3.1 परिचय

आप जानते हैं कि कागज एक समतल सतह का मॉडल है। जब आप कागज से पेंसिल उठाए बिना कई बिंदुओं को मिलाते हैं (और चित्र के किसी भी हिस्से को एकल बिंदुओं के अलावा दोबारा नहीं खींचते), तो आपको एक समतल वक्र मिलता है।

3.1.1 उत्तल और अवतल बहुभुज

केवल रेखा खंडों से बना एक सरल बंद वक्र बहुभुज कहलाता है।

वक्र जो बहुभुज हैं $\hspace{30 mm}$ वक्र जो बहुभुज नहीं हैं

यहाँ कुछ उत्तल बहुभुज और कुछ अवतल बहुभुज हैं। (चित्र 3.1)

उत्तल बहुभुज $\hspace{40 mm}$ अवतल बहुभुज

क्या आप बता सकते हैं कि ये दोनों प्रकार के बहुभुज एक-दूसरे से कैसे भिन्न हैं? उत्तल बहुभुजों के किसी विकर्ण का कोई भाग उनके बाहर नहीं होता और किन्हीं भी दो भिन्न बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, जो बहुभुज के अंदर है, पूरी तरह उसके अंदर ही रहता है। क्या यह बात अवतल बहुभुजों के साथ भी सच है? दी गई आकृतियों का अध्ययन कीजिए। फिर अपने शब्दों में बताने की कोशिश कीजिए कि हम उत्तल बहुभुज से क्या तात्पर्य लेते हैं और अवतल बहुभुज से क्या तात्पर्य लेते हैं। प्रत्येक प्रकार की दो-दो रफ स्केच दीजिए।

इस कक्षा में हमारे काम के दौरान हम केवल उत्तल बहुभुजों से संबंधित रहेंगे।

3.1.2 नियमित और अनियमित बहुभुज

एक नियमित बहुभुज ‘समकोणीय’ भी होता है और ‘समभुज’ भी। उदाहरण के लिए, एक वर्ग की सभी भुजाएं बराबर लंबाई की होती हैं और सभी कोण बराबर माप के होते हैं। इसलिए यह एक नियमित बहुभुज है। एक आयत समकोणीय होता है लेकिन समभुज नहीं। क्या एक आयत नियमित बहुभुज है? क्या एक समबाहु त्रिभुज नियमित बहुभुज है? क्यों?

नियमित बहुभुज $\hspace{40 mm}$ बहुभुज जो नियमित नहीं हैं

[नोट: $\wedge \neq$ या $\not$ का उपयोग समान लंबाई वाले खंडों को दर्शाता है]।

क्या पिछली कक्षाओं में आप किसी ऐसे चतुर्भुज से मिले हैं जो समभुज है लेकिन समकोणीय नहीं? पिछली कक्षाओं में देखे गए चतुर्भुज आकृतियों को याद कीजिए—आयत, वर्ग, समचतुर्भुज आदि।

क्या कोई त्रिभुज ऐसा है जो समभुज है लेकिन समकोणीय नहीं?

अभ्यास 3.1

1. यहाँ कुछ आकृतियाँ दी गई हैं।

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

इनमें से प्रत्येक को निम्नलिखित के आधार पर वर्गीकृत करें।

(a) सरल वक्र $\quad$ (b) सरल बंद वक्र $\quad$ (c) बहुभुज

(d) उत्तल बहुभुज $\quad$ (e) अवतल बहुभुज

2. नियमित बहुभुज क्या होता है?

निम्नलिखित भुजाओं वाले नियमित बहुभुज का नाम बताइए

(i) 3 भुजाएँ $\quad$ (ii) 4 भुजाएँ $\quad$ (iii) 6 भुजाएँ

3.2 बहुभुज के बाह्य कोणों के मापों का योग

कई अवसरों पर बाह्य कोणों का ज्ञान आंतरिक कोणों और भुजाओं की प्रकृति को समझने में सहायक होता है।

इसे कीजिए

फर्श पर चाक की एक टुकड़ी का प्रयोग कर एक बहुभुज बनाइए। (चित्र में, एक पंचभुज $ABCDE$ दिखाया गया है) (चित्र 3.2)।

हम जानना चाहते हैं कि कोणों की कुल माप क्या है, अर्थात् $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$। A से प्रारंभ कीजिए। $\overline{AB}$ के साथ चलिए। B पर पहुँचने पर, आपको $\overline{BC}$ के साथ चलने के लिए $m \angle 1$ के कोण से मुड़ना होगा। जब आप $C$ पर पहुँचते हैं, तो $\overline{CD}$ के साथ चलने के लिए आपको $m \angle 2$ के कोण से मुड़ना होता है। आप इसी प्रकार चलते रहिए, जब तक आप भुजा AB पर वापस न आ जाएँ। आपने वास्तव में एक पूर्ण चक्कर लगा लिया होगा।

चित्र 3.2

इसलिए, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$।

यह सत्य है चाहे बहुभुज में कितनी भी भुजाएँ हों।

इसलिए, किसी भी बहुभुज के बाह्य कोणों के मापों का योग $360^{\circ}$ होता है।

उदाहरण 1 : आकृति 3.3 में माप (x) ज्ञात कीजिए।

हल:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad(क्यों?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

इन्हें आजमाइए

एक नियमित षट्भुज आकृति 3.4 लीजिए।

1. इसके बाह्य कोणों (x, y, z, p, q, r) के मापों का योग क्या है?

2. क्या (x=y=z=p=q=r) है? क्यों?

3. प्रत्येक की माप क्या है?

(i) बाह्य कोण

(ii) आंतरिक कोण

4. इस गतिविधि को निम्नलिखित मामलों के लिए दोहराइए

(i) एक नियमित अष्टभुज

(ii) एक नियमित 20-भुज

आकृति 3.4

उदाहरण 2 : एक नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिसके प्रत्येक बाह्य कोण की माप (45^{\circ}) है।

हल सभी बाह्य कोणों की कुल माप (=360^{\circ})

प्रत्येक बाह्य कोण की माप (=45^{\circ})

इसलिए, बाह्य कोणों की संख्या (=\frac{360}{45}=8)

बहुभुज में 8 भुजाएँ हैं।

अभ्यास 3.2

1. निम्नलिखित आकृतियों में (x) ज्ञात कीजिए।

(ए)

(ब)

2. एक नियमित बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप ज्ञात कीजिए
(i) 9 भुजाएँ
(ii) 15 भुजाएँ

3. यदि एक नियमित बहुभुज के बाह्य कोण का माप $24^{\circ}$ है, तो उसमें कितनी भुजाएँ हैं?

4. यदि एक नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप $165^{\circ}$ है, तो उसमें कितनी भुजाएँ हैं?

5. (क) क्या कोई नियमित बहुभुज संभव है जिसके प्रत्येक बाह्य कोण का माप $22^{\circ}$ हो?

(ख) क्या यह किसी नियमित बहुभुज का आंतरिक कोण हो सकता है? क्यों?

6. (क) किसी नियमित बहुभुज के लिए न्यूनतम आंतरिक कोण क्या हो सकता है? क्यों?

(ख) किसी नियमित बहुभुज के लिए अधिकतम बाह्य कोण क्या हो सकता है?

3.3 चतुर्भुजों के प्रकार

चतुर्भुज की भुजाओं या कोणों की प्रकृति के आधार पर, इसे विशेष नाम मिलते हैं।

3.3.1 समलंब चतुर्भुज

समलंब चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी एक युग्म समानांतर भुजाएँ होती हैं।

ये समलंब हैं $\hspace{20 mm}$ ये समलंब नहीं हैं

उपरोक्त आकृतियों का अध्ययन करें और अपने मित्रों से चर्चा करें कि इनमें से कुछ समलंब क्यों हैं जबकि कुछ नहीं हैं। (नोट: \to चिह्न समानांतर रेखाओं को दर्शाते हैं)।

यह कीजिए

1. $3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी$ भुजाओं वाले सर्वांगसम त्रिभुजों की समान कटआउट लें। इन्हें दिखाए अनुसार व्यवस्थित करें (आकृति 3.5)।

आकृति 3.5

आपको एक समलंब मिलता है। (जांच लीजिए!) यहाँ कौन-सी भुजाएँ समानांतर हैं? क्या असमानांतर भुजाओं के बराबर होने की आवश्यकता है?

आप इन्हीं त्रिभुजों का उपयोग करके दो और समलंब प्राप्त कर सकते हैं। उन्हें खोजें और उनके आकारों पर चर्चा करें।

2. अपने और अपने मित्र के उपकरण-पेटिकाओं से चार से-स्क्वायर लें। इनमें से भिन्न संख्या में स्क्वायरों को पास-पास रखकर भिन्न-भिन्न समलंब प्राप्त करें।

यदि किसी समलंब की असमानांतर भुजाएँ समान लंबाई की हों, तो हम उसे समद्विबाहु समलंब कहते हैं। क्या आपको उपरोक्त किसी भी प्रयोग में समद्विबाहु समलंब मिला?

3.3.2 पतंग

पतंग चतुर्भुज का एक विशेष प्रकार है। प्रत्येक आकृति में समान चिह्नित भुजाएँ समान होती हैं। उदाहरण के लिए (AB=AD) और (BC=CD).

ये पतंग हैं (\hspace{30 mm}) ये पतंग नहीं हैं

इन आकृतियों का अध्ययन करें और यह वर्णन करने का प्रयास करें कि पतंग क्या है। ध्यान दीजिए कि

(i) पतंग में 4 भुजाएँ होती हैं (यह एक चतुर्भुज है)।

(ii) इसमें ठीक-ठीक दो अलग-अलग क्रमागत समान लंबाई की भुजाओं के युग्म होते हैं।

जाँचिए कि क्या वर्ग एक पतंग है।

करो

एक मोटी सफेद शीट लो।

कागज़ को एक बार मोड़ो।

चित्र 3.6 के अनुसार दो भिन्न लंबाई की रेखाखंड खींचो।

रेखाखंडों के साथ काटो और खोल दो।

आपके पास पतंग का आकार है (चित्र 3.6)।

क्या पतंग में कोई रेखीय सममिति है?

चित्र 3.6

पतंग के दोनों विकर्णों को मोड़ो। सेट-स्क्वायर का उपयोग करके जाँचो कि क्या वे समकोण पर काटते हैं। क्या विकर्ण लंबाई में समान हैं?

सत्यापित करो (कागज मोड़कर या मापकर) कि क्या विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

पतंग के एक कोण को उसके विपरीत कोण पर मोड़कर, समान माप के कोणों की जाँच करो।

विकर्ण मोड़ों को देखो; क्या वे किसी विकर्ण को कोण समद्विभाजक बताते हैं?

अपने निष्कर्षों को दूसरों के साथ साझा करो और उन्हें सूचीबद्ध करो। इन परिणामों का सारांश इस अध्याय में कहीं और आपके संदर्भ के लिए दिया गया है।

दिखाओ कि (\triangle ABC) और (\triangle ADC) सर्वांगसम हैं। हम इससे क्या निष्कर्ष निकालते हैं?

चित्र 3.7

3.3.3 समांतर चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है। जैसा कि नाम से स्पष्ट है, इसका संबंध समांतर रेखाओं से होता है।

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

ये समांतर चतुर्भुज हैं $\hspace{20 mm}$ ये समांतर चतुर्भुज नहीं हैं

इन आकृतियों का अध्ययन करें और अपने शब्दों में वर्णन करने का प्रयास करें कि हम समांतर चतुर्भुज से क्या अभिप्राय रखते हैं। अपनी प्रेक्षणों को अपने मित्रों से साझा करें।

जाँचें कि क्या एक आयत भी समांतर चतुर्भुज होता है।

इसे करें

दो भिन्न चौड़ाई वाली आयताकार कार्डबोर्ड पट्टियाँ लें (चित्र 3.8)।

पट्टी 1 $\hspace{40 mm}$ पट्टी 2

एक पट्टी को क्षैतिज रखें और चित्र में दिखाए अनुसार उसकी किनारे के साथ रेखाएँ खींचें (चित्र 3.9)।

अब दूसरी पट्टी को तिरछी स्थिति में खींची गई रेखाओं के ऊपर रखें और इसका उपयोग करके दो और रेखाएँ खींचें जैसा दिखाया गया है (चित्र 3.10)।

चित्र 3.9

ये चार रेखाएँ एक चतुर्भुज को घेरती हैं। यह दो युग्मों में समानांतर रेखाओं से बना है (चित्र 3.11)।

चित्र 3.10 $\hspace{40 mm}$ चित्र 3.11

यह एक समांतर चतुर्भुज है।

समांतर चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।

3.3.4 समांतर चतुर्भुज के तत्व

एक समांतर चतुर्भुज में चार भुजाएँ और चार कोण होते हैं। इनमें से कुछ बराबर होते हैं। इन तत्वों से जुड़े कुछ पद ऐसे हैं जिन्हें आपको याद रखना होगा।

एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया गया है (चित्र 3.12)।

चित्र 3.12

$\overline{AB}$ और $\overline{DC}$ विपरीत भुजाएँ हैं। $\overline{AD}$ और $\overline{BC}$ एक अन्य विपरीत भुजाओं की जोड़ी बनाते हैं।

$\angle A$ और $\angle C$ विपरीत कोणों की एक जोड़ी हैं; एक अन्य विपरीत कोणों की जोड़ी $\angle B$ और $\angle D$ होंगे।

$\overline{AB}$ और $\overline{BC}$ संलग्न भुजाएँ हैं। इसका अर्थ है, एक भुजा वहीं से शुरू होती है जहाँ दूसरी समाप्त होती है। क्या $\overline{BC}$ और $\overline{CD}$ भी संलग्न भुजाएँ हैं? दो और संलग्न भुजाओं की जोड़ियाँ खोजने का प्रयास करें।

$\angle A$ और $\angle B$ संलग्न कोण हैं। वे एक ही भुजा के सिरों पर हैं। $\angle B$ और $\angle C$ भी संलग्न हैं। समांतर चतुर्भुज के अन्य संलग्न कोणों की जोड़ियों की पहचान करें।

इसे करें

दो समान समांतर चतुर्भुजों, मान लीजिए $A B C D$ और $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (चित्र 3.13) के कटआउट लें।

यहाँ $\overline{AB}$ नाम के अलावा $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ के समान है। इसी प्रकार अन्य संगत भुजाएँ भी समान हैं।

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ को $\overline{DC}$ के ऊपर रखें। क्या वे मेल खाते हैं? अब आप $\overline{AB}$ और $\overline{DC}$ की लंबाइयों के बारे में क्या कह सकते हैं?

इसी प्रकार $\overline{AD}$ और $\overline{BC}$ की लंबाइयों की जाँच करें। आपको क्या मिलता है?

आप इस परिणाम पर $\overline{AB}$ और $\overline{DC}$ को माप कर भी पहुँच सकते हैं।

गुण: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

इन्हें आज़माएँ

$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ कोणों वाले दो समान सेमी-सर्किल स्क्वेयर लीजिए और उन्हें आसन्न रूप से इस प्रकार रखें जैसा कि चित्र 3.14 में दिखाया गया है ताकि एक समांतर चतुर्भुज बने। क्या यह आपको उपरोक्त गुण को सत्यापित करने में मदद करता है?

आप इस विचार को एक तार्किक तर्क के माध्यम से भी और मजबूत कर सकते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज ABCD पर विचार करें (चित्र 3.15)। इसमें कोई एक विकर्ण खींचिए, मान लीजिए $\overline{AC}$।

चित्र 3.15

चित्र 3.14

कोणों को देखते हुए,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ और } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (क्यों?) } $

चूँकि त्रिभुजों $ABC$ और $ADC$ में, $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$

और $\overline{AC}$ उभयनिष्ठ है, इसलिए, ASA सर्वांगसमता की शर्त से,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (ASA यहाँ कैसे प्रयुक्त हुआ है?)

इससे प्राप्त होता है

$ AB=DC \text{ और } BC=AD \text{।} $

उदाहरण 3 : समांतर चतुर्भुज PQRS की परिधि ज्ञात कीजिए (चित्र 3.16)।

हल समांतर चतुर्भुज में, विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होती है।

इसलिए, $PQ=SR=12 cm$ और $QR=PS=7 cm$

इसलिए, परिधि $=PQ+QR+RS+SP$

$ =12 cm+7 cm+12 cm+7 cm=38 cm $

3.3.5 समांतर चतुर्भुज के कोण

चित्र 3.16

हमने समांतर चतुर्भुजों के संबंध में (विपरीत) भुजाओं की एक संपत्ति का अध्ययन किया। हम कोणों के बारे में क्या कह सकते हैं?

यह कीजिए

मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है (चित्र 3.17)। इसे ट्रेसिंग शीट पर नकल करें। इस नकल का नाम $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ रखें। $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ को $A B C D$ पर रखें। उन्हें उस बिंदु पर साथ में पिन करें जहाँ विकर्ण मिलते हैं। पारदर्शी शीट को $180^{\circ}$ घुमाएं। समांतर चतुर्भुज अभी भी मेल खाते हैं; लेकिन अब आप पाते हैं कि $A^{\prime}$ ठीक $C$ पर स्थित है और इसके विपरीत; इसी प्रकार $B^{\prime}$ स्थित है $D$ पर और इसके विपरीत।

चित्र 3.17

क्या यह आपको कोण A और C के माप के बारे में कुछ बताता है? कोण B और D के लिए भी इसी प्रकार जाँचिए। अपने निष्कर्ष बताइए।

गुण: समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान माप के होते हैं।

इन्हें आज़माइए

दो समान 30°-60°-90° सेट-स्क्वेयर लीजिए और पहले की तरह एक समांतर चतुर्भुज बनाइए। क्या प्राप्त आकृति ऊपर दिए गुण की पुष्टि करने में आपकी सहायता करती है?

आप इस विचार को तार्किक तर्कों से और भी सही ठहरा सकते हैं।

यदि (\overline{AC}) और (\overline{BD}) समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हों (चित्र 3.18), तो आप पाते हैं कि

[ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ और } \quad \angle 3=\angle 4 \quad \text{ (क्यों?) } ]

चित्र 3.18

(\triangle ABC) और (\triangle ADC) (चित्र 3.19) को पृथक-पृथक अध्ययन करने से आप यह देख पाएँगे कि ASA सर्वांगसमता की शर्त से,

[ \Delta ABC \cong \Delta CDA(\text{ कैसे?) } ]

आकृति 3.19

इससे दिखता है कि $\angle B$ और $\angle D$ की माप समान है। इसी प्रकार आप $m \angle A=m \angle C$ प्राप्त कर सकते हैं।

वैकल्पिक रूप से, $\angle 1=\angle 2$ और $\angle 3=\angle 4$, हमें मिलता है, $m \angle A=\angle 1+\angle 4=\angle 2+\angle C m \angle C$

उदाहरण 4 : आकृति 3.20 में, BEST एक समांतर चतुर्भुज है। $x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल $S$, $B$ के सम्मुख है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} & x=100^{\circ}(\text{ सम्मुख कोणों का गुणधर्म) } \\ & y=100^{\circ} \quad(\angle x\text{ के संगत कोण की माप) } \\ & z=80^{\circ} \quad(\text{ चूँकि } \angle y, \angle z \text{ एक रेखीय युग्म हैं) } \end{aligned} $

अब हम समांतर चतुर्भुज के संलग्न कोणों पर ध्यान देते हैं। समांतर चतुर्भुज $ABCD$ में, (आकृति 3.21)।

$\angle A$ और $\angle D$ संपूरक हैं चूँकि $\overline{DC} | \overline{AB}$ और तिर्यक रेखा $\overline{DA}$ के साथ, ये दोनों कोण आंतरिक सम्मुख हैं।

$\angle A$ और $\angle B$ भी संपूरक हैं। क्या आप बता सकते हैं ‘क्यों’?

आकृति 3.21

$\overline{AD} | \overline{BC}$ और $\overline{BA}$ एक ट्रांसवर्सल है, जिससे $\angle A$ और $\angle B$ आंतरिक विपरीत कोण बनते हैं।

आकृति से दो और युग्म संपूरक कोणों की पहचान कीजिए।

गुण: समांतर चतुर्भुज में संलग्न कोण संपूरक होते हैं।

उदाहरण 5 : एक समांतर चतुर्भुज RING में, (आकृति 3.22) यदि $m \angle R=70^{\circ}$ है, तो अन्य सभी कोण ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया है $m \angle R=70^{\circ}$

तब

$ m \angle N=70^{\circ} $

क्योंकि $\angle R$ और $\angle N$ समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण हैं।

चूँकि $\angle R$ और $\angle I$ संपूरक हैं,

$ m \angle I=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $

आकृति 3.22

इसके अतिरिक्त, $m \angle G=110^{\circ}$ क्योंकि $\angle G$, $\angle I$ का विपरीत कोण है

इस प्रकार, $m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ और $m \angle I=m \angle G=110^{\circ}$ है

सोचिए, चर्चा कीजिए और लिखिए

$m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ दिखाने के बाद, क्या आप किसी अन्य विधि से $m \angle I$ और $m \angle G$ ज्ञात कर सकते हैं?

3.3.6 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण, सामान्यतः, बराबर लंबाई के नहीं होते हैं। (क्या आपने इसे अपनी पिछली गतिविधि में जाँचा था?) हालाँकि, समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का एक रोचक गुण होता है।

इसे कीजिए

एक समांतर चतुर्भुज, मान लीजिए, $ABCD$ (चित्र 3.23) का कटआउट लीजिए। इसके विकर्ण $\overline{AC}$ और $\overline{DB}$ मिलते हैं $O$ पर। चित्र $\mathbf{3 . 2 3}$

$\overline{AC}$ का मध्य-बिंदु मोड़कर निकालिए, $C$ को $A$ पर रखते हुए। क्या मध्य-बिंदु $O$ के समान है?

क्या यह दिखाता है कि विकर्ण $\overline{DB}$ विकर्ण $\overline{AC}$ को बिंदु $O$ पर समद्विभाजित करता है? इसे अपने दोस्तों से चर्चा कीजिए। यह गतिविधि दोहराइए ताकि पता चले कि $\overline{DB}$ का मध्य-बिंदु कहाँ हो सकता है।

गुण: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (निश्चित ही, उनके प्रतिच्छेद बिंदु पर!)

इस गुण को तर्क देकर और औचित्य देना बहुत कठिन नहीं है। चित्र 3.24 से, ASA मानदंड लगाकर, यह स्पष्ट हो जाता है कि

$\triangle AOB \cong \triangle COD$ (यहाँ ASA कैसे प्रयुक्त हुआ?)

चित्र 3.24

इससे मिलता है $\quad AO=CO$ और $BO=DO$

उदाहरण 6 : चित्र 3.25 में HELP एक समांतर चतुर्भुज है। (लंबाइयाँ सेंटीमीटर में हैं)। दिया गया है कि $OE=4$ और $HL$, PE से 5 अधिक है? $OH$ ज्ञात कीजिए।

हल : यदि $OE=4$ तो $OP$ भी 4 है (क्यों?)

इसलिए

$PE=8$,

इसलिए

$HL=8+5=13$

इसलिए

$ OH=\frac{1}{2} \times 13=6.5(cms) $

(क्यों?)

चित्र 3.25

अभ्यास 3.3

1. एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया गया है। प्रत्येक कथन को परिभाषा या गुणधर्म के साथ पूरा कीजिए। (i) $AD=$ (ii) $\angle DCB=$ (iii) $OC=$ (iv) $m \angle DAB+m \angle CDA=$

2. निम्नलिखित समांतर चतुर्भुजों पर विचार कीजिए। अज्ञातों $x, y, z$ के मान ज्ञात कीजिए।

(i) (ii)

(iii)

(iv)

(v)

3. क्या एक चतुर्भुज (ABCD) समांतर चतुर्भुज हो सकता है यदि (i) (\angle D+\angle B=180^{\circ}) ? (ii) (AB=DC=8 cm, AD=4 cm) और (BC=4.4 cm) ? (iii) (\angle A=70^{\circ}) और (\angle C=65^{\circ}) ?

4. एक चतुर्भुज का एक असंयुक्त आकृति बनाइए जो समांतर चतुर्भुज न हो लेकिन जिसके ठीक दो विपरीत कोण बराबर माप के हों।

5. एक समांतर चतुर्भुज के दो संलग्न कोणों की मापें (3: 2) के अनुपात में हैं। समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।

6. एक समांतर चतुर्भुज के दो संलग्न कोणों की मापें बराबर हैं। समांतर चतुर्भुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।

7. आकृति में दिखाया गया HOPE एक समांतर चतुर्भुज है। कोणों x, y और z के माप ज्ञात कीजिए। उन गुणधर्मों का उल्लेख कीजिए जिनका आपने उपयोग किया है।

8. नीचे दी गई आकृतियाँ GUNS और RUNS समांतर चतुर्भुज हैं। x और y ज्ञात कीजिए। (लंबाई cm में है)

(i)

(ii)

9.

उपरोक्त आकृति में RISK और CLUE दोनों समांतर चतुर्भुज हैं। x का मान ज्ञात कीजिए।

10. समझाइए कि यह आकृति एक समलंब कैसे है। इसकी कौन-सी दो भुजाएँ समांतर हैं? (चित्र 3.26)

आकृति 3.26

आकृति 3.27

11. आकृति 3.27 में $m \angle C$ ज्ञात कीजिए यदि $\overline{AB} | \overline{DC}$.

12. आकृति 3.28 में $\angle P$ और $\angle S$ का मान ज्ञात कीजिए यदि $\overline{SP} | \overline{RQ}$. (यदि आप $m \angle R$ ज्ञात कर लेते हैं, तो क्या $m \angle P$ ज्ञात करने के एक से अधिक तरीके हैं?)

3.4 कुछ विशेष समांतर चतुर्भुज

3.4.1 समचतुर्भुज

हम एक समचतुर्भुज (जो, आप देखेंगे, एक समांतर चतुर्भुज है) को पतंग (जो समांतर चतुर्भुज नहीं है) के एक विशेष प्रकार के रूप में प्राप्त करते हैं।

यह कीजिए

पहले बनाई गई कागज़-कट पतंग को याद कीजिए।

पतंग-कट

रोम्बस-कट

जब आपने $ABC$ के साथ काटा और खोला, तो आपको एक पतंग मिली। यहाँ लंबाइयाँ $AB$ और $BC$ भिन्न थीं। यदि आप $AB=BC$ खींचें, तो जो पतंग आप प्राप्त करते हैं उसे रोम्बस कहा जाता है।

ध्यान दें कि रोम्बस की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं; ऐसा पतंग के साथ नहीं होता।

रोम्बस एक चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं।

चूँकि रोम्बस की विपरीत भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, यह एक समांतर चतुर्भुज भी है। इसलिए, रोम्बस में समांतर चतुर्भुज और पतंग दोनों के सभी गुण होते हैं। इन्हें सूचीबद्ध करने का प्रयास करें। फिर आप अपनी सूची पुस्तक में कहीं और दी गई जाँच सूची से सत्यापित कर सकते हैं।

पतंग

रोम्बस

रोम्बस का सबसे उपयोगी गुण इसके विकर्णों का होता है।

गुण: रोम्बस के विकर्ण एक-दूसरे के लंब समद्विभाजक होते हैं।

यह करें

एक समचतुर्भुज की प्रति लें। कागज़ को मोड़कर जाँचें कि क्या प्रतिच्छेदन बिंदु प्रत्येक विकर्ण का मध्य-बिंदु है। आप एक सेट-स्क्वायर के कोने से यह भी जाँच सकते हैं कि क्या वे समकोण पर प्रतिच्छेदित करते हैं।

यहाँ इस गुणधर्म को तार्किक चरणों से सिद्ध करने की रूपरेखा दी गई है।

$ABCD$ एक समचतुर्भुज है (चित्र 3.29)। इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज भी है।

चूँकि विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, $OA=OC$ और $OB=OD$।

हमें दिखाना है कि $m \angle AOD=m \angle COD=90^{\circ}$

यह देखा जा सकता है कि SSS सर्वांगसमता मानदंड से

चित्र 3.29

$ \Delta AOD \cong \Delta COD $

इसलिए,

$ m \angle AOD=m \angle COD $

चूँकि $\angle AOD$ और $\angle COD$ एक रेखीय युग्म हैं,

$ m \angle AOD=m \angle COD=90^{\circ} $

चूँकि $AO=CO$ (क्यों?)

$ AD=CD \quad \text{ (क्यों?) } $

$OD=OD$

उदाहरण 7 :

RICE एक समचतुर्भुज है (चित्र 3.30)। $x, y, z$ ज्ञात कीजिए। अपने परिणामों का औचित्य दीजिए।

हल:

$ \begin{aligned} & x=OE \\ & y=OR \\ & =OI \text{ (विकर्ण समद्विभाजित करते हैं) } \\ & =OC(\text{ विकर्ण समद्विभाजित करते हैं })=13 \text{ (सभी भुजाएँ बराबर हैं) } \\ & =5 \\ & =12 \end{aligned} $

आकृति 3.30

3.4.2 एक आयत

एक आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसके सभी कोण बराबर होते हैं (आकृति 3.31)।

इस परिभाषा का पूरा अर्थ क्या है? अपने मित्रों से चर्चा करें।

यदि आयत समकोणीय होना है, तो प्रत्येक कोण का मान क्या हो सकता है?

आकृति 3.31

मान लीजिए प्रत्येक कोण का मान $x^{\circ}$ है।

तब

$ \begin{aligned} 4 x^{\circ} & =360^{\circ} \quad \text{ (क्यों) } ? \\ x^{\circ} & =90^{\circ} \end{aligned} $

इस प्रकार आयत का प्रत्येक कोण समकोण होता है।

अतः, आयत एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें प्रत्येक कोण समकोण होता है।

एक समांतर चतुर्भुज होने के नाते, आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्ण भिन्न लंबाई के हो सकते हैं। (इसकी जाँच करें); लेकिन आश्चर्यजनक रूप से आयत (एक विशेष स्थिति होने के नाते) के विकर्ण बराबर लंबाई के होते हैं।

गुण: आयत के विकर्ण बराबर लंबाई के होते हैं।

चित्र 3.32

चित्र 3.33

चित्र 3.34