3.1 પ્રસ્તાવના

તમે જાણો છો કે કાગળ એ સમતલ સપાટીનું એક મોડેલ છે. જ્યારે તમે કાગળ પરથી પેન્સિલ ઉપાડ્યા વિના (અને એક બિંદુ સિવાય દોરવામાં આવેલા કોઈ પણ ભાગને ફરીથી દોર્યા વિના) ઘણા બિંદુઓને જોડો છો, ત્યારે તમને એક સમતલ વક્ર મળે છે.

3.1.1 બહિર્ગોળ અને અંતર્ગોળ બહુકોણ

માત્ર રેખાખંડોથી બનેલી એક સરળ બંધ વક્ર રેખાને બહુકોણ કહેવાય છે.

બહુકોણ હોય તેવી વક્ર રેખાઓ $\hspace{30 mm}$ બહુકોણ ન હોય તેવી વક્ર રેખાઓ

અહીં કેટલાક બહિર્ગોળ બહુકોણ અને કેટલાક અંતર્ગોળ બહુકોણ છે. (આકૃતિ 3.1)

બહિર્ગોળ બહુકોણ $\hspace{40 mm}$ અંતર્ગોળ બહુકોણ

શું તમે શોધી શકો છો કે આ પ્રકારના બહુકોણ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? જે બહુકોણ બહિર્ગોળ હોય છે તેમના કર્ણોનો કોઈ પણ ભાગ તેમના બહારના ભાગમાં હોતો નથી અથવા બહુકોણના આંતરિક ભાગમાં આવેલા કોઈ પણ બે જુદા જુદા બિંદુઓને જોડતો કોઈ પણ રેખાખંડ સંપૂર્ણપણે તેના આંતરિક ભાગમાં હોય છે. શું આ અંતર્ગોળ બહુકોણ માટે સાચું છે? આપેલ આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરો. પછી બહિર્ગોળ બહુકોણ અને અંતર્ગોળ બહુકોણથી આપણે શું સમજીએ છીએ તે તમારા શબ્દોમાં વર્ણવવાનો પ્રયત્ન કરો. દરેક પ્રકારની બે રફ રેખાકૃતિઓ દોરો.

આ વર્ગમાં આપણા કાર્યમાં, આપણે ફક્ત બહિર્ગોળ બહુકોણ સાથે જ વ્યવહાર કરીશું.

3.1.2 નિયમિત અને અનિયમિત બહુકોણ

નિયમિત બહુકોણ ‘સમકોણ’ અને ‘સમબાજુ’ બંને હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ચોરસની બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે અને ખૂણાઓ સમાન માપના હોય છે. તેથી તે નિયમિત બહુકોણ છે. લંબચોરસ સમકોણ હોય છે પરંતુ સમબાજુ નથી. શું લંબચોરસ નિયમિત બહુકોણ છે? શું સમબાજુ ત્રિકોણ નિયમિત બહુકોણ છે? શા માટે?

નિયમિત બહુકોણ $\hspace{40 mm}$ નિયમિત ન હોય તેવા બહુકોણ

[નોંધ: $\wedge \neq$ અથવા $\not$ નો ઉપયોગ સમાન લંબાઈના ખંડો દર્શાવે છે].

પહેલાના વર્ગોમાં, શું તમે કોઈ એવા ચતુષ્કોણને જોયો છે જે સમબાજુ હોય પરંતુ સમકોણ ન હોય? પહેલાના વર્ગોમાં તમે જોયેલા ચતુષ્કોણના આકારો યાદ કરો - લંબચોરસ, ચોરસ, સમચતુર્ભુજ વગેરે.

શું એવો ત્રિકોણ છે જે સમબાજુ હોય પરંતુ સમકોણ ન હોય?

કસરત 3.1

1. અહીં કેટલીક આકૃતિઓ આપેલી છે.

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

નીચેના આધારે દરેકને વર્ગીકૃત કરો.

(a) સરળ વક્ર રેખા $\quad$ (b) સરળ બંધ વક્ર રેખા $\quad$ (c) બહુકોણ

(d) બહિર્ગોળ બહુકોણ $\quad$ (e) અંતર્ગોળ બહુકોણ

2. નિયમિત બહુકોણ શું છે?

નીચેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણનું નામ જણાવો.

(i) 3 બાજુઓ $\quad$ (ii) 4 બાજુઓ $\quad$ (iii) 6 બાજુઓ

3.2 બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના માપનો સરવાળો

ઘણી વખત બાહ્ય ખૂણાઓનું જ્ઞાન આંતરિક ખૂણાઓ અને બાજુઓની પ્રકૃતિ પર પ્રકાશ પાડી શકે છે.

આ કરો

ચાકના એક ટુકડાનો ઉપયોગ કરી ફર્શ પર એક બહુકોણ દોરો. (આકૃતિમાં, પંચભુજ $ABCDE$ દર્શાવેલ છે) (આકૃતિ 3.2).

આપણે ખૂણાઓના કુલ માપ જાણવા માંગીએ છીએ, એટલે કે, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$. A પરથી શરૂ કરો. $\overline{AB}$ સાથે ચાલો. B પર પહોંચતા, $m \angle 1$ ના ખૂણા દ્વારા વળવાની જરૂર છે, $\overline{BC}$ સાથે ચલવા માટે. $C$ પર પહોંચતા, તમારે $m \angle 2$ ના ખૂણા દ્વારા વળવાની જરૂર છે જેથી $\overline{CD}$ સાથે ચાલી શકાય. તમે આ રીતે આગળ વધવાનું ચાલુ રાખો છો, જ્યાં સુધી તમે બાજુ AB પર પાછા ન આવો. તમે હકીકતમાં એક સંપૂર્ણ ફેરો કર્યો હશે.

આકૃતિ 3.2

તેથી, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$.

બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા ગમે તે હોય, આ સાચું છે.

તેથી, કોઈ પણ બહુકોણના બાહ્ય ખૂણાઓના માપનો સરવાળો $360^{\circ}$ છે.

ઉદાહરણ 1 : આકૃતિ 3.3 માં $x$ નું માપ શોધો.

ઉકેલ:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( શા માટે?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

પ્રયત્ન કરો

નિયમિત ષટ્કોણ આકૃતિ 3.4 લો.

1. તેના બાહ્ય ખૂણાઓ $x, y, z, p, q, r$ ના માપનો સરવાળો કેટલો છે?

2. શું $x=y=z=p=q=r$ ? શા માટે?

3. દરેકનું માપ કેટલું છે?

(i) બાહ્ય ખૂણો

(ii) આંતરિક ખૂણો

4. આ પ્રવૃત્તિ નીચેના માટે પુનરાવર્તન કરો

(i) નિયમિત અષ્ટકોણ

(ii) નિયમિત 20-બાજુકોણ

આકૃતિ 3.4

ઉદાહરણ 2 : એક નિયમિત બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા શોધો જેના દરેક બાહ્ય ખૂણાનું માપ $45^{\circ}$ છે.

ઉકેલ બધા બાહ્ય ખૂણાઓનું કુલ માપ $=360^{\circ}$

દરેક બાહ્ય ખૂણાનું માપ $=45^{\circ}$

તેથી, બાહ્ય ખૂણાઓની સંખ્યા $=\frac{360}{45}=8$

બહુકોણની 8 બાજુઓ છે.

કસરત 3.2

1. નીચેની આકૃતિઓમાં $x$ શોધો.

(a)

(b)

2. નીચેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના દરેક બાહ્ય ખૂણાનું માપ શોધો. (i) 9 બાજુઓ (ii) 15 બાજુઓ

3. જો બાહ્ય ખૂણાનું માપ $24^{\circ}$ હોય તો નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ હોય?

4. જો તેના દરેક આંતરિક ખૂણાનું માપ $165^{\circ}$ હોય તો નિયમિત બહુકોણની કેટલી બાજુઓ હોય?

5. (a) શું દરેક બાહ્ય ખૂણાનું માપ $22^{\circ}$ હોય તેવો નિયમિત બહુકોણ હોઈ શકે?

(b) શું તે નિયમિત બહુકોણનો આંતરિક ખૂણો હોઈ શકે? શા માટે?

6. (a) નિયમિત બહુકોણ માટે શક્ય લઘુત્તમ આંતરિક ખૂણો કેટલો હોઈ શકે? શા માટે?

(b) નિયમિત બહુકોણ માટે શક્ય મહત્તમ બાહ્ય ખૂણો કેટલો હોઈ શકે?

3.3 ચતુષ્કોણના પ્રકારો

ચતુષ્કોણની બાજુઓ અથવા ખૂણાઓની પ્રકૃતિના આધારે, તેને વિશિષ્ટ નામો મળે છે.

3.3.1 સમલંબ ચતુષ્કોણ

સમલંબ ચતુષ્કોણ એ એક જોડ સમાંતર બાજુઓ ધરાવતો ચતુષ્કોણ છે.

આ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે $\hspace{20 mm}$ આ સમલંબ ચતુષ્કોણ નથી

ઉપરની આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરો અને તમારા મિત્રો સાથે ચર્ચા કરો કે તેમાંથી કેટલાક સમલંબ ચતુષ્કોણ શા માટે છે જ્યારે કેટલાક નથી. (નોંધ: \to નિશાનીઓ સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે).

આ કરો

1. $3 cm, 4 cm, 5 cm$ બાજુઓ ધરાવતા એકરૂપ ત્રિકોણના એકસમાન કટ-આઉટ લો. તેમને આકૃતિ 3.5 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગોઠવો.

આકૃતિ 3.5

તમને સમલંબ ચતુષ્કોણ મળે છે. (તપાસો!) અહીં સમાંતર બાજુઓ કઈ છે? શું અસમાંતર બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ?

તમે સમાન ત્રિકોણોના સમૂહનો ઉપયોગ કરીને બે વધુ સમલંબ ચતુષ્કોણ મેળવી શકો છો. તેમને શોધો અને તેમના આકારો વિશે ચર્ચા કરો.

2. તમારા અને તમારા મિત્રના ઇન્સ્ટ્રુમેન્ટ બોક્સમાંથી ચાર સેટ-સ્ક્વેર લો. તેમને બાજુમાં બાજુ મૂકવા અને વિવિધ સમલંબ ચતુષ્કોણ મેળવવા માટે તેમની વિવિધ સંખ્યાનો ઉપયોગ કરો.

જો સમલંબ ચતુષ્કોણની અસમાંતર બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય, તો આપણે તેને સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ કહીએ છીએ. શું તમને ઉપર આપેલી તમારી કોઈ પણ તપાસમાં સમદ્વિબાજુ સમલંબ ચતુષ્કોણ મળ્યું?

3.3.2 પતંગ

પતંગ એ ચતુષ્કોણનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે. દરેક આકૃતિમાં સમાન નિશાનીઓ ધરાવતી બાજુઓ સમાન હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે $AB=AD$ અને $BC=CD$.

આ પતંગ છે $\hspace{30 mm}$ આ પતંગ નથી

આ આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરો અને પતંગ શું છે તે વર્ણવવાનો પ્રયત્ન કરો. નોંધ કરો કે

(i) પતંગની 4 બાજુઓ હોય છે (તે ચતુષ્કોણ છે).

(ii) બરાબર બે જુદા જુદા ક્રમિક જોડા સમાન લંબાઈની બાજુઓ હોય છે.

તપાસો કે ચોરસ પતંગ છે કે નહીં.

આ કરો

જાડો સફેદ કાગળ લો.

કાગળને એક વાર દરિયો.

આકૃતિ 3.6 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે વિવિધ લંબાઈના બે રેખાખંડ દોરો.

રેખાખંડો સાથે કાપો અને ખોલો.

તમારી પાસે પતંગનો આકાર છે (આકૃતિ 3.6).

શું પતંગમાં કોઈ રેખા સંમિતિ છે?

આકૃતિ 3.6

પતંગના બંને કર્ણોને દરિયો. સેટ-સ્ક્વેરનો ઉપયોગ કરી તપાસો કે શું તેઓ કાટખૂણે છેદે છે. શું કર્ણોની લંબાઈ સમાન છે?

શું કર્ણો એકબીજાને દ્વિભાજિત કરે છે તે ચકાસો (કાગળ દરિયવાથી અથવા માપવાથી).

પતંગના એક ખૂણાને તેની વિરુદ્ધ બાજુએ દરિયવાથી, સમાન માપના ખૂણાઓ માટે તપાસો.

કર્ણના દરિયાનું નિરીક્ષણ કરો; શું તેઓ સૂચવે છે કે કોઈ કર્ણ ખૂણાનો દ્વિભાજક છે?

તમારા નિષ્કર્ષો અન્ય લોકો સાથે શેર કરો અને તેમની યાદી બનાવો. આ પરિણામોનો સારાંશ અન્યત્ર પ્રકરણમાં તમારા સંદર્ભ માટે આપવામાં આવ્યો છે.

બતાવો કે $\triangle ABC$ અને $\triangle ADC$ એકરૂપ છે. આમાંથી આપણે શું અનુમાન કરીએ છીએ?

આકૃતિ 3.7

3.3.3 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એ ચતુષ્કોણ છે. નામ સૂચવે છે તેમ, તેનો સમાંતર રેખાઓ સાથે કંઈક સંબંધ છે.

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે $\hspace{20 mm}$ આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ નથી

આ આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરો અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણથી આપણે શું સમજીએ છીએ તે તમારા શબ્દોમાં વર્ણવવાનો પ્રયત્ન કરો. તમારા અવલોકનો તમારા મિત્રો સાથે શેર કરો.

તપાસો કે લંબચોરસ પણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કે નહીં.

આ કરો

વિવિધ પહોળાઈના બે જુદા જુદા લંબચોરસ કાર્ડબોર્ડ સ્ટ્રિપ લો (આકૃતિ 3.8).

સ્ટ્રિપ 1 $\hspace{40 mm}$ સ્ટ્રિપ 2

એક સ્ટ્રિપને આડી મૂકો અને તેની ધાર સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે રેખાઓ દોરો (આકૃતિ 3.9).

હવે બીજી સ્ટ્રિપને દોરેલી રેખાઓ પર ત્રાંસી સ્થિતિમાં મૂકો અને આનો ઉપયોગ કરી બે વધુ રેખાઓ દોરો જેમ કે દર્શાવ્યું છે (આકૃતિ 3.10).

આકૃતિ 3.9

આ ચાર રેખાઓ એક ચતુષ્કોણને ઘેરે છે. આ બે જોડ સમાંતર રેખાઓથી બનેલું છે (આકૃતિ 3.11).

આકૃતિ 3.10 $\hspace{40 mm}$ આકૃતિ 3.11

તે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એવો ચતુષ્કોણ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય.

3.3.4 સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ઘટકો

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં ચાર બાજુઓ અને ચાર ખૂણા હોય છે. આમાંથી કેટલાક સમાન હોય છે. આ ઘટકો સાથે સંકળાયેલા કેટલાક શબ્દો છે જે તમારે યાદ રાખવાની જરૂર છે.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ આપેલ છે (આકૃતિ 3.12).

આકૃતિ 3.12

$\overline{AB}$ અને $\overline{DC}$, વિરુદ્ધ બાજુઓ છે. $\overline{AD}$ અને $\overline{BC}$ વિરુદ્ધ બાજુઓની બીજી જોડ બનાવે છે.

$\angle A$ અને $\angle C$ વિરુદ્ધ ખૂણાઓની જોડ છે; વિરુદ્ધ ખૂણાઓની બીજી જોડ $\angle B$ અને $\angle D$ હશે.

$\overline{AB}$ અને $\overline{BC}$ સંલગ્ન બાજુઓ છે. આનો અર્થ એ છે કે, એક બાજુ જ્યાં શરૂ થાય છે ત્યાં બીજી બાજુ સમાપ્ત થાય છે. શું $\overline{BC}$ અને $\overline{CD}$ પણ સંલગ્ન બાજુઓ છે? બે વધુ જોડ સંલગ્ન બાજુઓ શોધવાનો પ્રયત્ન કરો.

$\angle A$ અને $\angle B$ સંલગ્ન ખૂણા છે. તેઓ એક જ બાજુના છેડે છે. $\angle B$ અને $\angle C$ પણ સંલગ્ન છે. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સંલગ્ન ખૂણાઓની અન્ય જોડ ઓળખો.

આ કરો

બે એકસમાન સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના કટ-આઉટ લો, ધારો કે $A B C D$ અને $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (આકૃતિ 3.13).

અહીં $\overline{AB}$ $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ જેવું જ છે સિવાય કે નામ બદલાયેલું છે. તે જ રીતે અન્ય અનુરૂપ બાજુઓ પણ સમાન છે.

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ ને $\overline{DC}$ પર મૂકો. શું તેઓ એકરૂપ થાય છે? હવે તમે લંબાઈ $\overline{AB}$ અને $\overline{DC}$ વિશે શું કહી શકો?

તે જ રીતે લંબાઈ $\overline{AD}$ અને $\overline{BC}$ ની તપાસ કરો. તમે શું શોધો છો?

તમે $\overline{AB}$ અને $\overline{DC}$ ને માપીને પણ આ પરિણામ પર પહોંચી શકો છો.

ગુણધર્મ: સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.

પ્રયત્ન કરો

$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ખૂણા ધરાવતા બે એકસમાન સેટ-સ્ક્વેર લો અને તેમને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે આકૃતિ 3.14 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સંલગ્ન રીતે મૂકો. શું આ તમને ઉપરનો ગુણધર્મ ચકાસવામાં મદદ કરે છે?

તમે તાર્કિક દલીલ દ્વારા પણ આ વિચારને વધુ મજબૂત કરી શકો છો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCD ધ્યાનમાં લો (આકૃતિ 3.15). કોઈ પણ એક કર્ણ દોરો, ધારો કે $\overline{AC}$.

આકૃતિ 3.15

આકૃતિ 3.14

ખૂણાઓને જોતા,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ અને } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (શા માટે?) } $

કારણ કે ત્રિકોણ $ABC$ અને $ADC, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$ માં

અને $\overline{AC}$ સામાન્ય છે, તેથી, ASA એકરૂપતાની શરત મુજબ,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (અહીં ASA કેવી રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે?)

આ આપે છે

$ AB=DC \text{ અને } BC=AD \text{. } $

ઉદાહરણ 3 : સમાંતરબાજુ ચતુષ્ક