৩.১ ভূমিকা

তুমি জানো যে কাগজ একটি সমতল পৃষ্ঠের মডেল। যখন তুমি কাগজ থেকে পেন্সিল না তুলে (এবং একক বিন্দু ছাড়া অঙ্কনের কোনো অংশ পুনরায় না এঁকে) বেশ কয়েকটি বিন্দু যোগ করো, তখন তুমি একটি সমতল বক্ররেখা পাবে।

৩.১.১ উত্তল ও অবতল বহুভুজ

শুধুমাত্র রেখাংশ দিয়ে তৈরি একটি সরল আবদ্ধ বক্ররেখাকে বহুভুজ বলে।

বক্ররেখা যা বহুভুজ $\hspace{30 mm}$ বক্ররেখা যা বহুভুজ নয়

এখানে কিছু উত্তল বহুভুজ এবং কিছু অবতল বহুভুজ রয়েছে। (চিত্র ৩.১)

উত্তল বহুভুজ $\hspace{40 mm}$ অবতল বহুভুজ

তুমি কি খুঁজে পেতে পারো কিভাবে এই ধরণের বহুভুজগুলো একে অপর থেকে আলাদা? উত্তল বহুভুজগুলোর কর্ণগুলোর কোনো অংশই তাদের বহির্ভাগে থাকে না বা বহুভুজের অভ্যন্তরে অবস্থিত যেকোনো দুটি ভিন্ন বিন্দু যোগ করে তৈরি যেকোনো রেখাংশ সম্পূর্ণরূপে এর অভ্যন্তরে অবস্থান করে। অবতল বহুভুজের ক্ষেত্রেও কি এটি সত্য? প্রদত্ত চিত্রগুলো অধ্যয়ন করো। তারপর উত্তল বহুভুজ বলতে আমরা কী বুঝি এবং অবতল বহুভুজ বলতে কী বুঝি তা তোমার নিজের ভাষায় বর্ণনা করার চেষ্টা করো। প্রত্যেক ধরণের দুটি করে রুক্ষ স্কেচ আঁকো।

এই শ্রেণীতে আমাদের কাজে, আমরা শুধুমাত্র উত্তল বহুভুজ নিয়ে কাজ করব।

৩.১.২ সুষম ও অনিয়মিত বহুভুজ

একটি সুষম বহুভুজ ‘সমকোণী’ এবং ‘সমবাহু’ উভয়ই। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু সমান দৈর্ঘ্যের এবং কোণ সমান পরিমাপের। সুতরাং এটি একটি সুষম বহুভুজ। একটি আয়তক্ষেত্র সমকোণী কিন্তু সমবাহু নয়। একটি আয়তক্ষেত্র কি একটি সুষম বহুভুজ? একটি সমবাহু ত্রিভুজ কি একটি সুষম বহুভুজ? কেন?

সুষম বহুভুজ $\hspace{40 mm}$ বহুভুজ যা সুষম নয়

[দ্রষ্টব্য: $\wedge \neq$ বা $\not$ এর ব্যবহার সমান দৈর্ঘ্যের অংশ নির্দেশ করে]।

পূর্ববর্তী শ্রেণীগুলোতে, তুমি কি এমন কোনো চতুর্ভুজের সম্মুখীন হয়েছ যা সমবাহু কিন্তু সমকোণী নয়? পূর্ববর্তী শ্রেণীগুলোতে দেখা চতুর্ভুজের আকারগুলো স্মরণ করো-আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, রম্বস ইত্যাদি।

কোনো ত্রিভুজ কি সমবাহু কিন্তু সমকোণী নয়?

অনুশীলনী ৩.১

১. এখানে কিছু চিত্র দেওয়া হল।

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

নিম্নলিখিত ভিত্তিতে প্রত্যেকটিকে শ্রেণীবদ্ধ করো।

(ক) সরল বক্ররেখা $\quad$ (খ) সরল আবদ্ধ বক্ররেখা $\quad$ (গ) বহুভুজ

(ঘ) উত্তল বহুভুজ $\quad$ (ঙ) অবতল বহুভুজ

২. একটি সুষম বহুভুজ কী?

একটি সুষম বহুভুজের নাম বলো যার

(i) ৩টি বাহু $\quad$ (ii) ৪টি বাহু $\quad$ (iii) ৬টি বাহু

৩.২ একটি বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর পরিমাপের সমষ্টি

অনেক সময় বহিঃস্থ কোণ সম্পর্কে জ্ঞান অভ্যন্তরীণ কোণ এবং বাহুগুলোর প্রকৃতি সম্পর্কে আলোকপাত করতে পারে।

এটি করো

মেঝেতে একটি চক দিয়ে একটি বহুভুজ আঁকো। (চিত্রে, একটি পঞ্চভুজ $ABCDE$ দেখানো হয়েছে) (চিত্র ৩.২)।

আমরা কোণগুলোর মোট পরিমাপ জানতে চাই, অর্থাৎ, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$। A থেকে শুরু করো। $\overline{AB}$ বরাবর হাঁটো। B-তে পৌঁছে, $\overline{BC}$ বরাবর হাঁটার জন্য তোমাকে $m \angle 1$ কোণে ঘুরতে হবে। $C$-তে পৌঁছলে, $\overline{CD}$ বরাবর হাঁটার জন্য তোমাকে $m \angle 2$ কোণে ঘুরতে হবে। তুমি এইভাবে চলতে থাকো, যতক্ষণ না তুমি AB বাহুতে ফিরে আসো। তুমি আসলে একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করেছ।

চিত্র ৩.২

অতএব, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$।

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা যাই হোক না কেন এটি সত্য।

অতএব, যেকোনো বহুভুজের বহিঃস্থ কোণগুলোর পরিমাপের সমষ্টি হল $360^{\circ}$।

উদাহরণ ১ : চিত্র ৩.৩-এ $x$ পরিমাপ নির্ণয় করো।

সমাধান:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( কেন?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

এগুলো চেষ্টা করো

একটি সুষম ষড়ভুজ নাও চিত্র ৩.৪।

১. এর বহিঃস্থ কোণগুলোর পরিমাপের সমষ্টি কত $x, y, z, p, q, r$ ?

২. $x=y=z=p=q=r$ কি? কেন?

৩. প্রতিটির পরিমাপ কত?

(i) বহিঃস্থ কোণ

(ii) অন্তঃস্থ কোণ

৪. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রগুলোর জন্য এই কার্যকলাপ পুনরাবৃত্তি করো

(i) একটি সুষম অষ্টভুজ

(ii) একটি সুষম ২০-ভুজ

চিত্র ৩.৪

উদাহরণ ২ : একটি সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা নির্ণয় করো যার প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ $45^{\circ}$।

সমাধান সমস্ত বহিঃস্থ কোণের মোট পরিমাপ $=360^{\circ}$

প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ $=45^{\circ}$

অতএব, বহিঃস্থ কোণের সংখ্যা $=\frac{360}{45}=8$

বহুভুজটির ৮টি বাহু রয়েছে।

অনুশীলনী ৩.২

১. নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে $x$ নির্ণয় করো।

(ক)

(খ)

২. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ নির্ণয় করো যার (i) ৯টি বাহু (ii) ১৫টি বাহু

৩. একটি সুষম বহুভুজের কতগুলি বাহু আছে যদি একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ $24^{\circ}$ হয়?

৪. একটি সুষম বহুভুজের কতগুলি বাহু আছে যদি এর প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ $165^{\circ}$ হয়?

৫. (ক) প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাপ $22^{\circ}$ এমন একটি সুষম বহুভুজ থাকা কি সম্ভব?

(খ) এটি কি একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ হতে পারে? কেন?

৬. (ক) একটি সুষম বহুভুজের জন্য সম্ভাব্য সর্বনিম্ন অন্তঃস্থ কোণ কত? কেন?

(খ) একটি সুষম বহুভুজের জন্য সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বহিঃস্থ কোণ কত?

৩.৩ চতুর্ভুজের প্রকারভেদ

একটি চতুর্ভুজের বাহু বা কোণের প্রকৃতির উপর ভিত্তি করে, এটি বিশেষ নাম পায়।

৩.৩.১ ট্রাপিজিয়াম

ট্রাপিজিয়াম হল একটি চতুর্ভুজ যার একজোড়া বাহু সমান্তরাল।

এগুলো ট্রাপিজিয়াম $\hspace{20 mm}$ এগুলো ট্রাপিজিয়াম নয়

উপরের চিত্রগুলো অধ্যয়ন করো এবং তোমার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করো কেন তাদের মধ্যে কিছু ট্রাপিজিয়াম আবার কিছু ট্রাপিজিয়াম নয়। (দ্রষ্টব্য: \to চিহ্নগুলি সমান্তরাল রেখা নির্দেশ করে)।

এটি করো

১. $3 cm, 4 cm, 5 cm$ বাহুবিশিষ্ট সর্বসম ত্রিভুজের অভিন্ন কাট-আউট নাও। সেগুলো চিত্র ৩.৫-এ দেখানো হিসাবে সাজাও।

চিত্র ৩.৫

তুমি একটি ট্রাপিজিয়াম পাবে। (এটি যাচাই করো!) এখানে সমান্তরাল বাহুগুলো কোনগুলো? অ-সমান্তরাল বাহুগুলো কি সমান হওয়া উচিত?

তুমি একই সেট ত্রিভুজ ব্যবহার করে আরও দুটি ট্রাপিজিয়াম পেতে পারো। সেগুলো খুঁজে বের করো এবং তাদের আকার নিয়ে আলোচনা করো।

২. তোমার এবং তোমার বন্ধুর যন্ত্র বাক্স থেকে চারটি সেট-স্কোয়ার নাও। সেগুলোকে পাশাপাশি রাখতে এবং বিভিন্ন ট্রাপিজিয়াম পেতে বিভিন্ন সংখ্যক সেট-স্কোয়ার ব্যবহার করো।

যদি একটি ট্রাপিজিয়ামের অ-সমান্তরাল বাহুগুলো সমান দৈর্ঘ্যের হয়, আমরা তাকে একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলি। উপরে দেওয়া তোমার তদন্তগুলোর মধ্যে কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম পেয়েছ কি?

৩.৩.২ ঘুড়ি

ঘুড়ি হল একটি চতুর্ভুজের একটি বিশেষ ধরন। প্রতিটি চিত্রে একই চিহ্নযুক্ত বাহুগুলো সমান। উদাহরণস্বরূপ $AB=AD$ এবং $BC=CD$।

এগুলো ঘুড়ি $\hspace{30 mm}$ এগুলো ঘুড়ি নয়

এই চিত্রগুলো অধ্যয়ন করো এবং একটি ঘুড়ি কী তা বর্ণনা করার চেষ্টা করো। লক্ষ্য করো যে

(i) একটি ঘুড়ির ৪টি বাহু রয়েছে (এটি একটি চতুর্ভুজ)।

(ii) সমান দৈর্ঘ্যের ঠিক দুটি স্বতন্ত্র পরপর বাহু জোড়া রয়েছে।

একটি বর্গক্ষেত্র একটি ঘুড়ি কিনা তা যাচাই করো।

এটি করো

একটি মোটা সাদা কাগজ নাও।

কাগজটি একবার ভাঁজ করো।

চিত্র ৩.৬-এ দেখানো হিসাবে বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের দুটি রেখাংশ আঁকো।

রেখাংশ বরাবর কেটে খুলে দাও।

তোমার একটি ঘুড়ির আকার হয়েছে (চিত্র ৩.৬)।

ঘুড়ির কি কোনো রেখা প্রতিসাম্য আছে?

চিত্র ৩.৬

ঘুড়ির উভয় কর্ণ ভাঁজ করো। সেট-স্কোয়ার ব্যবহার করে যাচাই করো যে তারা কি সমকোণে ছেদ করে। কর্ণগুলো কি দৈর্ঘ্যে সমান?

যাচাই করো (কাগজ ভাঁজ করে বা পরিমাপ করে) কর্ণগুলো কি একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ঘুড়ির একটি কোণকে এর বিপরীতে ভাঁজ করে, সমান পরিমাপের কোণের জন্য পরীক্ষা করো।

কর্ণের ভাঁজগুলো লক্ষ্য করো; তারা কি কোনো কর্ণকে কোণ সমদ্বিখণ্ডক হিসাবে নির্দেশ করে?

অন্যদের সাথে তোমার ফলাফল শেয়ার করো এবং সেগুলো তালিকাভুক্ত করো। এই ফলাফলগুলোর একটি সারসংক্ষেপ অধ্যায়ের অন্যত্র তোমার রেফারেন্সের জন্য দেওয়া আছে।

প্রমাণ করো যে $\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$ সর্বসম। এ থেকে আমরা কী অনুমান করি?

চিত্র ৩.৭

৩.৩.৩ সামান্তরিক

একটি সামান্তরিক হল একটি চতুর্ভুজ। নামটি যেমন ইঙ্গিত করে, এর সমান্তরাল রেখার সাথে কিছু সম্পর্ক রয়েছে।

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

এগুলো সামান্তরিক $\hspace{20 mm}$ এগুলো সামান্তরিক নয়

এই চিত্রগুলো অধ্যয়ন করো এবং একটি সামান্তরিক বলতে আমরা কী বুঝি তা তোমার নিজের ভাষায় বর্ণনা করার চেষ্টা করো। তোমার পর্যবেক্ষণ বন্ধুদের সাথে শেয়ার করো।

একটি আয়তক্ষেত্রও একটি সামান্তরিক কিনা তা যাচাই করো।

এটি করো

বিভিন্ন প্রস্থের দুটি ভিন্ন আয়তাকার কার্ডবোর্ড স্ট্রিপ নাও (চিত্র ৩.৮)।

স্ট্রিপ ১ $\hspace{40 mm}$ স্ট্রিপ ২

একটি স্ট্রিপকে অনুভূমিকভাবে রাখো এবং এর প্রান্ত বরাবর রেখা আঁকো যেমন চিত্রে আঁকা হয়েছে (চিত্র ৩.৯)।

এখন অন্য স্ট্রিপটিকে আঁকা রেখাগুলোর উপর তির্যক অবস্থানে রাখো এবং এটি ব্যবহার করে আরও দুটি রেখা আঁকো যেমন দেখানো হয়েছে (চিত্র ৩.১০)।

চিত্র ৩.৯

এই চারটি রেখা একটি চতুর্ভুজকে আবদ্ধ করে। এটি সমান্তরাল রেখার দুটি জোড়া দিয়ে তৈরি (চিত্র ৩.১১)।

চিত্র ৩.১০ $\hspace{40 mm}$ চিত্র ৩.১১

এটি একটি সামান্তরিক।

একটি সামান্তরিক হল একটি চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল।

৩.৩.৪ একটি সামান্তরিকের উপাদান

একটি সামান্তরিকে চারটি বাহু এবং চারটি কোণ রয়েছে। এগুলোর কিছু সমান। এই উপাদানগুলোর সাথে সম্পর্কিত কিছু পরিভাষা রয়েছে যা তোমাকে মনে রাখতে হবে।

একটি সামান্তরিক $ABCD$ দেওয়া আছে (চিত্র ৩.১২)।

চিত্র ৩.১২

$\overline{AB}$ এবং $\overline{DC}$, বিপরীত বাহু। $\overline{AD}$ এবং $\overline{BC}$ বিপরীত বাহুর আরেকটি জোড়া গঠন করে।

$\angle A$ এবং $\angle C$ বিপরীত কোণের একটি জোড়া; বিপরীত কোণের আরেকটি জোড়া হবে $\angle B$ এবং $\angle D$।

$\overline{AB}$ এবং $\overline{BC}$ সন্নিহিত বাহু। এর অর্থ, একটি বাহু যেখানে শেষ হয় সেখানে অন্য বাহুটি শুরু হয়। $\overline{BC}$ এবং $\overline{CD}$ও কি সন্নিহিত বাহু? আরও দুটি জোড়া সন্নিহিত বাহু খুঁজে বের করার চেষ্টা করো।

$\angle A$ এবং $\angle B$ সন্নিহিত কোণ। তারা একই বাহুর প্রান্তে অবস্থিত। $\angle B$ এবং $\angle C$ও সন্নিহিত। সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণের অন্যান্য জোড়া চিহ্নিত করো।

এটি করো

দুটি অভিন্ন সামান্তরিকের কাট-আউট নাও, ধরা যাক $A B C D$ এবং $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (চিত্র ৩.১৩)।

এখানে $\overline{AB}$ নাম ছাড়া $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ এর মতোই। একইভাবে অন্যান্য অনুরূপ বাহুগুলিও সমান।

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ কে $\overline{DC}$ এর উপর রাখো। তারা কি মিলে যায়? এখন তুমি $\overline{AB}$ এবং $\overline{DC}$ দৈর্ঘ্য সম্পর্কে কী বলতে পারো?

একইভাবে $\overline{AD}$ এবং $\overline{BC}$ দৈর্ঘ্য পরীক্ষা করো। তুমি কী খুঁজে পেলে?

তুমি $\overline{AB}$ এবং $\overline{DC}$ পরিমাপ করেও এই ফলাফলে পৌঁছাতে পারো।

ধর্ম: একটি সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান দৈর্ঘ্যের।

এগুলো চেষ্টা করো

$30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ কোণ বিশিষ্ট দুটি অভিন্ন সেট-স্কোয়ার নাও এবং একটি সামান্তরিক গঠন করতে সেগুলোকে সন্নিহিতভাবে রাখো যেমন চিত্র ৩.১৪-এ দেখানো হয়েছে। এটি কি উপরের ধর্মটি যাচাই করতে তোমাকে সাহায্য করে?

তুমি যৌক্তিক যুক্তির মাধ্যমেও এই ধারণাটিকে আরও শক্তিশালী করতে পারো।

একটি সামান্তরিক ABCD বিবেচনা করো (চিত্র ৩.১৫)। যেকোনো একটি কর্ণ আঁকো, ধরা যাক $\overline{AC}$।

চিত্র ৩.১৫

চিত্র ৩.১৪

কোণগুলোর দিকে তাকিয়ে,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ এবং } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (কেন?) } $

যেহেতু ত্রিভুজ $ABC$ এবং $ADC, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$-এ

এবং $\overline{AC}$ সাধারণ, তাই, ASA সর্বসমতার শর্ত অনুসারে,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (এখানে ASA কীভাবে ব্যবহৃত হয়েছে?)

এটি দেয়

$ AB=DC \text{ এবং } BC=AD \text{. } $

উদাহরণ ৩ : সামান্তরিক PQRS-এর পরিসীমা নির্ণয় করো (চিত্র ৩.১৬)।

সমাধান একটি সামান্তরিকে, বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান।

অতএব, $PQ=SR=12 cm$ এবং $QR=PS=7 cm$

সুতরাং, পরিসীমা $=PQ+QR+RS+SP$

$ =12 cm+7 cm+12 cm+7 cm=38 cm $

৩.৩.৫ একটি সামান্তরিকের কোণ

চিত্র ৩.১৬

আমরা (বিপরীত) বাহু সম্পর্কিত সামান্তরিকের একটি ধর্ম অধ্যয়ন করেছি। কোণ সম্পর্কে আমরা কী বলতে পারি?

এটি করো

ধরা যাক $ABCD$ একটি সামান্তরিক (চিত্র ৩.১৭)। এটি একটি ট্রেসিং শীটে অনুলিপি করো। এই অনুলিপিটির নাম দাও $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$। $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ কে $A B C D$ এর উপর রাখো। কর্ণগুলো যেখানে মিলিত হয় সেই বিন্দুতে পিন দিয়ে একসাথে আটকাও। স্বচ্ছ শীটটিকে $180^{\circ}$ দ্বারা ঘোরাও। সামান্তরিকগুলি এখনও মিলে যায়; কিন্তু তুমি এখন দেখতে পাবে $A^{\prime}$ ঠিক $C$ এর উপর পড়ে আছে এবং তদ্বিপরীত; একইভাবে $B^{\prime}$ $D$ এর উপর পড়ে আছে এবং তদ্বিপরীত।

চিত্র ৩.১৭

এটি কি তোমাকে A এবং C কোণের পরিমাপ সম্পর্কে কিছু বলে? B এবং D কোণের জন্য একই পরীক্ষা করো। তোমার ফলাফলগুলি উল্লেখ করো।

ধর্ম: একটি সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলোর পরিমাপ সমান।

এগুলো চেষ্টা করো

দুটি অভিন্ন $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ সেট-স্কোয়ার নাও এবং আগের মতো একটি সামান্তরিক গঠন করো। প্রাপ্ত চিত্রটি কি উপরের ধর্মটি নিশ্চিত করতে তোমাকে সাহায্য করে?

তুমি যৌক্তিক যুক্তির মাধ্যমে এই ধারণাটিকে আরও ন্যায়সঙ্গত করতে পারো।

যদি $\overline{AC}$ এবং $\overline{BD}$ সামান্তরিকের কর্ণ হয়, (চিত্র ৩.১৮) তুমি দেখতে পাবে যে

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ এবং } \quad \angle 3=\angle 4 \quad \text{ (কেন?) } $

চিত্র ৩.১৮

$\triangle ABC$ এবং $\triangle ADC$ (চিত্র ৩.১৯) আলাদাভাবে অধ্যয়ন করলে, তোমাকে দেখতে সাহায্য করবে যে ASA সর্বসমতার শর্ত অনুসারে,

$ \Delta ABC \cong \Delta CDA(\text{ কীভাবে?) } $

চিত্র ৩.১৯

এটি দেখায় যে $\angle B$ এবং $\angle D$ এর পরিমাপ সমান। একইভাবে তুমি $m \angle A=m \angle C$ পেতে পারো।

বিকল্পভাবে, $\angle 1=\angle 2$ এবং $\angle 3=\angle 4$, আমাদের আছে, $m \angle A=\angle 1+\angle 4=\angle 2+\angle C m \angle C$

উদাহরণ ৪ : চিত্র ৩.২০-এ, BEST একটি সামান্তরিক। $x, y$ এবং $z$ মানগুলি নির্ণয় করো।

সমাধান $S$ হল $B$ এর বিপরীত।

সুতরাং,

$ \begin{aligned} & x=100^{\circ}(\text{ বিপরীত কোণ ধর্ম) } \\ & y=100^{\circ} \quad(\text{ } \angle x \text{ এর অনুরূপ কোণের পরিমাপ) } \\ & z=80^{\circ} \quad(\text{ যেহেতু } \angle y, \angle z \text{ একটি রৈখিক জোড়া) } \end{aligned} $

আমরা এখন একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণের দিকে মনোযোগ দিই। সামান্তরিক $ABCD$-এ, (চিত্র ৩.২১)।

$\angle A$ এবং $\angle D$ সম্পূরক যেহেতু $\overline{DC} | \overline{AB}$ এবং $\overline{DA}$ ছেদকের সাথে, এই দুটি কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত।

$\angle A$ এবং $\angle B$ও সম্পূরক। তুমি ‘কেন’ বলতে পারো?

চিত্র ৩.২১

$\overline{AD} | \overline{BC}$ এবং $\overline{BA}$ একটি ছেদক, $\angle A$ এবং $\angle B$ কে অন্তঃস্থ বিপরীত করে।

চিত্র থেকে সম্পূরক কোণের আরও দুটি জোড়া চিহ্নিত করো।

ধর্ম: একটি সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলো সম্পূরক।

উদাহরণ ৫ : একটি সামান্তরিক RING-এ, (চিত্র ৩.২২) যদি $m \angle R=70^{\circ}$ হয়, অন্য সমস্ত কোণ নির্ণয় করো।

সমাধান দেওয়া আছে $m \angle R=70^{\circ}$

তাহলে

$ m \angle N=70^{\circ} $

কারণ $\angle R$ এবং $\angle N$ একটি সামান্তরিকের বিপরীত কোণ।

যেহেতু $\angle R$ এবং $\angle I$ সম্পূরক,

$ m \angle I=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} $

চিত্র ৩.২২

এছাড়াও, $m \angle G=110^{\circ}$ যেহেতু $\angle G$ হল $\angle I$ এর বিপরীত

সুতরাং, $m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ এবং $m \angle I=m \angle G=110^{\circ}$

চিন্তা করো, আলোচনা করো এবং লিখো

$m \angle R=m \angle N=70^{\circ}$ দেখানোর পরে, তুমি কি অন্য কোনো পদ্ধতি দ্বারা $m \angle I$ এবং $m \angle G$ খুঁজে পেতে পারো?

৩.৩.৬ একটি সামান্তরিকের কর্ণ

একটি সামান্তরিকের কর্ণগুলো, সাধারণভাবে, সমান দৈর্ঘ্যের নয়। (তুমি কি এটি তোমার পূর্ববর্তী কার্যকলাপে যাচাই করেছ?) যাইহোক, একটি সামান্তরিকের কর্ণগুলোর একটি আকর্ষণীয় ধর্ম রয়েছে।

এটি করো

একটি সামান্তরিকের একটি কাট-আউট নাও, ধরা যাক, $ABCD$ (চিত্র ৩.২৩)। এর কর্ণ $\overline{AC}$ এবং $\overline{DB}$ $O$ বিন্দুতে মিলিত হোক। চিত্র $\mathbf{3 . 2 3}$

$\overline{AC}$ এর মধ্যবিন্দু একটি ভাঁজ দ্বারা খুঁজে বের করো, $C$ কে $A$ এর উপর রেখে। মধ্যবিন্দুটি কি $O$ এর মতোই?

এটি কি দেখায় যে কর্ণ $\overline{DB}$ কর্ণ $\overline{AC}$ কে $O$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে? এটি তোমার বন্ধুদের সাথে আলোচনা করো। $\overline{DB}$ এর মধ্যবিন্দু কোথায় থাকতে পারে তা খুঁজে বের করতে কার্যকলাপটি পুনরাবৃত্তি করো।

ধর্ম: একটি সামান্তরিকের কর্ণগুলো একে অপরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে (অবশ্যই তাদের ছেদ বিন্দুতে!)

এই ধর্মটি যুক্তি দিয়ে এবং ন্যায়সঙ্গত করা খুব কঠিন নয়। চিত্র ৩.২৪ থেকে, ASA মানদণ্ড প্রয়োগ করে, এটি দেখা সহজ যে

$\triangle AOB \cong \triangle COD$ (এখানে ASA কীভাবে ব্যবহৃত হয়েছে?)

চিত্র ৩.২৪

এটি দেয় $\quad AO=CO$ এবং $BO=DO$

উদাহরণ ৬ : চিত্র ৩.২৫-এ HELP একটি সামান্তরিক। (দৈর্ঘ্য সেমি-তে)। দেওয়া আছে যে $OE=4$ এবং $HL$ হল PE এর চেয়ে 5 বেশি? $OH$ নির্ণয় করো।

সমাধান : যদি $OE=4$ হয় তাহলে $OP$ও 4 (কেন?)

সুতরাং

$PE=8$,

অতএব

$HL=8+5=13$

সুতরাং

$ OH=\frac{1}{2} \times 13=6.5(সেমি) $

(কেন?)

চিত্র ৩.২৫

অনুশীলনী ৩.৩

১. একটি সামান্তরিক $ABCD$ দেওয়া আছে। সংজ্ঞা বা ধর্ম ব্যবহার করে প্রতিটি বিবৃতি সম্পূর্ণ করো। (i) $AD=$ (ii) $\angle DCB=$ (iii) $OC=$ (iv) $m \angle DAB+m \angle CDA=$

২. নিম্নলিখিত সামান্তরিকগুলি বিবেচনা করো। অজানা $x, y, z$ এর মানগুলি নির্ণয় করো।

(i) (ii)

(iii)

(iv)

(v)

৩. একটি চতুর্ভুজ $ABCD$ কি একটি সামান্তরিক হতে পারে যদি (i) $\angle D+\angle B=180^{\circ}$ হয়? (ii) $AB=DC=8 cm, AD=4 cm$ এবং $BC=4.4 cm$ হয়? (iii) $\angle A=70^{\circ}$ এবং $\angle C=65^{\circ}$ হয়?

৪. একটি চতুর্ভুজের একটি রুক্ষ চিত্র আঁকো যা একটি সামান্তরিক নয় কিন্তু যার ঠিক দুটি বিপরীত কোণ সমান পরিমাপের।

৫. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের পরিমাপের অনুপাত $3: 2$। সামান্তরিকের প্রতিটি কোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

৬. একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের পরিমাপ সমান। সামান্তরিকের প্রতিটি কোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

৭. সন্নিহিত চিত্র HOPE একটি সামান্তরিক। কোণ পরিমাপ $x, y$ এবং $z$ নির্ণয় করো। সেগুলো খুঁজে বের করতে তুমি যে ধর্মগুলি ব্যবহার করো তা উল্লেখ করো।

৮. নিম্নলিখিত চিত্র GUNS এবং RUNS সামান্তরিক। $x$ এবং $y$ নির্ণয় করো। (দৈর্ঘ্য $cm$-এ)

(i)

(ii)

৯.

উপরের চিত্রে RISK এবং CLUE উভয়ই সামান্তরিক। $x$ এর মান নির্ণয় করো।

১০. ব্যাখ্যা করো কিভাবে এই চিত্রটি একটি ট্রাপিজিয়াম। এর দুটি বাহুর মধ্যে কোনগুলো সমান্তরাল? (চিত্র ৩.২৬)

চিত্র ৩.২৬

চিত্র ৩.২৭

১১. চিত্র ৩.২৭-এ $m \angle C$ নির্ণয় করো যদি $\overline{AB} | \overline{DC}$ হয়।

১২. চিত্র ৩.২৮-এ $\angle P$ এবং $\angle S$ এর পরিমাপ নির্ণয় করো যদি $\overline{SP} | \overline{RQ}$ হয়। (যদি তুমি $m \angle R$ খুঁজে পাও, $m \angle P$ খুঁজে বের করার একাধিক পদ্ধতি আছে কি?)

৩.৪ কিছু বিশেষ সামান্তর