળાના દસના સ્થાનની આકૃતિમાં ઉમેરવામાં આવે છે અને પરિણામ તેના સ્થાને બદલવામાં આવે છે. આમ સરવાળાના દસના સ્થાનની આકૃતિ મળે છે, અને આમ જ.

સરવાળાની વિપરીત પ્રક્રિયામાં, છેલ્લા સ્થાને (અત્યંત ડાબી બાજુ) ઊભેલી સંખ્યાઓ એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને પરિણામ આ છેલ્લા સ્થાનની નીચે મૂકવામાં આવે છે. પછી આગલા સ્થાનની સંખ્યાઓ ઉમેરવામાં આવે છે અને પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે. આંશિક સરવાળાની સંખ્યાઓને સુધારવામાં આવે છે, જો જરૂરી હોય તો, જ્યારે આગળની ઊભી રેખામાં આકૃતિઓ ઉમેરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો છેલ્લા સ્થાનની સંખ્યાઓનો સરવાળો 12 હોય, તો 12 નીચેની રેખાની નીચે મૂકવામાં આવે છે, 2 સીધી ઉમેરેલી સંખ્યાઓની નીચે હોય છે; પછી, જો આગલા સ્થાનની સંખ્યાઓનો સરવાળો 13 (માની લો) હોય, તો 3 ઉમેરેલી આકૃતિઓની નીચે મૂકવામાં આવે છે અને 1 ડાબી બાજુ લઈ જવામાં આવે છે. આમ, આંશિક સરવાળો 12 ની આકૃતિ 2 ઘસી નાખવામાં આવે છે અને 3 દ્વારા બદલવામાં આવે છે. ચાલો $26+57$ શોધીએ.

સીધી પ્રક્રિયા

$ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

વિપરીત પ્રક્રિયા

$ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 1:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 2:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 7 \quad 1 \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 3:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & (7+1) \quad 3 \end{array} \hspace{5 mm} $ $ \begin{array}{ll} & \text{પગલું 4:} \\ & 2 \quad 6 \\ \text{+} & 5 \quad 7 \\ \hline \\ & 8 \quad 3 \end{array} $

પ્ર. ઉપરોક્ત ઉલ્લેખિત પદ્ધતિઓ દ્વારા નીચેના સરવાળા કરો. વર્તમાન દિવસની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તમારા જવાબોની તુલના કરો.

(i) $37+49 \hspace{5 mm}$ (ii) $57+69 \hspace{5 mm}$ (iii) $74+36$

બાદબાકી

આર્યભટ્ટ બીજા (ઈસવી સન 950) બાદબાકીની વ્યાખ્યા આપે છે:

“સર્વધન (કુલ)માંથી (કેટલીક સંખ્યા) બહાર કાઢવી એ બાદબાકી છે; જે બાકી રહે છે તેને શેષ (બાકી) કહેવામાં આવે છે.” બાદબાકી માટે વ્યુત્કલિત (અલગ બનાવેલ), વ્યુત્કલન (અલગ બનાવવું), શોધન (સાફ કરવું), પતન (ખસી જવું), વિયોગ (વિભાજન), વગેરે શબ્દોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. બાકી માટે શેષ (અવશેષ) અને અંતર (તફાવત) શબ્દોનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે. ઘટાડવાની સંખ્યાને સર્વધન અથવા વિયોજ્ય કહેવામાં આવે છે અને બાદ કરવાની સંખ્યાને વિયોજક કહેવામાં આવે છે.

ભાસ્કર બીજા બાદબાકીની પદ્ધતિ આ રીતે આપે છે: “સંખ્યાઓને તેમના સ્થાનો અનુસાર સીધા અથવા વિપરીત ક્રમમાં બાદ કરો.” સીધી પ્રક્રિયા એક ઉદાહરણની મદદથી સમજાવવામાં આવી છે, ચાલો કહીએ, $1000-360$. દસના સ્થાને ઊભેલા શૂન્યમાંથી છ બાદ કરી શકાતા નથી, તેથી દસ લઈને અને તેમાંથી છ બાદ કરવાથી, બાકી (ચાર) નીચે (છ) મૂકવામાં આવે છે, અને આ દસ આગલા સ્થાનમાંથી બાદ કરવાની છે.

કારણ કે, એકમ, વગેરેના સ્થાનો દસના ગુણાંક છે, તેથી બાદ કરવાની સંખ્યાની આકૃતિ જે ઘટાડવાની સંખ્યાની અનુરૂપ આકૃતિમાંથી બાદ કરી શકાતી નથી તે દસમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે, બાકી લેવામાં આવે છે અને આ દસ આગલા સ્થાનમાંથી કાપવામાં આવે છે. આ રીતે આ દસ છેલ્લા સ્થાન સુધી લઈ જવામાં આવે છે જ્યાં સુધી તે છેલ્લી આકૃતિ સાથે સમાપ્ત ન થાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, નવ સુધીની સંખ્યાઓ એ