৩.১ পৰিচয়

তুমি জানা যে কাগজখন এটা সমতল পৃষ্ঠৰ এটা নমুনা। যেতিয়া তুমি কাগজৰ পৰা পেঞ্চিলটো নুঠুৱাকৈ কেইবাটাও বিন্দু সংযোগ কৰা (আৰু একক বিন্দু বাদে অংকনৰ কোনো অংশ পুনৰ ট্ৰেচ নকৰাকৈ), তেতিয়া তুমি এটা সমতল ৰেখা পোৱা।

৩.১.১ উত্তল আৰু অবতল বহুভুজ

কেবাখনো ৰেখাখণ্ডৰে গঠিত এটা সৰল আবদ্ধ ৰেখাক বহুভুজ বোলে।

বহুভুজ হোৱা ৰেখা $\hspace{30 mm}$ বহুভুজ নোহোৱা ৰেখা

ইয়াত কিছুমান উত্তল বহুভুজ আৰু কিছুমান অবতল বহুভুজ দিয়া আছে। (চিত্ৰ ৩.১)

উত্তল বহুভুজ $\hspace{40 mm}$ অবতল বহুভুজ

এই ধৰণৰ বহুভুজবোৰে কেনেকৈ ইটোৰ পৰা সিটো পৃথক হয় তুমি বিচাৰি পাব পাৰানে? উত্তল বহুভুজবোৰৰ কৰ্ণবোৰৰ কোনো অংশই বহিঃস্থ অঞ্চলত নাথাকে বা বহুভুজটোৰ অভ্যন্তৰত থকা যিকোনো দুটা বিন্দু সংযোগ কৰা যিকোনো ৰেখাখণ্ড সম্পূৰ্ণৰূপে ইয়াৰ অভ্যন্তৰত থাকে। অবতল বহুভুজৰ ক্ষেত্ৰত এইটো সত্য নেকি? দিয়া চিত্ৰবোৰ অধ্যয়ন কৰা। তাৰ পিছত উত্তল বহুভুজ বুলিলে আমি কি বুজো আৰু অবতল বহুভুজ বুলিলে আমি কি বুজো তুমি তোমাৰ নিজৰ শব্দত বৰ্ণনা কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা। প্ৰতিটো ধৰণৰ দুটাকৈ ৰূঢ় চিত্ৰ অংকন কৰা।

এই শ্ৰেণীৰ আমাৰ কামত, আমি কেৱল উত্তল বহুভুজৰ সৈতেহে ব্যৱহাৰ কৰিম।

৩.১.২ সুষম আৰু অসুষম বহুভুজ

এটা সুষম বহুভুজ ‘সমকোণী’ আৰু ‘সমবাহু’ দুয়োটাই হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, বৰ্গৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ বাহু আৰু সমান মাপৰ কোণ থাকে। গতিকে ই এটা সুষম বহুভুজ। আয়তটো সমকোণী কিন্তু সমবাহু নহয়। আয়তটো এটা সুষম বহুভুজ নেকি? সমবাহু ত্ৰিভুজটো এটা সুষম বহুভুজ নেকি? কিয়?

সুষম বহুভুজ $\hspace{40 mm}$ সুষম নোহোৱা বহুভুজ

[টোকা: $\wedge \neq$ বা $\not$ ব্যৱহাৰ কৰিলে সমান দৈৰ্ঘ্যৰ খণ্ডবোৰ সূচিত কৰে]।

পূৰ্বৰ শ্ৰেণীবোৰত, তুমি এনে কোনো চতুৰ্ভুজৰ সৈতে পৰিচিত হৈছিলানে যিটো সমবাহু কিন্তু সমকোণী নহয়? আগৰ শ্ৰেণীবোৰত তুমি দেখা চতুৰ্ভুজৰ আকৃতিবোৰ মনত পেলোৱা—আয়ত, বৰ্গ, ৰম্বাছ আদি।

এনে ত্ৰিভুজ আছে নেকি যিটো সমবাহু কিন্তু সমকোণী নহয়?

অনুশীলনী ৩.১

১. ইয়াত কিছুমান চিত্ৰ দিয়া আছে।

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

তলত দিয়াবোৰৰ ভিত্তিত প্ৰতিটো শ্ৰেণীবিভাজন কৰা।

(ক) সৰল ৰেখা $\quad$ (খ) সৰল আবদ্ধ ৰেখা $\quad$ (গ) বহুভুজ

(ঘ) উত্তল বহুভুজ $\quad$ (ঙ) অবতল বহুভুজ

২. সুষম বহুভুজ বুলিলে কি বুজা?

সুষম বহুভুজৰ নাম উল্লেখ কৰা যাৰ

(i) ৩টা বাহু $\quad$ (ii) ৪টা বাহু $\quad$ (iii) ৬টা বাহু

৩.২ বহুভুজৰ বহিঃস্থ কোণবোৰৰ মাপৰ সমষ্টি

বহু occasionsত বহিঃস্থ কোণৰ জ্ঞানই অন্তঃস্থ কোণ আৰু বাহুবোৰৰ প্ৰকৃতিৰ ওপৰত পোহৰ পেলাব পাৰে।

ইয়াক কৰা

মজিয়াত খড়ীৰ টুকুৰা এটা ব্যৱহাৰ কৰি এটা বহুভুজ অংকন কৰা। (চিত্ৰত, এটা পঞ্চভুজ $ABCDE$ দেখুওৱা হৈছে) (চিত্ৰ ৩.২)।

আমি কোণবোৰৰ মুঠ মাপ জানিব বিচাৰো, অৰ্থাৎ, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$। A ৰ পৰা আৰম্ভ কৰা। $\overline{AB}$ বৰাবৰ গতি কৰা। B লৈ উপস্থিত হ’লে, $\overline{BC}$ বৰাবৰ গতি কৰিবলৈ তুমি $m \angle 1$ৰ এটা কোণেৰে ঘূৰিব লাগিব। $C$ লৈ উপস্থিত হ’লে, $\overline{CD}$ বৰাবৰ গতি কৰিবলৈ তুমি $m \angle 2$ৰ এটা কোণেৰে ঘূৰিব লাগিব। তুমি এই ধৰণেৰে গতি কৰি থাকা, যেতিয়ালৈকে তুমি AB বাহুলৈ উভতি নাহা। তুমি প্রকৃততে এটা সম্পূর্ণ ঘূৰণ কৰিলা।

চিত্ৰ ৩.২

গতিকে, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$।

বহুভুজটোৰ বাহুৰ সংখ্যা যি নহওক এইটো সত্য।

গতিকে, যিকোনো বহুভুজৰ বহিঃস্থ কোণবোৰৰ মাপৰ সমষ্টি হ’ল $360^{\circ}$।

উদাহৰণ ১ : চিত্ৰ ৩.৩ত $x$ৰ মাপ নির্ণয় কৰা।

সমাধান:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( কিয়?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

ইয়াক চেষ্টা কৰা

এটা সুষম ষড়ভুজ চিত্ৰ ৩.৪ লোৱা।

১. ইয়াৰ বহিঃস্থ কোণবোৰৰ মাপৰ সমষ্টি কিমান $x, y, z, p, q, r$ ?

২. $x=y=z=p=q=r$ নেকি? কিয়?

৩. প্ৰতিটোৰ মাপ কিমান?

(i) বহিঃস্থ কোণ

(ii) অন্তঃস্থ কোণ

৪. তলৰ ক্ষেত্ৰবোৰৰ বাবে এই কাৰ্য্যকলাপ পুনৰাবৃত্তি কৰা

(i) এটা সুষম অষ্টভুজ

(ii) এটা সুষম ২০-ভুজ

চিত্ৰ ৩.৪

উদাহৰণ ২ : এটা সুষম বহুভুজৰ বাহুৰ সংখ্যা নির্ণয় কৰা যাৰ প্ৰতিটো বহিঃস্থ কোণৰ মাপ $45^{\circ}$।

সমাধান সকলো বহিঃস্থ কোণৰ মুঠ মাপ $=360^{\circ}$

প্ৰতিটো বহিঃস্থ কোণৰ মাপ $=45^{\circ}$

গতিকে, বহিঃস্থ কোণৰ সংখ্যা $=\frac{360}{45}=8$

বহুভুজটোৰ ৮টা বাহু আছে।

অনুশীলনী ৩.২

১. তলৰ চিত্ৰবোৰত $x$ নির্ণয় কৰা।

(ক)

(খ)

২. সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃস্থ কোণৰ মাপ নির্ণয় কৰা যাৰ (i) ৯টা বাহু (ii) ১৫টা বাহু

৩. সুষম বহুভুজৰ কিমানটা বাহু থাকে যদি এটা বহিঃস্থ কোণৰ মাপ $24^{\circ}$ হয় ?

৪. সুষম বহুভুজৰ কিমানটা বাহু থাকে যদি ইয়াৰ প্ৰতিটো অন্তঃস্থ কোণ $165^{\circ}$ হয় ?

৫. (ক) প্ৰতিটো বহিঃস্থ কোণৰ মাপ $22^{\circ}$ হোৱা সুষম বহুভুজ থাকিব পাৰে নেকি?

(খ) ই সুষম বহুভুজৰ এটা অন্তঃস্থ কোণ হ’ব পাৰে নেকি? কিয়?

৬. (ক) সুষম বহুভুজৰ বাবে সম্ভৱ হ’ব পৰা আটাইতকৈ সৰু অন্তঃস্থ কোণটো কি? কিয়?

(খ) সুষম বহুভুজৰ বাবে সম্ভৱ হ’ব পৰা আটাইতকৈ ডাঙৰ বহিঃস্থ কোণটো কি?

৩.৩ চতুৰ্ভুজৰ প্ৰকাৰ

চতুৰ্ভুজৰ বাহু বা কোণৰ প্ৰকৃতিৰ ওপৰত ভিত্তি কৰি, ই বিশেষ নাম পায়।

৩.৩.১ ট্ৰেপিজিয়াম

ট্ৰেপিজিয়াম হ’ল এটা চতুৰ্ভুজ যাৰ একযোৰ সমান্তৰাল বাহু থাকে।

এইবোৰ ট্ৰেপিজিয়াম $\hspace{20 mm}$ এইবোৰ ট্ৰেপিজিয়াম নহয়

ওপৰৰ চিত্ৰবোৰ অধ্যয়ন কৰা আৰু তোমাৰ বন্ধুবৰ্গৰ সৈতে আলোচনা কৰা কিয় ইয়াৰে কিছুমান ট্ৰেপিজিয়াম আনহাতে কিছুমান নহয়। (টোকা: \to চিহ্নবোৰে সমান্তৰাল ৰেখা সূচায়)।

ইয়াক কৰা

১. $3 cm, 4 cm, 5 cm$ বাহু বিশিষ্ট একে আৰু সৰ্বাংগসম ত্ৰিভুজৰ একে কাট-আউট লোৱা। চিত্ৰ ৩.৫ত দেখুওৱাৰ দৰে সজোৱা।

চিত্ৰ ৩.৫

তুমি এটা ট্ৰেপিজিয়াম পোৱা। (ইয়াক পৰীক্ষা কৰা!) ইয়াত সমান্তৰাল বাহু কোনবোৰ? অসমানান্তৰাল বাহুবোৰ সমান হ’ব লাগে নেকি?

একেটা ত্ৰিভুজৰ সংহতি ব্যৱহাৰ কৰি তুমি আৰু দুটা ট্ৰেপিজিয়াম পাব পাৰা। সেইবোৰ উলিওৱা আৰু সেইবোৰৰ আকৃতিৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা।

২. তোমাৰ আৰু তোমাৰ বন্ধুৰ সঁজুলি বাকচৰ পৰা চাৰিটা ছেট-স্কোৱেৰ লোৱা। বিভিন্ন সংখ্যক ছেট-স্কোৱেৰ পাৰ্শ্বীয়ভাৱে ৰাখিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা আৰু বিভিন্ন ট্ৰেপিজিয়াম পোৱা।

যদি ট্ৰেপিজিয়ামৰ অসমানান্তৰাল বাহুবোৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ হয়, তেন্তে আমি ইয়াক সমদ্বিবাহু ট্ৰেপিজিয়াম বুলি কওঁ। ওপৰত দিয়া তোমাৰ অনুসন্ধানবোৰৰ পৰা তুমি কোনো সমদ্বিবাহু ট্ৰেপিজিয়াম পাইছিলানে?

৩.৩.২ চিলা

চিলা হ’ল চতুৰ্ভুজৰ এক বিশেষ প্ৰকাৰ। প্ৰতিটো চিত্ৰত একে চিহ্ন থকা বাহুবোৰ সমান। উদাহৰণস্বৰূপে $AB=AD$ আৰু $BC=CD$।

এইবোৰ চিলা $\hspace{30 mm}$ এইবোৰ চিলা নহয়

এই চিত্ৰবোৰ অধ্যয়ন কৰা আৰু চিলা বুলিলে কি বুজায় বৰ্ণনা কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা। লক্ষ্য কৰা যে

(i) চিলাৰ ৪টা বাহু থাকে (ই এটা চতুৰ্ভুজ)।

(ii) সমান দৈৰ্ঘ্যৰ বাহুৰ ঠিক দুটা পৃথক ক্ৰমিক যোৰ থাকে।

বৰ্গটো চিলা হয় নেকি পৰীক্ষা কৰা।

ইয়াক কৰা

এখন ডাঠ বগা কাগজ লোৱা।

কাগজখন এবাৰ ভাঁজ কৰা।

চিত্ৰ ৩.৬ত দেখুওৱাৰ দৰে বিভিন্ন দৈৰ্ঘ্যৰ দুটা ৰেখাখণ্ড অংকন কৰা।

ৰেখাখণ্ডবোৰ বৰাবৰ কাটি মেলি দিয়া।

তোমাৰ চিলাৰ আকৃতি পোৱা (চিত্ৰ ৩.৬)।

চিলাটোৰ কোনো ৰেখা সমমিতি আছে নেকি?

চিত্ৰ ৩.৬

চিলাটোৰ দুয়োটা কৰ্ণ ভাঁজ কৰা। সেইবোৰে সমকোণত কাটে নেকি পৰীক্ষা কৰিবলৈ ছেট-স্কোৱেৰ ব্যৱহাৰ কৰা। কৰ্ণবোৰৰ দৈৰ্ঘ্য সমান নেকি?

কৰ্ণবোৰে ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে নেকি যাচাই কৰা (কাগজ ভাঁজ কৰি বা মাপি)।

চিলাৰ এটা কোণ ইয়াৰ বিপৰীত কোণত ভাঁজ কৰি, সমান মাপৰ কোণবোৰৰ বাবে পৰীক্ষা কৰা।

কৰ্ণৰ ভাঁজবোৰ লক্ষ্য কৰা; সেইবোৰে কোনো কৰ্ণক কোণ সমদ্বিখণ্ডক হিচাপে সূচায় নেকি?

আনৰ সৈতে তোমাৰ ফলাফলবোৰ ভাগ বতৰা কৰা আৰু সেইবোৰ তালিকাভুক্ত কৰা। এই ফলাফলবোৰৰ এটা সাৰাংশ অধ্যায়ৰ আন ঠাইত তোমাৰ প্ৰসংগৰ বাবে দিয়া আছে।

দেখুওৱা যে $\triangle ABC$ আৰু $\triangle ADC$ সৰ্বাংগসম। ইয়াৰ পৰা আমি কি অনুমান কৰোঁ?

চিত্ৰ ৩.৭

৩.৩.৩ সামান্তৰিক

সামান্তৰিক হ’ল এটা চতুৰ্ভুজ। নামটোৱে সূচোৱাৰ দৰে, ইয়াৰ সমান্তৰাল ৰেখাৰ সৈতে সম্পৰ্ক আছে।

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

এইবোৰ সামান্তৰিক $\hspace{20 mm}$ এইবোৰ সামান্তৰিক নহয়

এই চিত্ৰবোৰ অধ্যয়ন কৰা আৰু সামান্তৰিক বুলিলে আমি কি বুজো তুমি তোমাৰ নিজৰ শব্দত বৰ্ণনা কৰিবলৈ চেষ্টা কৰা। তোমাৰ বন্ধুবৰ্গৰ সৈতে তোমাৰ পর্যবেক্ষণবোৰ ভাগ বতৰা কৰা।

আয়তটোও সামান্তৰিক হয় নেকি পৰীক্ষা কৰা।

ইয়াক কৰা

বিভিন্ন প্ৰস্থৰ দুটা ভিন্ন আয়তাকাৰ কাৰ্ডবোৰ্ডৰ ফালি লোৱা (চিত্ৰ ৩.৮)।

ফালি ১ $\hspace{40 mm}$ ফালি ২

এটা ফালি আনুভূমিকভাৱে ৰাখা আৰু ইয়াৰ কাষৰ বৰাবৰ চিত্ৰত (চিত্ৰ ৩.৯) অংকন কৰাৰ দৰে ৰেখা অংকন কৰা।

এতিয়া আন ফালিটো অংকন কৰা ৰেখাবোৰৰ ওপৰত হেলনীয়া অৱস্থাত ৰাখা আৰু চিত্ৰ ৩.১০ত দেখুওৱাৰ দৰে আৰু দুটা ৰেখা অংকন কৰিবলৈ ইয়াক ব্যৱহাৰ কৰা।

চিত্ৰ ৩.৯

এই চাৰিডাল ৰেখাই এটা চতুৰ্ভুজক আবদ্ধ কৰে। এইটো সমান্তৰাল ৰেখাৰ দুটা যোৰেৰে গঠিত (চিত্ৰ ৩.১১)।

চিত্ৰ ৩.১০ $\hspace{40 mm}$ চিত্ৰ ৩.১১

ই এটা সামান্তৰিক।

সামান্তৰিক হ’ল এটা চতুৰ্ভুজ যাৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান্তৰাল।

৩.৩.৪ সামান্তৰিকৰ উপাদান

সামান্তৰিকত চাৰিডাল বাহু আৰু চাৰিটা কোণ থাকে। ইয়াৰে কিছুমান সমান। এই উপাদানবোৰৰ সৈতে জড়িত কিছুমান পৰিভাষা আছে যিবোৰ তোমালোকে মনত ৰাখিব লাগিব।

এটা সামান্তৰিক $ABCD$ দিয়া আছে (চিত্ৰ ৩.১২)।

চিত্ৰ ৩.১২

$\overline{AB}$ আৰু $\overline{DC}$, বিপৰীত বাহু। $\overline{AD}$ আৰু $\overline{BC}$য়ে বিপৰীত বাহুৰ আন এটা যোৰ গঠন কৰে।

$\angle A$ আৰু $\angle C$ বিপৰীত কোণৰ এটা যোৰ; বিপৰীত কোণৰ আন এটা যোৰ হ’ব $\angle B$ আৰু $\angle D$।

$\overline{AB}$ আৰু $\overline{BC}$ সংলগ্ন বাহু। এইটোৱে অৰ্থ কৰে, এডাল বাহু আৰম্ভ হয় য’ত আনডাল শেষ হয়। $\overline{BC}$ আৰু $\overline{CD}$ও সংলগ্ন বাহু নেকি? আৰু দুযোৰ সংলগ্ন বাহু বিচাৰিবলৈ চেষ্টা কৰা।

$\angle A$ আৰু $\angle B$ সংলগ্ন কোণ। সেইবোৰ একেটা বাহুৰ শেষত থাকে। $\angle B$ আৰু $\angle C$ও সংলগ্ন। সামান্তৰিকটোৰ সংলগ্ন কোণৰ আন যোৰবোৰ চিনাক্ত কৰা।

ইয়াক কৰা

দুটা একে সামান্তৰিকৰ কাট-আউট লোৱা, যেনে $A B C D$ আৰু $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (চিত্ৰ ৩.১৩)।

ইয়াত $\overline{AB}$ নামটো বাদে $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ৰ দৰে একে। একেদৰে আন অনুরূপ বাহুবোৰও সমান।

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ক $\overline{DC}$ৰ ওপৰত ৰাখা। সেইবোৰে মিলে নেকি? এতিয়া তুমি দৈৰ্ঘ্য $\overline{AB}$ আৰু $\overline{DC}$ৰ বিষয়ে কি ক’ব পাৰা?

একেদৰে দৈৰ্ঘ্য $\overline{AD}$ আৰু $\overline{BC}$ পৰীক্ষা কৰা। তুমি কি বিচাৰি পোৱা?

তুমি $\overline{AB}$ আৰু $\overline{DC}$ মাপিৰ দ্বাৰাও এই ফলাফললৈ আহিব পাৰা।

ধৰ্ম: সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ।

ইয়াক চেষ্টা কৰা

$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ কোণ বিশিষ্ট দুটা একে ছেট-স্কোৱেৰ লোৱা আৰু চিত্ৰ ৩.১৪ত দেখুওৱাৰ দৰে সংলগ্নভাৱে ৰাখি এটা সামান্তৰিক গঠন কৰা। এইটোৱে ওপৰৰ ধৰ্মটো যাচাই কৰাত তোমাক সহায় কৰে নেকি?

তুমি যুক্তিসংগত যুক্তিৰ জৰিয়তেও এই ধাৰণাটো অধিক শক্তিশালী কৰিব পাৰা।

এটা সামান্তৰিক ABCD বিবেচনা কৰা (চিত্ৰ ৩.১৫)। যিকোনো এটা কৰ্ণ অংকন কৰা, যেনে $\overline{AC}$।

চিত্ৰ ৩.১৫

চিত্ৰ ৩.১৪

কোণবোৰলৈ চাই,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ আৰু } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (কিয়?) } $

কাৰণ ত্ৰিভুজ $ABC$ আৰু $ADC, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$ত

আৰু $\overline{AC}$ সাধাৰণ, গতিকে, ASA সৰ্বাংগসমতা অৱস্থাৰ দ্বাৰা,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (ইয়াত ASA কেনেকৈ ব্যৱহাৰ কৰা হ’ল?)

ইয়াই দিয়ে

$ AB=DC \text{ আৰু } BC=AD \text{. } $

উদাহৰণ ৩ : সামান্তৰিক PQRS ৰ পৰিসীমা নির্ণয় কৰা (চিত্ৰ ৩.১৬)।

সমাধান সামান্তৰিকত, বিপৰীত বাহুবোৰৰ একে দৈৰ্ঘ্য থাকে।

গতিকে, $PQ=SR=12 cm$ আৰু $QR=PS=7 cm$

গতিকে, পৰিসীমা $=PQ+QR+RS+SP$

$ =12 cm+7 cm+12 cm+7 cm=38 cm $

৩.৩.৫ সামান্তৰিকৰ কোণ

চিত্ৰ ৩.১৬

আমি সামান্তৰিকৰ (বিপৰীত) বাহু সম্পৰ্কীয় এটা ধৰ্ম অধ্যয়ন কৰিলো। কোণবোৰৰ বিষয়ে আমি কি ক’ব পাৰো?

ইয়াক কৰা

$ABCD$ক এটা সামান্তৰিক হ’বলৈ দিয়া (চিত্ৰ ৩.১৭)। ট্ৰেচিং কাগজ এখনত ইয়াক কপি কৰা। এই কপিটোৰ নাম $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ দিয়া। $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ক $A B C D$ৰ ওপৰত ৰাখা। কৰ্ণবোৰ লগ হোৱা বিন্দুত সেইবোৰ পিন কৰা। স্বচ্ছ কাগজখন $180^{\circ}$ৰে ঘূৰোৱা। সামান্তৰিকবোৰ এতিয়াও মিলে; কিন্তু তুমি এতিয়া $A^{\prime}$ক ঠিক $C$ৰ ওপৰত আৰু ইয়াৰ বিপৰীতে পোৱা; একেদৰে $B^{\prime}$ $D$ৰ ওপৰত থাকে আৰু ইয়াৰ বিপৰীতে।

চিত্ৰ ৩.১৭

এইটোৱে A আৰু C কোণবোৰৰ মাপৰ বিষয়ে তোমাক কিবা কয় নেকি? B আৰু D কোণবোৰৰ বাবে একেটা পৰীক্ষা কৰা। তোমাৰ ফলাফলবোৰ উল্লেখ কৰা।

ধৰ্ম: সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান মাপৰ।

ইয়াক চেষ্টা কৰা

দুটা একে $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ছেট-স্কোৱেৰ লোৱা আৰু আগৰ দৰে এটা সামান্তৰিক গঠন কৰা। পোৱা চিত্ৰটোৱে ওপৰৰ ধৰ্মটো নিশ্চিত কৰাত তোমাক সহায় কৰে নেকি?

তুমি যুক্তিসংগত যুক্তিৰ জৰিয়তেও এই ধাৰণাটো অধিক ন্যায্যতা দিব পাৰা।

যদি $\overline{AC}$ আৰু $\overline{BD}$ সামান্তৰিকটোৰ কৰ্ণ, (চিত্ৰ ৩.১৮) তুমি বিচাৰি পোৱা যে

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ আৰু } \quad \angle 3=\angle 4 \quad \text{ (কিয়?) } $

চিত্ৰ ৩.১৮

$\triangle ABC$ আৰু $\triangle ADC$ (চিত্ৰ ৩.১৯) পৃথকভাৱে অধ্যয়ন কৰিলে, তোমাক এইটো বুজাবলৈ সহায় কৰিব যে ASA সৰ্বাংগসমতা অৱস্থাৰ দ্বাৰা,

$ \Delta ABC \cong \Delta CDA(\text{ কেনেকৈ?) } $

চিত্ৰ ৩.১৯

এইটোৱে দেখুৱায় যে $\angle B$ আৰু $\angle D$ৰ একে মাপ আছে। একেদৰে তুমি $m \angle A=m \angle C$ পাব পাৰা।

ইয়াৰ বিপৰীতে, $\angle 1=\angle 2$ আৰু $\angle 3=\angle 4$, আমি পাইছো, $m \angle A=\angle 1+\angle 4=\angle 2+\angle C m \angle C$

উদাহৰণ ৪ : চিত্ৰ ৩.২০ত, BEST এটা সামান্তৰিক। $x, y$ আৰু $z$ৰ মানবোৰ নির্ণয় কৰা।

সমাধান $S$ $B$ৰ বিপৰীত।

গতিকে,

$ \begin{aligned} & x=100^{\circ}(\text{ বিপৰীত কোণ ধৰ্ম) } \\ & y=100^{\circ} \quad(\text{ } \angle x \text{ ৰ অনুরূপ কোণৰ মাপ) } \\ & z=80^{\circ} \quad(\text{ কাৰণ } \angle y, \angle z \text{ এটা ৰৈখিক যোৰ) } \end{aligned} $

এতিয়া আমি সামান্তৰিকৰ সংলগ্ন কোণবোৰলৈ আমাৰ মনোযোগ দিওঁ। সামান্তৰিক $ABCD$ত, (চিত্ৰ ৩.২১)।

$\angle A$ আৰু $\angle D$ সম্পূৰক কাৰণ $\overline{DC} | \overline{AB}$ আৰু ছেদক $\overline{DA}$ৰ সৈতে, এই দুটা কোণ অন্তঃস্থ বিপৰীত।

$\angle A$ আৰু $\angle B$ও সম্পূৰক। তুমি ‘কিয়’ ক’ব পাৰা নেকি?

চিত্ৰ ৩.২১

$\overline{AD} | \overline{BC}$ আৰু $\overline{BA}$ এটা ছেদক, $\angle A$ আৰু $\angle B$ক অন্তঃস্থ বিপৰীত কৰি তোলে।

চিত্ৰৰ পৰা সম্পূৰক কোণৰ আৰু দুযোৰ চিনাক্ত কৰা।

ধৰ্ম: সামান্তৰিকৰ সংলগ্ন কোণবোৰ সম্পূৰক।

উদাহৰণ ৫ : সামান্তৰিক RING ত, (চিত্ৰ ৩.২২) যদি $m \angle R=70^{\circ}$ হয়, আন সকলো কোণ নির্ণয় কৰা।

সমাধান দিয়া আছে $m \angle R=70^{\circ}$

তেতিয়া

$ m \angle N=70^{\circ} $

কাৰণ $\angle R$ আৰু $\angle N$ সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণ।

কাৰণ $\angle R$ আৰু $\angle I$ সম্পূৰক,

$ m \angle I=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $

চিত্ৰ ৩.২২

আৰু, $m \angle G=110^{\circ}$ কাৰণ $\angle G$ $\angle I$ৰ বিপৰীত

গতিকে, $m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ আৰু $m \angle I=m \angle G=110^{\circ}$

চিন্তা কৰা, আলোচনা কৰা আৰু লিখা

$m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ দেখুওৱাৰ পিছত, তুমি $m \angle I$ আৰু $m \angle G$ আন কোনো পদ্ধতিৰে বিচাৰি পাব পাৰা নেকি?

৩.৩.৬ সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ

সাধাৰণতে, সামান্তৰিকৰ কৰ্ণবোৰ সমান দৈৰ্ঘ্যৰ নহয়। (তুমি ইয়াক তোমাৰ আগৰ কাৰ্য্যকলাপত পৰীক্ষা কৰিছিলানে?) অৱশ্যে, সামান্তৰিকৰ কৰ্ণবোৰৰ এটা আকৰ্ষণীয় ধৰ্ম আছে।

ইয়াক কৰা

সামান্তৰিকৰ এটা কাট-আউট লোৱা, যেনে, $ABCD$ (চিত্ৰ ৩.২৩)। ইয়াৰ কৰ্ণ $\overline{AC}$ আৰু $\overline{DB}$ক $O$ত লগ হ’বলৈ দিয়া। চিত্ৰ $\mathbf{3 . 2 3}$

$\overline{AC}$ৰ মধ্যবিন্দু ভাঁজ কৰি উলিওৱা, $C$ক $A$ৰ ওপৰত ৰাখি। মধ্যবিন্দুটো $O$ৰ দৰে একে নেকি?

এইটোৱে দেখুৱায় নেকি যে কৰ্ণ $\overline{DB}$য়ে কৰ্ণ $\overline{AC}$ক $O$ বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে? তোমাৰ বন্ধুবৰ্গৰ সৈতে ইয়াৰ বিষয়ে আলোচনা কৰা। $\overline{DB}$ৰ মধ্যবিন্দু ক’ত থাকিব পাৰে বিচাৰিবলৈ কাৰ্য্যকলাপটো পুনৰাবৃত্তি কৰা।

ধৰ্ম: সামান্তৰিকৰ কৰ্ণবোৰে ইটোৱে সিটোক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে (অবশ্যে, সেইবোৰৰ ছেদ বিন্দুত!)

এই ধৰ্মটো যুক্তি দি ন্যায্যতা প্ৰদান কৰাটো বৰ কঠিন নহয়। চিত্ৰ ৩.২৪ৰ পৰা, ASA নিকষ প্ৰয়োগ কৰি, ই