३.१ प्रस्तावना

तुम्हाला माहित आहे की कागद हे समतल पृष्ठभागाचे एक प्रतिरूप आहे. जेव्हा तुम्ही कागदावरून पेन्सिल न उचलता (आणि एकाच बिंदूशिवाय कोणताही भाग पुन्हा मागे न ओढता) अनेक बिंदूंना जोडता, तेव्हा तुम्हाला एक समतल वक्र मिळते.

३.१.१ बहिर्गोल आणि अंतर्गोल बहुभुज

केवळ रेषाखंडांनी बनलेल्या एका सोप्या बंद वक्रास बहुभुज म्हणतात.

बहुभुज असलेली वक्रे $\hspace{30 mm}$ बहुभुज नसलेली वक्रे

येथे काही बहिर्गोल बहुभुज आणि काही अंतर्गोल बहुभुज आहेत. (आकृती ३.१)

बहिर्गोल बहुभुज $\hspace{40 mm}$ अंतर्गोल बहुभुज

हे प्रकारचे बहुभुज एकमेकांपासून कसे वेगळे आहेत ते तुम्ही शोधू शकता का? बहिर्गोल असलेल्या बहुभुजांचे कर्ण त्यांच्या बाह्य भागात नसतात किंवा बहुभुजाच्या आतील भागात असलेले कोणतेही दोन भिन्न बिंदू जोडणारा रेषाखंड पूर्णपणे त्याच्या आतील भागात असतो. हे अंतर्गोल बहुभुजांसाठी खरे आहे का? दिलेल्या आकृत्यांचा अभ्यास करा. मग बहिर्गोल बहुभुज म्हणजे काय आणि अंतर्गोल बहुभुज म्हणजे काय हे तुमच्या शब्दांत वर्णन करण्याचा प्रयत्न करा. प्रत्येक प्रकाराची दोन अंदाजे रेखाचित्रे द्या.

या वर्गातील आपल्या कामात, आपण फक्त बहिर्गोल बहुभुजांशीच व्यवहार करू.

३.१.२ नियमित आणि अनियमित बहुभुज

नियमित बहुभुज हे ‘समकोनी’ आणि ‘समबाजू’ दोन्ही असते. उदाहरणार्थ, चौरसाच्या बाजू समान लांबीच्या असतात आणि कोन समान मापाचे असतात. म्हणून तो एक नियमित बहुभुज आहे. आयत समकोनी आहे पण समबाजू नाही. आयत हा नियमित बहुभुज आहे का? समभुज त्रिकोण हा नियमित बहुभुज आहे का? का?

नियमित बहुभुज $\hspace{40 mm}$ नियमित नसलेली बहुभुज

[सूचना: $\wedge \neq$ किंवा $\not$ चा वापर समान लांबीचे खंड दर्शवतो].

मागील वर्गांमध्ये, तुम्ही अशा कोणत्याही चौकोनाचा सामना केला आहे का जो समबाजू आहे पण समकोनी नाही? मागील वर्गांमध्ये तुम्ही पाहिलेल्या चौकोन आकारांची आठवण करा - आयत, चौरस, समभुज चौकोन इ.

असा त्रिकोण आहे का जो समभुज आहे पण समकोनी नाही?

कसोटी ३.१

१. येथे काही आकृत्या दिल्या आहेत.

(१)$\hspace{20 mm}$(२)$\hspace{20 mm}$(३)$\hspace{20 mm}$(४)

(५) $\hspace{20 mm}$ (६)$\hspace{20 mm}$(७)$\hspace{20 mm}$(८)

खालील आधारावर त्यांचे वर्गीकरण करा.

(अ) साधे वक्र $\quad$ (ब) साधे बंद वक्र $\quad$ (क) बहुभुज

(ड) बहिर्गोल बहुभुज $\quad$ (इ) अंतर्गोल बहुभुज

२. नियमित बहुभुज म्हणजे काय?

खालील बाजू असलेल्या नियमित बहुभुजाचे नाम सांगा.

(i) ३ बाजू $\quad$ (ii) ४ बाजू $\quad$ (iii) ६ बाजू

३.२ बहुभुजाच्या बाह्य कोनांच्या मापांची बेरीज

अनेक प्रसंगी बाह्य कोनांचे ज्ञान आतील कोन आणि बाजूंच्या स्वरूपावर प्रकाश टाकू शकते.

हे करा

खडूचा तुकडा वापरून फरशीवर एक बहुभुज काढा. (आकृतीत, एक पंचकोन $ABCDE$ दाखवला आहे) (आकृती ३.२).

आपल्याला कोनांचे एकूण माप म्हणजेच $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$ जाणून घ्यायचे आहे. A पासून सुरुवात करा. $\overline{AB}$ बाजूने चाला. B वर पोहोचल्यावर, $m \angle 1$ च्या कोनातून वळणे आवश्यक आहे, म्हणजे $\overline{BC}$ बाजूने चालण्यासाठी. $C$ वर पोहोचल्यावर, $m \angle 2$ च्या कोनातून वळणे आवश्यक आहे म्हणजे $\overline{CD}$ बाजूने चालण्यासाठी. तुम्ही या पद्धतीने हलत रहा, जोपर्यंत तुम्ही बाजू AB वर परत येत नाही. तुम्ही प्रत्यक्षात एक पूर्ण वळण घेतले असेल.

आकृती ३.२

म्हणून, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$.

बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या कितीही असो, हे खरे आहे.

म्हणून, कोणत्याही बहुभुजाच्या बाह्य कोनांच्या मापांची बेरीज $360^{\circ}$ असते.

उदाहरण १ : आकृती ३.३ मध्ये $x$ चे माप शोधा.

उकल:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( का?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

हे करून पहा

एक नियमित षटकोन घ्या आकृती ३.४.

१. त्याच्या बाह्य कोनांच्या मापांची बेरीज किती $x, y, z, p, q, r$ ?

२. $x=y=z=p=q=r$ आहे का? का?

३. प्रत्येकाचे माप किती?

(i) बाह्य कोन

(ii) आंतर कोन

४. ही क्रिया पुढील प्रकरणांसाठी पुन्हा करा

(i) नियमित अष्टकोन

(ii) नियमित २०-बाजू

आकृती ३.४

उदाहरण २ : एका नियमित बहुभुजाच्या बाजूंची संख्या शोधा ज्याच्या प्रत्येक बाह्य कोनाचे माप $45^{\circ}$ आहे.

उकल सर्व बाह्य कोनांचे एकूण माप $=360^{\circ}$

प्रत्येक बाह्य कोनाचे माप $=45^{\circ}$

म्हणून, बाह्य कोनांची संख्या $=\frac{360}{45}=8$

बहुभुजाला ८ बाजू आहेत.

कसोटी ३.२

१. खालील आकृत्यांमध्ये $x$ शोधा.

(अ)

(ब)

२. खालील बाजू असलेल्या नियमित बहुभुजाच्या प्रत्येक बाह्य कोनाचे माप शोधा. (i) ९ बाजू (ii) १५ बाजू

३. जर बाह्य कोनाचे माप $24^{\circ}$ असेल तर नियमित बहुभुजाला किती बाजू असतील?

४. जर नियमित बहुभुजाच्या प्रत्येक आंतर कोनाचे माप $165^{\circ}$ असेल तर त्याला किती बाजू असतील?

५. (अ) प्रत्येक बाह्य कोनाचे माप $22^{\circ}$ असलेला नियमित बहुभुज असणे शक्य आहे का?

(ब) तो नियमित बहुभुजाचा आंतर कोन असू शकतो का? का?

६. (अ) नियमित बहुभुजासाठी शक्य असलेला किमान आंतर कोन किती? का?

(ब) नियमित बहुभुजासाठी शक्य असलेला कमाल बाह्य कोन किती?

३.३ चौकोनांचे प्रकार

चौकोनाच्या बाजू किंवा कोनांच्या स्वरूपावर आधारित, त्याला विशेष नावे मिळतात.

३.३.१ समलंब चौकोन

समलंब चौकोन म्हणजे एक जोड समांतर बाजू असलेला चौकोन.

हे समलंब चौकोन आहेत $\hspace{20 mm}$ हे समलंब चौकोन नाहीत

वरील आकृत्यांचा अभ्यास करा आणि काही समलंब चौकोन का आहेत तर काही नाहीत हे तुमच्या मित्रांशी चर्चा करा. (सूचना: \to खुणा समांतर रेषा दर्शवतात).

हे करा

१. $3 cm, 4 cm, 5 cm$ बाजू असलेल्या एकरूप त्रिकोणांचे एकसारखे कट-आउट घ्या. ते दाखवल्याप्रमाणे मांडा (आकृती ३.५).

आकृती ३.५

तुम्हाला एक समलंब चौकोन मिळेल. (तपासा!) येथे समांतर बाजू कोणत्या? असमांतर बाजू समान असाव्यात का?

तुम्ही समान त्रिकोणांचा संच वापरून आणखी दोन समलंब चौकोन मिळवू शकता. ते शोधा आणि त्यांच्या आकारांवर चर्चा करा.

२. तुमच्या आणि तुमच्या मित्राच्या इन्स्ट्रुमेंट बॉक्समधून चार सेट-स्क्वेअर घ्या. त्यांना बाजूने बाजूने ठेवण्यासाठी आणि वेगवेगळे समलंब चौकोन मिळवण्यासाठी त्यांची वेगवेगळी संख्या वापरा.

जर समलंब चौकोनाच्या असमांतर बाजू समान लांबीच्या असतील, तर आपण त्याला समद्विभुज समलंब चौकोन म्हणतो. वर दिलेल्या तुमच्या कोणत्याही तपासणीत तुम्हाला समद्विभुज समलंब चौकोन मिळाला का?

३.३.२ पतंग

पतंग हा चौकोनाचा एक विशेष प्रकार आहे. प्रत्येक आकृतीमध्ये समान खुणा असलेल्या बाजू समान आहेत. उदाहरणार्थ $AB=AD$ आणि $BC=CD$.

हे पतंग आहेत $\hspace{30 mm}$ हे पतंग नाहीत

या आकृत्यांचा अभ्यास करा आणि पतंग म्हणजे काय हे वर्णन करण्याचा प्रयत्न करा. लक्षात घ्या की

(i) पतंगाला ४ बाजू असतात (तो चौकोन आहे).

(ii) समान लांबीच्या बाजूंच्या नक्की दोन भिन्न क्रमागत जोड्या असतात.

चौरस हा पतंग आहे का ते तपासा.

हे करा

एक जाड पांढरा कागद घ्या.

कागद एकदा दुमडा.

आकृती ३.६ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे वेगवेगळ्या लांबीचे दोन रेषाखंड काढा.

रेषाखंडांवर कापून उघडा.

तुमच्याकडे पतंगाचा आकार असेल (आकृती ३.६).

पतंगाला कोणतीही रेषीय सममिती आहे का?

आकृती ३.६

पतंगाचे दोन्ही कर्ण दुमडा. ते काटकोनात छेदतात का ते तपासण्यासाठी सेट-स्क्वेअर वापरा. कर्णांची लांबी समान आहे का?

कर्ण एकमेकांना दुभागतात का हे सत्यापित करा (कागद दुमडून किंवा मोजून).

पतंगाचा एक कोन त्याच्या विरुद्ध बाजूस दुमडून, समान मापाचे कोन तपासा.

कर्ण दुमडण्याचे निरीक्षण करा; ते कोणताही कर्ण हा कोनदुभाजक आहे हे दर्शवते का?

तुमचे निष्कर्ष इतरांसोबत सामायिक करा आणि त्यांची यादी करा. या निकालांचा सारांश पुढे प्रकरणात दिला आहे तुमच्या संदर्भासाठी.

दाखवा की $\triangle ABC$ आणि $\triangle ADC$ एकरूप आहेत. यावरून आपण काय अनुमान काढतो?

आकृती ३.७

३.३.३ समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोन हा एक चौकोन आहे. नावाप्रमाणेच, त्याचा समांतर रेषांशी काही संबंध आहे.

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

हे समांतरभुज चौकोन आहेत $\hspace{20 mm}$ हे समांतरभुज चौकोन नाहीत

या आकृत्यांचा अभ्यास करा आणि समांतरभुज चौकोन म्हणजे काय हे तुमच्या शब्दांत वर्णन करण्याचा प्रयत्न करा. तुमचे निरीक्षण तुमच्या मित्रांसोबत सामायिक करा.

आयत हा समांतरभुज चौकोन आहे का ते तपासा.

हे करा

वेगवेगळ्या रुंदीच्या दोन वेगवेगळ्या आयताकृती कार्डबोर्ड पट्ट्या घ्या (आकृती ३.८).

पट्टी १ $\hspace{40 mm}$ पट्टी २

एक पट्टी आडवी ठेवा आणि आकृतीत काढल्याप्रमाणे (आकृती ३.९) त्याच्या काठावर रेषा काढा.

आता दुसरी पट्टी काढलेल्या रेषांवर तिरपी स्थितीत ठेवा आणि दाखवल्याप्रमाणे (आकृती ३.१०) आणखी दोन रेषा काढण्यासाठी हा वापरा.

आकृती ३.९

या चार रेषा एक चौकोन बंद करतात. हा दोन जोड्या समांतर रेषांनी बनलेला आहे (आकृती ३.११).

आकृती ३.१० $\hspace{40 mm}$ आकृती ३.११

तो एक समांतरभुज चौकोन आहे.

समांतरभुज चौकोन म्हणजे ज्याच्या विरुद्ध बाजू समांतर असतात अशा चौकोनास.

३.३.४ समांतरभुज चौकोनाचे घटक

समांतरभुज चौकोनात चार बाजू आणि चार कोन असतात. यापैकी काही समान असतात. या घटकांशी संबंधित काही संज्ञा आहेत ज्या तुम्हाला लक्षात ठेवायच्या आहेत.

एक समांतरभुज चौकोन $ABCD$ दिला आहे (आकृती ३.१२).

आकृती ३.१२

$\overline{AB}$ आणि $\overline{DC}$, विरुद्ध बाजू आहेत. $\overline{AD}$ आणि $\overline{BC}$ विरुद्ध बाजूंची दुसरी जोडी बनवतात.

$\angle A$ आणि $\angle C$ विरुद्ध कोनांची एक जोडी आहे; विरुद्ध कोनांची दुसरी जोडी $\angle B$ आणि $\angle D$ असेल.

$\overline{AB}$ आणि $\overline{BC}$ लगतच्या बाजू आहेत. याचा अर्थ, एक बाजू जिथे संपते तिथे दुसरी सुरू होते. $\overline{BC}$ आणि $\overline{CD}$ देखील लगतच्या बाजू आहेत का? आणखी दोन जोड्या लगतच्या बाजू शोधण्याचा प्रयत्न करा.

$\angle A$ आणि $\angle B$ लगतचे कोन आहेत. ते समान बाजूच्या टोकांवर असतात. $\angle B$ आणि $\angle C$ देखील लगतचे आहेत. समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या कोनांच्या इतर जोड्या ओळखा.

हे करा

दोन एकसारखे समांतरभुज चौकोनांचे कट-आउट घ्या, म्हणजे $A B C D$ आणि $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (आकृती ३.१३).

येथे $\overline{AB}$ हे $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ सारखेच आहे फक्त नाव वगळता. त्याचप्रमाणे इतर संगत बाजू देखील समान आहेत.

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ ला $\overline{DC}$ वर ठेवा. ते एकमेकांवर पूर्णपणे येतात का? आता तुम्ही लांबी $\overline{AB}$ आणि $\overline{DC}$ बद्दल काय म्हणू शकता?

त्याचप्रमाणे लांबी $\overline{AD}$ आणि $\overline{BC}$ तपासा. तुम्हाला काय आढळते?

तुम्ही $\overline{AB}$ आणि $\overline{DC}$ मोजून देखील हा निकाल काढू शकता.

गुणधर्म: समांतरभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समान लांबीच्या असतात.

हे करून पहा

$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ कोन असलेले दोन एकसारखे सेट-स्क्वेअर घ्या आणि आकृती ३.१४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे ते लगतच ठेवून एक समांतरभुज चौकोन तयार करा. हे तुम्हाला वरील गुणधर्म सत्यापित करण्यास मदत करते का?

तुम्ही तार्किक युक्तिवादाद्वारे देखील ही कल्पना आणखी मजबूत करू शकता.

एक समांतरभुज चौकोन ABCD विचारात घ्या (आकृती ३.१५). कोणताही एक कर्ण काढा, म्हणजे $\overline{AC}$.

आकृती ३.१५

आकृती ३.१४

कोन पाहता,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ आणि } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (का?) } $

कारण त्रिकोण $ABC$ आणि $ADC, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$ मध्ये

आणि $\overline{AC}$ हा सामाईक आहे, म्हणून, ASA एकरूपतेच्या अटीनुसार,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (येथे ASA कसे वापरले आहे?)

यावरून मिळते

$ AB=DC \text{ आणि } BC=AD \text{. } $

उदाहरण ३ : समांतरभुज चौकोन PQRS ची परिमिती शोधा (आकृती ३.१६).

उकल समांतरभुज चौकोनात, विरुद्ध बाजूंची लांबी समान असते.

म्हणून, $PQ=SR=12 cm$ आणि $QR=PS=7 cm$

तर, परिमिती $=PQ+QR+RS+SP$

$ =12 cm+7 cm+12 cm+7 cm=38 cm $

३.३.५ समांतरभुज चौकोनाचे कोन

आकृती ३.१६

आपण (विरुद्ध) बाजूंसंबंधी समांतरभुज चौकोनाचा एक गुणधर्म अभ्यासला. कोनांबद्दल आपण काय म्हणू शकतो?

हे करा

$ABCD$ हा एक समांतरभुज चौकोन असू द्या (आकृती ३.१७). त्याची ट्रेसिंग शीटवर प्रत बनवा. या प्रतीला $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ असे नाव द्या. $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ला $A B C D$ वर ठेवा. कर्ण जिथे भेटतात त्या बिंदूवर त्यांना एकत्र पिन करा. पारदर्शक शीटला $180^{\circ}$ ने फिरवा. समांतरभुज चौकोन अजूनही एकरूप आहेत; पण आता तुम्हाला $A^{\prime}$ नक्की $C$ वर आणि त्याउलट पडलेला आढळतो; त्याचप्रमाणे $B^{\prime}$ हा $D$ वर आणि त्याउलट पडलेला आहे.

आकृती ३.१७

हे तुम्हाला कोन A आणि C च्या मापाबद्दल काही सांगते का? कोन B आणि D साठी तेच तपासा. तुमचे निष्कर्ष सांगा.

गुणधर्म: समांतरभुज चौकोनाचे विरुद्ध कोन समान मापाचे असतात.

हे करून पहा

दोन एकसारखे $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ सेट-स्क्वेअर घ्या आणि पूर्वीप्रमाणे एक समांतरभुज चौकोन तयार करा. मिळालेली आकृती तुम्हाला वरील गुणधर्माची पुष्टी करण्यास मदत करते का?

तुम्ही तार्किक युक्तिवादाद्वारे देखील ही कल्पना न्याय्य ठरवू शकता.

जर $\overline{AC}$ आणि $\overline{BD}$ हे समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण असतील, (आकृती ३.१८) तर तुम्हाला आढळेल की

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ आणि } \quad \angle 3=\angle 4 \quad \text{ (का?) } $

आकृती ३.१८

$\triangle ABC$ आणि $\triangle ADC$ (आकृती ३.१९) चा स्वतंत्रपणे अभ्यास केल्यास, तुम्हाला हे समजेल की ASA एकरूपतेच्या अटीनुसार,

$ \Delta ABC \cong \Delta CDA(\text{ कसे?) } $

आकृती ३.१९

हे दाखवते की $\angle B$ आणि $\angle D$ चे माप समान आहे. त्याच प्रकारे तुम्ही $m \angle A=m \angle C$ मिळवू शकता.

पर्यायाने, $\angle 1=\angle 2$ आणि $\angle 3=\angle 4$, आपल्याकडे आहे, $m \angle A=\angle 1+\angle 4=\angle 2+\angle C m \angle C$

उदाहरण ४ : आकृती ३.२० मध्ये, BEST हा समांतरभुज चौकोन आहे. $x, y$ आणि $z$ ची किंमत शोधा.

उकल $S$ हा $B$ च्या विरुद्ध आहे.

म्हणून,

$ \begin{aligned} & x=100^{\circ}(\text{ विरुद्ध कोन गुणधर्म) } \\ & y=100^{\circ} \quad(\text{ कोन } \angle x \text{ शी संगत कोनाचे माप }) \\ & z=80^{\circ} \quad(\text{ कारण } \angle y, \angle z \text{ ही रेषीय जोडी आहे }) \end{aligned} $

आता आपण समांतरभुज चौकोनाच्या लगतच्या कोनांकडे लक्ष देतो. समांतरभुज चौकोन $ABCD$ मध्ये, (आकृती ३.२१).

$\angle A$ आणि $\angle D$ हे पूरक आहेत कारण $\overline{DC} | \overline{AB}$ आणि छेदिका $\overline{DA}$ सह, हे दोन कोन आतील विरुद्ध आहेत.

$\angle A$ आणि $\angle B$ देखील पूरक आहेत. तुम्ही ‘का’ म्हणू शकता?

आकृती ३.२१

$\overline{AD} | \overline{BC}$ आणि $\overline{BA}$ ही छेदिका आहे, ज्यामुळे $\angle A$ आणि $\angle B$ आतील विरुद्ध बनतात.

आकृतीतून पूरक कोनांच्या आणखी दोन जोड्या ओळखा.

गुणधर्म: समांतरभुज चौकोनातील लगतचे कोन पूरक असतात.

उदाहरण ५ : एका समांतरभुज चौकोन RING मध्ये, (आकृती ३.२२) जर $m \angle R=70^{\circ}$, तर इतर सर्व कोन शोधा.

उकल दिलेले $m \angle R=70^{\circ}$

तर

$ m \angle N=70^{\circ} $

कारण $\angle R$ आणि $\angle N$ हे समांतरभुज चौकोनाचे विरुद्ध कोन आहेत.

$\angle R$ आणि $\angle I$ पूरक असल्याने,

$ m \angle I=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $

आकृती ३.२२

तसेच, $m \angle G=110^{\circ}$ कारण $\angle G$ हा $\angle I$ च्या विरुद्ध आहे

अशाप्रकारे, $m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ आणि $m \angle I=m \angle G=110^{\circ}$

विचार