3.1 تعارف

آپ جانتے ہیں کہ کاغذ ایک مستوی سطح کا نمونہ ہے۔ جب آپ کاغذ سے پنسل اٹھائے بغیر (اور کسی بھی حصے کو واحد نقاط کے علاوہ دوبارہ نہ کھینچتے ہوئے) متعدد نقاط کو ملاتے ہیں، تو آپ کو ایک مستوی منحنی حاصل ہوتا ہے۔

3.1.1 محدب اور مقعر کثیرالاضلاع

صرف خطی قطعات سے بنی ایک سادہ بند منحنی کو کثیرالاضلاع کہتے ہیں۔

منحنیات جو کثیرالاضلاع ہیں $\hspace{30 mm}$ منحنیات جو کثیرالاضلاع نہیں ہیں

یہاں کچھ محدب کثیرالاضلاع اور کچھ مقعر کثیرالاضلاع ہیں۔ (شکل 3.1)

محدب کثیرالاضلاع $\hspace{40 mm}$ مقعر کثیرالاضلاع

کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ یہ قسم کے کثیرالاضلاع ایک دوسرے سے کیسے مختلف ہیں؟ محدب کثیرالاضلاع میں ان کے اخترنوں کا کوئی حصہ ان کے بیرونی حصے میں نہیں ہوتا یا کوئی بھی خطی قطعہ جو کسی دو مختلف نقاط کو ملائے، اگر وہ کثیرالاضلاع کے اندرونی حصے میں ہو، تو پورا کا پورا اندرونی حصے میں ہی ہوتا ہے۔ کیا یہ بات مقعر کثیرالاضلاع کے لیے بھی درست ہے؟ دی گئی اشکال کا مطالعہ کریں۔ پھر اپنے الفاظ میں بیان کرنے کی کوشش کریں کہ ہم محدب کثیرالاضلاع سے کیا مراد لیتے ہیں اور مقعر کثیرالاضلاع سے کیا مراد لیتے ہیں۔ ہر قسم کی دو خاکے بنائیں۔

اس جماعت میں ہمارے کام میں، ہم صرف محدب کثیرالاضلاع کے ساتھ معاملہ کریں گے۔

3.1.2 منتظم اور غیر منتظم کثیرالاضلاع

ایک منتظم کثیرالاضلاع ‘ہم زاویہ’ اور ‘ہم اضلاع’ دونوں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر، ایک مربع کے اضلاع کی لمبائی برابر اور زاویوں کی پیمائش برابر ہوتی ہے۔ اس لیے یہ ایک منتظم کثیرالاضلاع ہے۔ ایک مستطیل ہم زاویہ ہوتا ہے لیکن ہم اضلاع نہیں ہوتا۔ کیا مستطیل ایک منتظم کثیرالاضلاع ہے؟ کیا ہم اضلاع مثلث ایک منتظم کثیرالاضلاع ہے؟ کیوں؟

منتظم کثیرالاضلاع $\hspace{40 mm}$ کثیرالاضلاع جو منتظم نہیں ہیں

[نوٹ: $\wedge \neq$ یا $\not$ کے استعمال سے برابر لمبائی کے قطعات کی نشاندہی ہوتی ہے]۔

پچھلی جماعتوں میں، کیا آپ کسی ایسے چوکور کے بارے میں آئے ہیں جو ہم اضلاع ہو لیکن ہم زاویہ نہ ہو؟ پچھلی جماعتوں میں دیکھے گئے چوکور اشکال کو یاد کریں-مستطیل، مربع، معین وغیرہ۔

کیا کوئی ایسا مثلث ہے جو ہم اضلاع ہو لیکن ہم زاویہ نہ ہو؟

مشق 3.1

1. یہاں کچھ اشکال دی گئی ہیں۔

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

ان میں سے ہر ایک کو درج ذیل کی بنیاد پر درجہ بندی کریں۔

(الف) سادہ منحنی $\quad$ (ب) سادہ بند منحنی $\quad$ (ج) کثیرالاضلاع

(د) محدب کثیرالاضلاع $\quad$ (ہ) مقعر کثیرالاضلاع

2. منتظم کثیرالاضلاع کیا ہوتا ہے؟

ایک منتظم کثیرالاضلاع کا نام بتائیے جس کے

(i) 3 اضلاع ہوں $\quad$ (ii) 4 اضلاع ہوں $\quad$ (iii) 6 اضلاع ہوں

3.2 کثیرالاضلاع کے بیرونی زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ

بہت سے مواقع پر بیرونی زاویوں کا علم اندرونی زاویوں اور اضلاع کی نوعیت پر روشنی ڈال سکتا ہے۔

یہ کریں

فرش پر چاک کے ٹکڑے سے ایک کثیرالاضلاع بنائیں۔ (شکل میں، ایک مخمس $ABCDE$ دکھایا گیا ہے) (شکل 3.2)۔

ہم زاویوں کی کل پیمائش جاننا چاہتے ہیں، یعنی، $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$۔ A سے شروع کریں۔ $\overline{AB}$ کے ساتھ ساتھ چلیں۔ B پر پہنچ کر، آپ کو $m \angle 1$ کے زاویے سے مڑنا ہوگا، تاکہ $\overline{BC}$ کے ساتھ ساتھ چل سکیں۔ جب آپ $C$ پر پہنچیں، تو آپ کو $m \angle 2$ کے زاویے سے مڑنا ہوگا تاکہ $\overline{CD}$ کے ساتھ ساتھ چل سکیں۔ آپ اسی طرح حرکت جاری رکھیں، یہاں تک کہ آپ ضلع AB پر واپس آجائیں۔ آپ نے درحقیقت ایک مکمل چکر لگا لیا ہوگا۔

شکل 3.2

لہذا، $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$۔

یہ بات قطع نظر درست ہے کہ کثیرالاضلاع کے اضلاع کی تعداد کتنی بھی ہو۔

لہذا، کسی بھی کثیرالاضلاع کے بیرونی زاویوں کی پیمائشوں کا مجموعہ $360^{\circ}$ ہوتا ہے۔

مثال 1 : شکل 3.3 میں پیمائش $x$ معلوم کریں۔

حل:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( کیوں؟) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

کوشش کریں

ایک منتظم مسدس لیں شکل 3.4۔

1. اس کے بیرونی زاویوں $x, y, z, p, q, r$ کی پیمائشوں کا مجموعہ کیا ہے؟

2. کیا $x=y=z=p=q=r$ ؟ کیوں؟

3. ہر ایک کی پیمائش کیا ہے؟

(i) بیرونی زاویہ

(ii) اندرونی زاویہ

4. اس سرگرمی کو درج ذیل صورتوں کے لیے دہرائیں

(i) ایک منتظم ثمانی

(ii) ایک منتظم بیس اضلاعی

شکل 3.4

مثال 2 : ایک منتظم کثیرالاضلاع کی اضلاع کی تعداد معلوم کریں جس کے ہر بیرونی زاویہ کی پیمائش $45^{\circ}$ ہے۔

حل تمام بیرونی زاویوں کی کل پیمائش $=360^{\circ}$

ہر بیرونی زاویہ کی پیمائش $=45^{\circ}$

لہذا، بیرونی زاویوں کی تعداد $=\frac{360}{45}=8$

کثیرالاضلاع کے 8 اضلاع ہیں۔

مشق 3.2

1. درج ذیل اشکال میں $x$ معلوم کریں۔

(الف)

(ب)

2. ایک منتظم کثیرالاضلاع کے ہر بیرونی زاویہ کی پیمائش معلوم کریں جس کے (i) 9 اضلاع ہوں (ii) 15 اضلاع ہوں

3. ایک منتظم کثیرالاضلاع کے کتنے اضلاع ہوتے ہیں اگر ایک بیرونی زاویہ کی پیمائش $24^{\circ}$ ہو؟

4. ایک منتظم کثیرالاضلاع کے کتنے اضلاع ہوتے ہیں اگر اس کے ہر اندرونی زاویہ کی پیمائش $165^{\circ}$ ہو؟

5. (الف) کیا ایک منتظم کثیرالاضلاع ہونا ممکن ہے جس کے ہر بیرونی زاویہ کی پیمائش $22^{\circ}$ ہو؟

(ب) کیا یہ ایک منتظم کثیرالاضلاع کا اندرونی زاویہ ہو سکتا ہے؟ کیوں؟

6. (الف) ایک منتظم کثیرالاضلاع کے لیے ممکنہ کم از کم اندرونی زاویہ کیا ہے؟ کیوں؟

(ب) ایک منتظم کثیرالاضلاع کے لیے ممکنہ زیادہ سے زیادہ بیرونی زاویہ کیا ہے؟

3.3 چوکوروں کی اقسام

چوکور کے اضلاع یا زاویوں کی نوعیت کی بنیاد پر، اس کے خاص نام ہوتے ہیں۔

3.3.1 ذوذنقہ

ذوذنقہ ایک ایسا چوکور ہے جس کے ایک جوڑے میں متوازی اضلاع ہوتے ہیں۔

یہ ذوذنقہ ہیں $\hspace{20 mm}$ یہ ذوذنقہ نہیں ہیں

اوپر کی اشکال کا مطالعہ کریں اور اپنے دوستوں کے ساتھ بحث کریں کہ ان میں سے کچھ ذوذنقہ کیوں ہیں جبکہ کچھ نہیں ہیں۔ (نوٹ: \to نشانات متوازی خطوط کی نشاندہی کرتے ہیں)۔

یہ کریں

1. اطاق المثلثات کے ہم شکل قطعے لیں جن کے اضلاع $3 cm, 4 cm, 5 cm$ ہوں۔ انہیں دکھائے گئے طریقے سے ترتیب دیں (شکل 3.5)۔

شکل 3.5

آپ کو ایک ذوذنقہ ملتا ہے۔ (اس کی جانچ کریں!) یہاں متوازی اضلاع کون سے ہیں؟ کیا غیر متوازی اضلاع برابر ہونے چاہئیں؟

آپ اسی سیٹ کے مثلثات کا استعمال کرتے ہوئے دو مزید ذوذنقہ حاصل کر سکتے ہیں۔ انہیں ڈھونڈیں اور ان کی اشکال پر بحث کریں۔

2. اپنے اور اپنے دوست کے آلہ جات کے خانوں سے چار سیٹ اسکوائر لیں۔ انہیں مختلف تعداد میں ساتھ ساتھ رکھنے اور مختلف ذوذنقہ حاصل کرنے کے لیے استعمال کریں۔

اگر کسی ذوذنقہ کے غیر متوازی اضلاع کی لمبائی برابر ہو، تو ہم اسے متساوی الساقین ذوذنقہ کہتے ہیں۔ کیا آپ کو اوپر دی گئی اپنی تحقیقات میں کوئی متساوی الساقین ذوذنقہ ملا؟

3.3.2 گڈی

گڈی ایک چوکور کی ایک خاص قسم ہے۔ ہر شکل میں ایک جیسے نشانات والے اضلاع برابر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر $AB=AD$ اور $BC=CD$۔

یہ گڈیاں ہیں $\hspace{30 mm}$ یہ گڈیاں نہیں ہیں

ان اشکال کا مطالعہ کریں اور یہ بیان کرنے کی کوشش کریں کہ گڈی کیا ہوتی ہے۔ مشاہدہ کریں کہ

(i) گڈی کے 4 اضلاع ہوتے ہیں (یہ ایک چوکور ہے)۔

(ii) برابر لمبائی کے اضلاع کے بالکل دو متمایز متواتر جوڑے ہوتے ہیں۔

جانچیں کہ کیا مربع ایک گڈی ہے۔

یہ کریں

ایک موٹا سفید کاغذ لیں۔

کاغذ کو ایک بار موڑیں۔

مختلف لمبائیوں کے دو خطی قطعات بنا کر دکھائے گئے طریقے سے بنائیں (شکل 3.6)۔

خطی قطعات کے ساتھ ساتھ کاٹیں اور کھولیں۔

آپ کے پاس گڈی کی شکل ہے (شکل 3.6)۔

کیا گڈی میں کوئی خطی تناظر ہے؟

شکل 3.6

گڈی کے دونوں اخترنوں کو موڑیں۔ یہ جانچنے کے لیے سیٹ اسکوائر استعمال کریں کہ کیا وہ قائمہ زاویے پر قطع کرتے ہیں۔ کیا اخترن لمبائی میں برابر ہیں؟

تصدیق کریں (کاغذ موڑ کر یا پیمائش سے) کہ کیا اخترن ایک دوسرے کو نصف قطع کرتے ہیں۔

گڈی کے ایک زاویے کو اس کے مقابل پر موڑ کر، برابر پیمائش کے زاویوں کے لیے جانچ کریں۔

اخترنی موڑوں کا مشاہدہ کریں؛ کیا وہ کسی اخترن کے زاویہ ناصف ہونے کی نشاندہی کرتے ہیں؟

اپنے نتائج دوسروں کے ساتھ شیئر کریں اور ان کی فہرست بنائیں۔ ان نتائج کا خلاصہ باب میں کہیں اور آپ کے حوالے کے لیے دیا گیا ہے۔

دکھائیں کہ $\triangle ABC$ اور $\triangle ADC$ ہم شکل ہیں۔ ہم اس سے کیا نتیجہ اخذ کرتے ہیں؟

شکل 3.7

3.3.3 متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع ایک چوکور ہے۔ جیسا کہ نام سے ظاہر ہے، اس کا تعلق متوازی خطوط سے ہے۔

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

یہ متوازی الاضلاع ہیں $\hspace{20 mm}$ یہ متوازی الاضلاع نہیں ہیں

ان اشکال کا مطالعہ کریں اور اپنے الفاظ میں بیان کرنے کی کوشش کریں کہ ہم متوازی الاضلاع سے کیا مراد لیتے ہیں۔ اپنے مشاہدات دوستوں کے ساتھ شیئر کریں۔

جانچیں کہ کیا مستطیل بھی ایک متوازی الاضلاع ہے۔

یہ کریں

مختلف چوڑائیوں کے دو مختلف مستطیل کارڈ بورڈ سٹرپس لیں (شکل 3.8)۔

سٹرپ 1 $\hspace{40 mm}$ سٹرپ 2

ایک سٹرپ کو افقی طور پر رکھیں اور اس کے کنارے کے ساتھ ساتھ خطوط کھینچیں جیسا کہ شکل میں کھینچا گیا ہے (شکل 3.9)۔

اب دوسرے سٹرپ کو ترچھی پوزیشن میں کھینچے گئے خطوط پر رکھیں اور اس کا استعمال کرتے ہوئے دو مزید خطوط کھینچیں جیسا کہ دکھایا گیا ہے (شکل 3.10)۔

شکل 3.9

یہ چار خطوط ایک چوکور کو گھیرتے ہیں۔ یہ متوازی خطوط کے دو جوڑوں سے مل کر بنا ہے (شکل 3.11)۔

شکل 3.10 $\hspace{40 mm}$ شکل 3.11

یہ ایک متوازی الاضلاع ہے۔

متوازی الاضلاع ایک ایسا چوکور ہے جس کے مقابل اضلاع متوازی ہوتے ہیں۔

3.3.4 متوازی الاضلاع کے اجزاء

متوازی الاضلاع میں چار اضلاع اور چار زاویے ہوتے ہیں۔ ان میں سے کچھ برابر ہوتے ہیں۔ ان اجزاء سے منسلک کچھ اصطلاحات ہیں جنہیں آپ کو یاد رکھنے کی ضرورت ہے۔

ایک متوازی الاضلاع $ABCD$ دیا گیا ہے (شکل 3.12)۔

شکل 3.12

$\overline{AB}$ اور $\overline{DC}$، مقابل اضلاع ہیں۔ $\overline{AD}$ اور $\overline{BC}$ مقابل اضلاع کا ایک اور جوڑا بناتے ہیں۔

$\angle A$ اور $\angle C$ مقابل زاویوں کا ایک جوڑا ہیں؛ مقابل زاویوں کا ایک اور جوڑا $\angle B$ اور $\angle D$ ہوگا۔

$\overline{AB}$ اور $\overline{BC}$ متصل اضلاع ہیں۔ اس کا مطلب ہے، ایک ضلع وہاں شروع ہوتا ہے جہاں دوسرا ختم ہوتا ہے۔ کیا $\overline{BC}$ اور $\overline{CD}$ بھی متصل اضلاع ہیں؟ متصل اضلاع کے دو مزید جوڑے ڈھونڈنے کی کوشش کریں۔

$\angle A$ اور $\angle B$ متصل زاویے ہیں۔ وہ ایک ہی ضلع کے سروں پر ہیں۔ $\angle B$ اور $\angle C$ بھی متصل ہیں۔ متوازی الاضلاع کے متصل زاویوں کے دوسرے جوڑوں کی شناخت کریں۔

یہ کریں

دو ہم شکل متوازی الاضلاعوں کے قطعے لیں، فرض کریں $A B C D$ اور $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (شکل 3.13)۔

یہاں $\overline{AB}$ $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ کے ہم شکل ہے سوائے نام کے۔ اسی طرح دوسرے متناظر اضلاع بھی برابر ہیں۔

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ کو $\overline{DC}$ پر رکھیں۔ کیا وہ منطبق ہوتے ہیں؟ اب آپ لمبائیوں $\overline{AB}$ اور $\overline{DC}$ کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

اسی طرح لمبائیوں $\overline{AD}$ اور $\overline{BC}$ کا معائنہ کریں۔ آپ کو کیا ملتا ہے؟

آپ $\overline{AB}$ اور $\overline{DC}$ کی پیمائش کر کے بھی اس نتیجے پر پہنچ سکتے ہیں۔

خاصیت: متوازی الاضلاع کے مقابل اضلاع کی لمبائی برابر ہوتی ہے۔

کوشش کریں

دو ہم شکل سیٹ اسکوائر لیں جن کے زاویے $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ہوں اور انہیں متصل طور پر اس طرح رکھیں کہ ایک متوازی الاضلاع بن جائے جیسا کہ شکل 3.14 میں دکھایا گیا ہے۔ کیا یہ آپ کو اوپر والی خاصیت کی تصدیق کرنے میں مدد کرتا ہے؟

آپ منطقی دلیل کے ذریعے بھی اس خیال کو مزید مضبوط کر سکتے ہیں۔

ایک متوازی الاضلاع ABCD پر غور کریں (شکل 3.15)۔ کوئی ایک اخترن کھینچیں، فرض کریں $\overline{AC}$۔

شکل 3.15

شکل 3.14

زاویوں کو دیکھتے ہوئے،

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ اور } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (کیوں؟) } $

چونکہ مثلثوں $ABC$ اور $ADC, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$ میں

اور $\overline{AC}$ مشترک ہے، لہذا، ASA ہم شکلی شرط کے مطابق،

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (یہاں ASA کا استعمال کیسے ہوا؟)

اس سے ملتا ہے

$ AB=DC \text{ اور } BC=AD \text{. } $

مثال 3 : متوازی الاضلاع PQRS کا محیط معلوم کریں (شکل 3.16)۔

حل متوازی الاضلاع میں، مقابل اضلاع کی لمبائی برابر ہوتی ہے۔

لہذا، $PQ=SR=12 cm$ اور $QR=PS=7 cm$

لہذا، محیط $=PQ+QR+RS+SP$

$ =12 cm+7 cm+12 cm+7 cm=38 cm $

3.3.5 متوازی الاضلاع کے زاویے

شکل 3.16

ہم نے متوازی الاضلاع کی ایک خاصیت (مقابل) اضلاع کے حوالے سے پڑھی۔ ہم زاویوں کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

یہ کریں

فرض کریں $ABCD$ ایک متوازی الاضلاع ہے (شکل 3.17)۔ اسے ٹریسنگ پیپر پر نقل کریں۔ اس نقل کو $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ کا نام دیں۔ $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ کو $A B C D$ پر رکھیں۔ انہیں اس نقطہ پر پن کریں جہاں اخترن ملتے ہیں۔ شفاف شیٹ کو $180^{\circ}$ سے گھمائیں۔ متوازی الاضلاع اب بھی منطبق ہیں؛ لیکن اب آپ $A^{\prime}$ کو بالکل $C$ پر پاتے ہیں اور اس کے برعکس؛ اسی طرح $B^{\prime}$ $D$ پر ہوتا ہے اور اس کے برعکس۔

شکل 3.17

کیا یہ آپ کو زاویوں A اور C کی پیمائشوں کے بارے میں کچھ بتاتا ہے؟ زاویوں B اور D کے لیے بھی یہی معائنہ کریں۔ اپنے نتائج بیان کریں۔

خاصیت: متوازی الاضلاع کے مقابل زاویوں کی پیمائش برابر ہوتی ہے۔

کوشش کریں

دو ہم شکل $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ سیٹ اسکوائر لیں اور پہلے کی طرح ایک متوازی الاضلاع بنائیں۔ کیا حاصل ہونے والی شکل آپ کو اوپر والی خاصیت کی تصدیق کرنے میں مدد کرتی ہے؟

آپ منطقی دلائل کے ذریعے اس خیال کو مزید جواز دے سکتے ہیں۔

اگر $\overline{AC}$ اور $\overline{BD}$ متوازی الاضلاع کے اخترن ہیں، (شکل 3.18) تو آپ پاتے ہیں کہ

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ اور } \quad \angle 3=\angle 4 \quad \text{ (کیوں؟) } $

شکل 3.18

$\triangle ABC$ اور $\triangle ADC$ کا الگ الگ مطالعہ (شکل 3.19)، آپ کو یہ دیکھنے میں مدد کرے گا کہ ASA ہم شکلی شرط کے مطابق،

$ \Delta ABC \cong \Delta CDA(\text{ کیسے؟) } $

شکل 3.19

یہ دکھاتا ہے کہ $\angle B$ اور $\angle D$ کی پیمائش برابر ہے۔ اسی طرح آپ $m \angle A=m \angle C$ حاصل کر سکتے ہیں۔

متبادل طور پر، $\angle 1=\angle 2$ اور $\angle 3=\angle 4$، ہمارے پاس ہے، $m \angle A=\angle 1+\angle 4=\angle 2+\angle C m \angle C$

مثال 4 : شکل 3.20 میں، BEST ایک متوازی الاضلاع ہے۔ اقدار $x, y$ اور $z$ معلوم کریں۔

حل $S$ $B$ کے مقابل ہے۔

لہذا،

$ \begin{aligned} & x=100^{\circ}(\text{ مقابل زاویوں کی خاصیت) } \\ & y=100^{\circ} \quad(\text{ زاویہ } \angle x \text{ کے متناظر زاویہ کی پیمائش) } \\ & z=80^{\circ} \quad(\text{ چونکہ } \angle y, \angle z \text{ ایک خطی جوڑا ہے) } \end{aligned} $

اب ہم متوازی الاضلاع کے متصل زاویوں کی طرف توجہ دیتے ہیں۔ متوازی الاضلاع $ABCD$ میں، (شکل 3.21)۔

$\angle A$ اور $\angle D$ تکمیلی ہیں چونکہ $\overline{DC} | \overline{AB}$ اور قطعی $\overline{DA}$ کے ساتھ، یہ دو زاویے اندرونی مقابل ہیں۔

$\angle A$ اور $\angle B$ بھی تکمیلی ہیں۔ کیا آپ ‘کیوں’ کہہ سکتے ہیں؟

شکل 3.21

$\overline{AD} | \overline{BC}$ اور $\overline{BA}$ ایک قطعی ہے، جو $\angle A$ اور $\angle B$ کو اندرونی مقابل بناتا ہے۔

شکل سے تکمیلی زاویوں کے دو مزید جوڑوں کی شناخت کریں۔

خاصیت: متوازی الاضلاع میں متصل زاویے تکمیلی ہوتے ہیں۔

مثال 5 : ایک متوازی الاضلاع RING میں، (شکل 3.22) اگر $m \angle R=70^{\circ}$، تو باقی تمام زاویے معلوم کریں۔

حل دیا گیا ہے $m \angle R=70^{\circ}$

پھر

$ m \angle N=70^{\circ} $

کیونکہ $\angle R$ اور $\angle N$ متوازی الاضلاع کے مقابل زاویے ہیں۔

چونکہ $\angle R$ اور $\angle I$ تکمیلی ہیں،

$ m \angle I=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $

شکل 3.22

نیز، $m \angle G=110^{\circ}$ چونکہ $\angle G$ $\angle I$ کے مقابل ہے

اس طرح، $m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ اور $m \angle I=m \angle G=110^{\circ}$

سوچیں، بحث کریں اور لکھیں

$m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ دکھانے کے بعد، کیا آپ $m \angle I$ اور $m \angle G$ کو کسی دوسرے طریقے سے معلوم کر سکتے ہیں؟

3.3.6 متوازی الاضلاع کے اخترن

متوازی الاضلاع کے اخترن، عام طور پر، برابر لمبائی کے نہیں ہوتے۔ (کیا آپ نے یہ اپنی پچھلی سرگرمی میں جانچا تھا؟) تاہم، متوازی الاضلاع کے اخترن کی ایک دلچسپ خاصیت ہوتی ہے۔

یہ کریں

ایک متوازی الاضلاع کا قطعہ لیں، فرض کریں، $ABCD$ (شکل 3.23)۔ اس کے اخترن $\overline{AC}$ اور $\overline{DB}$ $O$ پر ملتے ہیں۔ شکل $\mathbf{3 . 2 3}$

$\overline{AC}$ کا وسطی نقطہ موڑ کر معلوم کریں، $C$ کو $A$ پر رکھ کر۔ کیا وسطی نقطہ $O$ کے برابر ہے؟

کیا یہ دکھاتا ہے کہ اخترن $\overline{DB}$ اخترن $\overline{AC}$ کو نقطہ $O$ پر نصف قطع کرتا ہے؟ اس پر اپنے دوستوں کے ساتھ بحث کریں۔ یہ جانچنے کے لیے سرگرمی دہرائیں کہ $\overline{DB}$ کا وسطی نقطہ کہاں ہو سکتا ہے۔

خاصیت: متوازی الاضلاع کے اخترن ایک دوسرے کو نصف قطع کرتے ہیں (ظاہر ہے، ان کے تقاطع کے نقطہ پر!)

اس خاصیت کے لیے دلیل دینا اور اسے جواز دینا بہت مشکل نہیں ہے۔ شکل 3.24 سے، ASA معیار کا اطلاق کرتے ہوئے، یہ دیکھنا آسان ہے کہ

$\triangle AOB \cong \triangle COD$ (یہاں ASA کا استعمال کیسے ہوا؟)

شکل 3.24

اس سے ملتا ہے $\quad AO=CO$ اور $BO=DO$

مثال 6 : شکل 3.25 میں HELP ایک متوازی الاضلاع ہے۔ (لمبائیاں سینٹی میٹر میں ہیں)۔ دیا گیا ہے کہ $OE=4$ اور $HL$ PE سے 5 زیادہ ہے؟ $OH$ معلوم کریں۔

حل : اگر $OE=4$ تو $OP$ بھی 4 ہے (کیوں؟)

لہذا

$PE=8$،

اس لیے

$HL=8+5=13$

لہذا

$ OH=\frac{1}{2} \times 13=6.5(cms) $

(کیوں؟)

شکل 3.25

مشق 3.3

1. ایک متوازی الاضلاع $ABCD$ دیا گیا ہے۔ ہر بیان کو تعریف یا خاصیت کے ساتھ مکمل کریں۔ (i) $AD=$ (ii) $\angle DCB=$