3.1 పరిచయం

కాగితం ఒక సమతల ఉపరితలానికి నమూనా అని మీకు తెలుసు. మీరు కాగితం నుండి పెన్సిల్ను ఎత్తకుండా (మరియు ఏక బిందువులను మినహాయించి గీతలో ఏ భాగాన్నీ మళ్లీ గీయకుండా) అనేక బిందువులను కలిపినప్పుడు, మీకు ఒక సమతల వక్రం లభిస్తుంది.

3.1.1 కుంభాకార మరియు కోణాకార బహుభుజులు

కేవలం రేఖా ఖండాలతో మాత్రమే ఏర్పడిన ఒక సరళ మూసిన వక్రాన్ని బహుభుజి అంటారు.

బహుభుజులు అయిన వక్రాలు $\hspace{30 mm}$ బహుభుజులు కాని వక్రాలు

ఇక్కడ కొన్ని కుంభాకార బహుభుజులు మరియు కొన్ని కోణాకార బహుభుజులు ఉన్నాయి. (Fig 3.1)

కుంభాకార బహుభుజులు $\hspace{40 mm}$ కోణాకార బహుభుజులు

ఈ రకాల బహుభుజులు ఒకదాని నుండి ఒకటి ఎలా భిన్నంగా ఉంటాయో మీరు కనుగొనగలరా? కుంభాకారంగా ఉండే బహుభుజులలో వాటి కర్ణాలు వాటి బాహ్య భాగాలలో ఉండవు లేదా బహుభుజి లోపలి భాగంలో ఏవైనా రెండు విభిన్న బిందువులను కలిపే ఏదైనా రేఖా ఖండం, బహుభుజి లోపలి భాగంలో పూర్తిగా ఉంటుంది. ఇది కోణాకార బహుభుజులకు సత్యమేనా? ఇవ్వబడిన పటాలను అధ్యయనం చేయండి. అప్పుడు కుంభాకార బహుభుజి అంటే ఏమిటి మరియు కోణాకార బహుభుజి అంటే ఏమిటి అని మన సొంత మాటల్లో వివరించడానికి ప్రయత్నించండి. ప్రతి రకానికి రెండు సుమారు చిత్రాలను గీయండి.

ఈ తరగతిలో మన పనిలో, మనం కేవలం కుంభాకార బహుభుజులతో మాత్రమే వ్యవహరిస్తాము.

3.1.2 సమబహుభుజులు మరియు విషమ బహుభుజులు

ఒక సమబహుభుజి ‘సమకోణ’ మరియు ‘సమభుజ’ రెండూ అయి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఒక చతురస్రానికి సమాన పొడవు భుజాలు మరియు సమాన కోణాల కొలతలు ఉంటాయి. అందువల్ల అది ఒక సమబహుభుజి. ఒక దీర్ఘచతురస్రం సమకోణం కానీ సమభుజం కాదు. దీర్ఘచతురస్రం ఒక సమబహుభుజేనా? సమబాహు త్రిభుజం ఒక సమబహుభుజేనా? ఎందుకు?

సమబహుభుజులు $\hspace{40 mm}$ సమబహుభుజులు కాని బహుభుజులు

[గమనిక: $\wedge \neq$ లేదా $\not$ యొక్క ఉపయోగం సమాన పొడవు ఖండాలను సూచిస్తుంది].

మునుపటి తరగతులలో, మీరు సమభుజం కానీ సమకోణం కాని ఏదైనా చతుర్భుజాన్ని చూశారా? మీరు మునుపటి తరగతులలో చూసిన చతుర్భుజ ఆకారాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోండి-దీర్ఘచతురస్రం, చతురస్రం, రాంబస్ మొదలైనవి.

సమబాహు కానీ సమకోణం కాని త్రిభుజం ఉందా?

అభ్యాసం 3.1

1. ఇక్కడ కొన్ని పటాలు ఇవ్వబడ్డాయి.

(1)$\hspace{20 mm}$(2)$\hspace{20 mm}$(3)$\hspace{20 mm}$(4)

(5) $\hspace{20 mm}$ (6)$\hspace{20 mm}$(7)$\hspace{20 mm}$(8)

కింది ఆధారంగా వాటిలో ప్రతి ఒక్కటిని వర్గీకరించండి.

(a) సరళ వక్రం $\quad$ (b) సరళ మూసిన వక్రం $\quad$ (c) బహుభుజి

(d) కుంభాకార బహుభుజి $\quad$ (e) కోణాకార బహుభుజి

2. సమబహుభుజి అంటే ఏమిటి?

కింది వాటికి సమబహుభుజి పేరును తెలపండి

(i) 3 భుజాలు $\quad$ (ii) 4 భుజాలు $\quad$ (iii) 6 భుజాలు

3.2 బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణాల కొలతల మొత్తం

అనేక సందర్భాలలో బాహ్య కోణాల జ్ఞానం అంతర్గత కోణాలు మరియు భుజాల స్వభావంపై వెలుగు పాడవచ్చు.

ఇది చేయండి

ముక్క చాక్ ఉపయోగించి నేలపై ఒక బహుభుజిని గీయండి. (పటంలో, ఒక పంచభుజి $ABCDE$ చూపబడింది) (Fig 3.2).

మనం కోణాల మొత్తం కొలతను తెలుసుకోవాలి, అనగా, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5$. A వద్ద ప్రారంభించండి. $\overline{AB}$ వెంబడి నడవండి. B చేరుకున్నప్పుడు, మీరు $m \angle 1$ కోణం ద్వారా తిరగాలి, తద్వారా నడవడానికి. $\overline{BC}$ మీరు $C$ వద్ద చేరుకున్నప్పుడు, మీరు $m \angle 2$ కోణం ద్వారా తిరగాలి తద్వారా $\overline{CD}$ వెంబడి నడవడానికి. మీరు ఈ పద్ధతిలో కదలికను కొనసాగిస్తారు, మీరు భుజం ABకి తిరిగి వచ్చే వరకు. మీరు వాస్తవానికి ఒక పూర్తి మలుపు తిరిగి ఉంటారు.

Fig 3.2

అందువల్ల, $m \angle 1+m \angle 2+m \angle 3+m \angle 4+m \angle 5=360^{\circ}$.

బహుభుజికి ఎన్ని భుజాలు ఉన్నా ఇది సత్యం.

అందువల్ల, ఏదైనా బహుభుజి యొక్క బాహ్య కోణాల కొలతల మొత్తం $360^{\circ}$.

ఉదాహరణ 1 : Fig 3.3 లో కొలత $x$ ను కనుగొనండి.

సాధన:

$ \begin{aligned}x+90^{\circ}+50^{\circ}+110^{\circ} & =360^{\circ} \quad( ఎందుకు?) \\ x+250^{\circ} & =360^{\circ} \\ x & =110^{\circ}\end{aligned} $

ప్రయత్నించండి

ఒక సమషడ్భుజి Fig 3.4 ని తీసుకోండి.

1. దాని బాహ్య కోణాల కొలతల మొత్తం ఎంత $x, y, z, p, q, r$ ?

2. $x=y=z=p=q=r$ ఏమిటి? ఎందుకు?

3. ప్రతి ఒక్కటి కొలత ఎంత?

(i) బాహ్య కోణం

(ii) అంతర్గత కోణం

4. ఈ కార్యాచరణను కింది సందర్భాలకు పునరావృతం చేయండి

(i) ఒక సమ అష్టభుజి

(ii) ఒక సమ 20-భుజి

Fig 3.4

ఉదాహరణ 2 : ప్రతి బాహ్య కోణం యొక్క కొలత $45^{\circ}$ ఉన్న ఒక సమబహుభుజి యొక్క భుజాల సంఖ్యను కనుగొనండి.

సాధన అన్ని బాహ్య కోణాల మొత్తం కొలత $=360^{\circ}$

ప్రతి బాహ్య కోణం యొక్క కొలత $=45^{\circ}$

అందువల్ల, బాహ్య కోణాల సంఖ్య $=\frac{360}{45}=8$

బహుభుజికి 8 భుజాలు ఉన్నాయి.

అభ్యాసం 3.2

1. కింది పటాలలో $x$ ను కనుగొనండి.

(a)

(b)

2. కింది వాటి యొక్క ప్రతి బాహ్య కోణం కొలతను కనుగొనండి (i) 9 భుజాలు (ii) 15 భుజాలు

3. ఒక బాహ్య కోణం యొక్క కొలత $24^{\circ}$ అయితే ఒక సమబహుభుజికి ఎన్ని భుజాలు ఉంటాయి?

4. ప్రతి అంతర్గత కోణం $165^{\circ}$ అయితే ఒక సమబహుభుజికి ఎన్ని భుజాలు ఉంటాయి?

5. (a) ప్రతి బాహ్య కోణం యొక్క కొలత $22^{\circ}$ గా ఉండే ఒక సమబహుభుజిని కలిగి ఉండటం సాధ్యమేనా?

(b) ఇది ఒక సమబహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణం కాగలదా? ఎందుకు?

6. (a) ఒక సమబహుభుజికి సాధ్యమయ్యే కనీస అంతర్గత కోణం ఏమిటి? ఎందుకు?

(b) ఒక సమబహుభుజికి సాధ్యమయ్యే గరిష్ట బాహ్య కోణం ఏమిటి?

3.3 చతుర్భుజాల రకాలు

చతుర్భుజం యొక్క భుజాలు లేదా కోణాల స్వభావం ఆధారంగా, దానికి ప్రత్యేక పేర్లు లభిస్తాయి.

3.3.1 సమలంబ చతుర్భుజం

సమలంబ చతుర్భుజం అనేది ఒక జత సమాంతర భుజాలతో కూడిన చతుర్భుజం.

ఇవి సమలంబ చతుర్భుజాలు $\hspace{20 mm}$ ఇవి సమలంబ చతుర్భుజాలు కావు

పై పటాలను అధ్యయనం చేసి, వాటిలో కొన్ని సమలంబ చతుర్భుజాలు అయితే మరికొన్ని ఎందుకు కావు అని మీ స్నేహితులతో చర్చించండి. (గమనిక: \to గుర్తులు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తాయి).

ఇది చేయండి

1. సర్వసమాన త్రిభుజాల యొక్క సర్వసమాన కటౌట్లను తీసుకోండి, భుజాలు $3 cm, 4 cm, 5 cm$. వాటిని చూపిన విధంగా అమర్చండి (Fig 3.5).

Fig 3.5

మీకు ఒక సమలంబ చతుర్భుజం లభిస్తుంది. (దాన్ని తనిఖీ చేయండి!) ఇక్కడ సమాంతర భుజాలు ఏవి? సమాంతరం కాని భుజాలు సమానంగా ఉండాలా?

మీరు అదే సెట్ త్రిభుజాలను ఉపయోగించి మరో రెండు సమలంబ చతుర్భుజాలను పొందవచ్చు. వాటిని కనుగొని వాటి ఆకారాలను చర్చించండి.

2. మీ మరియు మీ స్నేహితుని పరికర పెట్టెల నుండి నాలుగు సెట్-స్క్వేర్లను తీసుకోండి. వాటిని వైపు వైపుగా ఉంచడానికి మరియు వివిధ సమలంబ చతుర్భుజాలను పొందడానికి వాటిలో వివిధ సంఖ్యలను ఉపయోగించండి.

ఒక సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క సమాంతరం కాని భుజాలు సమాన పొడవు కలిగి ఉంటే, మేము దానిని సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజం అని పిలుస్తాము. మీరు పైన ఇవ్వబడిన మీ పరిశోధనలలో ఏదైనా సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజాన్ని పొందారా?

3.3.2 గాలిపటం

గాలిపటం అనేది ఒక ప్రత్యేక రకమైన చతుర్భుజం. ప్రతి పటంలో ఒకే గుర్తులతో ఉన్న భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఉదాహరణకు $AB=AD$ మరియు $BC=CD$.

ఇవి గాలిపటాలు $\hspace{30 mm}$ ఇవి గాలిపటాలు కావు

ఈ పటాలను అధ్యయనం చేసి, గాలిపటం అంటే ఏమిటో వివరించడానికి ప్రయత్నించండి. గమనించండి

(i) గాలిపటానికి 4 భుజాలు ఉంటాయి (ఇది ఒక చతుర్భుజం).

(ii) సరిగ్గా రెండు విభిన్న వరుస జతల సమాన పొడవు భుజాలు ఉంటాయి.

చతురస్రం ఒక గాలిపటం కాదా అని తనిఖీ చేయండి.

ఇది చేయండి

ఒక మందపాటి తెల్ల కాగితాన్ని తీసుకోండి.

కాగితాన్ని ఒకసారి మడవండి.

Fig 3.6 లో చూపిన విధంగా విభిన్న పొడవుల రెండు రేఖా ఖండాలను గీయండి.

రేఖా ఖండాల వెంబడి కత్తిరించి తెరవండి.

మీకు గాలిపటం ఆకారం లభిస్తుంది (Fig 3.6).

గాలిపటానికి ఏదైనా రేఖా సౌష్ఠవం ఉందా?

Fig 3.6

గాలిపటం యొక్క రెండు కర్ణాలను మడవండి. అవి లంబ కోణాలలో ఖండిస్తాయో లేదో తనిఖీ చేయడానికి సెట్-స్క్వేర్ ను ఉపయోగించండి. కర్ణాలు పొడవులో సమానంగా ఉన్నాయా?

కర్ణాలు ఒకదానినొకటి సమద్విఖండన చేస్తాయో లేదో ధృవీకరించండి (కాగితం మడవడం లేదా కొలత ద్వారా).

గాలిపటం యొక్క ఒక కోణాన్ని దాని ఎదురుగా మడవడం ద్వారా, సమాన కొలత కోణాల కోసం తనిఖీ చేయండి.

కర్ణ మడతలను గమనించండి; అవి ఏదైనా కర్ణం కోణ సమద్విఖండన రేఖ అని సూచిస్తాయా?

మీ అన్వేషణలను ఇతరులతో పంచుకోండి మరియు వాటిని జాబితా చేయండి. ఈ ఫలితాల సారాంశం మీ సూచన కోసం అధ్యాయంలో మరెక్కడైనా ఇవ్వబడింది.

$\triangle ABC$ మరియు $\triangle ADC$ సర్వసమానాలు అని చూపించండి. దీని నుండి మనం ఏమి నిర్ధారణకు వస్తాము?

Fig 3.7

3.3.3 సమాంతర చతుర్భుజం

సమాంతర చతుర్భుజం ఒక చతుర్భుజం. పేరు సూచించినట్లుగా, దీనికి సమాంతర రేఖలతో ఏదో సంబంధం ఉంది.

$\overline{QP} | \overline{SR}$ $\overline{QS} | \overline{PR}$

ఇవి సమాంతర చతుర్భుజాలు $\hspace{20 mm}$ ఇవి సమాంతర చతుర్భుజాలు కావు

ఈ పటాలను అధ్యయనం చేసి, సమాంతర చతుర్భుజం అంటే మనం ఏమి అర్థం చేసుకుంటామో మీ సొంత మాటల్లో వివరించడానికి ప్రయత్నించండి. మీ పరిశీలనలను మీ స్నేహితులతో పంచుకోండి.

దీర్ఘచతురస్రం కూడా ఒక సమాంతర చతుర్భుజమేనా అని తనిఖీ చేయండి.

ఇది చేయండి

విభిన్న వెడల్పుల రెండు విభిన్న దీర్ఘచతురస్రాకార కార్డ్బోర్డ్ పట్టీలను తీసుకోండి (Fig 3.8).

పట్టీ 1 $\hspace{40 mm}$ పట్టీ 2

ఒక పట్టీని అడ్డంగా ఉంచండి మరియు దాని అంచు వెంబడి పటంలో గీయబడిన విధంగా రేఖలను గీయండి (Fig 3.9).

ఇప్పుడు మరొక పట్టీని వంపుగా గీయబడిన రేఖలపై ఉంచండి మరియు చూపిన విధంగా మరో రెండు రేఖలను గీయడానికి దీన్ని ఉపయోగించండి (Fig 3.10).

Fig 3.9

ఈ నాలుగు రేఖలు ఒక చతుర్భుజాన్ని చుట్టుముట్టాయి. ఇది రెండు జతల సమాంతర రేఖలతో రూపొందించబడింది (Fig 3.11).

Fig 3.10 $\hspace{40 mm}$ Fig 3.11

ఇది ఒక సమాంతర చతుర్భుజం.

సమాంతర చతుర్భుజం అనేది ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరంగా ఉండే చతుర్భుజం.

3.3.4 సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క అంశాలు

సమాంతర చతుర్భుజంలో నాలుగు భుజాలు మరియు నాలుగు కోణాలు ఉంటాయి. వీటిలో కొన్ని సమానంగా ఉంటాయి. ఈ అంశాలతో సంబంధం ఉన్న కొన్ని పదాలు మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.

ఒక సమాంతర చతుర్భుజం $ABCD$ (Fig 3.12) ఇవ్వబడింది.

Fig 3.12

$\overline{AB}$ మరియు $\overline{DC}$, ఎదురెదురు భుజాలు. $\overline{AD}$ మరియు $\overline{BC}$ మరొక జత ఎదురెదురు భుజాలను ఏర్పరుస్తాయి.

$\angle A$ మరియు $\angle C$ ఒక జత ఎదురెదురు కోణాలు; మరొక జత ఎదురెదురు కోణాలు $\angle B$ మరియు $\angle D$ అవుతాయి.

$\overline{AB}$ మరియు $\overline{BC}$ ఆసన్న భుజాలు. దీని అర్థం, ఒక భుజం మరొకటి ముగిసే చోట ప్రారంభమవుతుంది. $\overline{BC}$ మరియు $\overline{CD}$ కూడా ఆసన్న భుజాలేనా? మరో రెండు జతల ఆసన్న భుజాలను కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి.

$\angle A$ మరియు $\angle B$ ఆసన్న కోణాలు. అవి ఒకే భుజం చివరల్లో ఉంటాయి. $\angle B$ మరియు $\angle C$ కూడా ఆసన్నాలు. సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఇతర జతల ఆసన్న కోణాలను గుర్తించండి.

ఇది చేయండి

రెండు సర్వసమాన సమాంతర చతుర్భుజాల కటౌట్లను తీసుకోండి, అంటే $A B C D$ మరియు $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (Fig 3.13).

ఇక్కడ $\overline{AB}$ పేరును మినహాయించి $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ తో సమానం. అదేవిధంగా ఇతర సంబంధిత భుజాలు కూడా సమానంగా ఉంటాయి.

$\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ ని $\overline{DC}$ పై ఉంచండి. అవి ఏకీభవిస్తాయా? ఇప్పుడు మీరు పొడవులు $\overline{AB}$ మరియు $\overline{DC}$ గురించి ఏమి చెప్పగలరు?

అదేవిధంగా పొడవులు $\overline{AD}$ మరియు $\overline{BC}$ ను పరిశీలించండి. మీరు ఏమి కనుగొంటారు?

మీరు $\overline{AB}$ మరియు $\overline{DC}$ లను కొలవడం ద్వారా కూడా ఈ ఫలితానికి రావచ్చు.

గుణం: సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఎదురెదురు భుజాలు సమాన పొడవు కలిగి ఉంటాయి.

ప్రయత్నించండి

కోణాలు $30^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}$ ఉన్న రెండు సర్వసమాన సెట్-స్క్వేర్లను తీసుకొని Fig 3.14 లో చూపిన విధంగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ఏర్పరచడానికి వాటిని ఆసన్నంగా ఉంచండి. ఇది పై గుణాన్ని ధృవీకరించడంలో మీకు సహాయపడుతుందా?

మీరు తార్కిక వాదన ద్వారా ఈ ఆలోచనను మరింత బలోపేతం చేయవచ్చు.

ఒక సమాంతర చతుర్భుజం ABCD (Fig 3.15) ను పరిగణించండి. ఏదైనా ఒక కర్ణాన్ని గీయండి, అంటే $\overline{AC}$.

Fig 3.15

Fig 3.14

కోణాలను చూస్తే,

$ \angle 1=\angle 2 \quad \text{ మరియు } \quad \angle 3=\angle 4 \text{ (ఎందుకు?) } $

త్రిభుజాలు $ABC$ మరియు $ADC, \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$ లలో

మరియు $\overline{AC}$ సామాన్యం, కాబట్టి, ASA సర్వసమానతా నియమం ప్రకారం,

$\triangle ABC \cong \triangle CDA$ (ASA ఇక్కడ ఎలా ఉపయోగించబడింది?)

ఇది ఇస్తుంది

$ AB=DC \text{ మరియు } BC=AD \text{. } $

ఉదాహరణ 3 : సమాంతర చతుర్భుజం PQRS (Fig 3.16) యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

సాధన