2.1 تعارف

پچھلی جماعتوں میں، آپ کئی الجبرائی عبارات اور مساواتوں سے واقف ہو چکے ہیں۔

ہم نے اب تک جن عبارات پر کام کیا ہے ان کی کچھ مثالیں یہ ہیں:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

مساواتوں کی کچھ مثالیں یہ ہیں: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

آپ کو یاد ہوگا کہ مساواتوں میں مساواتی (=) علامت استعمال ہوتی ہے؛ یہ علامت عبارات میں موجود نہیں ہوتی۔

ان دی گئی عبارات میں سے بہت سی میں ایک سے زیادہ متغیر ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر، $2 x y+5$ میں دو متغیر ہیں۔ تاہم، جب ہم مساوات بناتے ہیں تو ہم صرف ایک متغیر والی عبارات تک محدود رہتے ہیں۔ مزید برآں، جو عبارات ہم مساوات بنانے کے لیے استعمال کرتے ہیں وہ لکیری ہوتی ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ متغیر کی سب سے بڑی طاقت جو عبارت میں ظاہر ہوتی ہے وہ 1 ہوتی ہے۔

یہ لکیری عبارتیں ہیں:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

یہ لکیری عبارتیں نہیں ہیں:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ چونکہ متغیر کی سب سے بڑی طاقت }>1) $

یہاں ہم صرف ایک متغیر والی لکیری عبارات پر مشتمل مساواتوں سے نمٹیں گے۔ ایسی مساواتوں کو ایک متغیر میں لکیری مساوات کہا جاتا ہے۔ سادہ مساواتیں جو آپ نے پچھلی جماعتوں میں پڑھی تھیں وہ سب اسی قسم کی تھیں۔

آئیے مختصراً دہرائیں کہ ہم کیا جانتے ہیں:

(الف) ایک الجبرائی مساوات متغیرات پر مشتمل ایک مساوات ہوتی ہے۔ اس میں ایک مساواتی علامت ہوتی ہے۔ مساواتی علامت کے بائیں طرف والی عبارت بائیں ہاتھ کی طرف (LHS) کہلاتی ہے۔ مساواتی علامت کے دائیں طرف والی عبارت دائیں ہاتھ کی طرف (RHS) کہلاتی ہے۔

(ب) ایک مساوات میں، LHS اور RHS پر موجود عبارتوں کی قدریں برابر ہوتی ہیں۔ یہ بات صرف متغیر کی کچھ مخصوص اقدار کے لیے ہی درست ہوتی ہے۔ یہ اقدار مساوات کے حل ہوتی ہیں۔

(ج) مساوات کا حل کیسے تلاش کریں؟

ہم فرض کرتے ہیں کہ مساوات کے دونوں اطراف متوازن ہیں۔ ہم مساوات کے دونوں اطراف پر یکساں ریاضیاتی عمل انجام دیتے ہیں، تاکہ توازن خراب نہ ہو۔ ایسے چند اقدامات سے حل مل جاتا ہے۔ $x=5$ مساوات کا حل ہے

$2 x-3=7$. $x=5$ کے لیے،

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

دوسری طرف $x=10$ مساوات کا حل نہیں ہے۔ $x=10$ کے لیے، LHS $=2 \times 10-3=17$. یہ RHS کے برابر نہیں ہے۔

2.2 ایسی مساواتوں کو حل کرنا جن میں متغیر دونوں اطراف پر ہو

ایک مساوات دو عبارتوں کی قدروں کی برابری ہوتی ہے۔ مساوات $2 x-3=7$ میں، دو عبارتیں $2 x-3$ اور 7 ہیں۔ اب تک ہمارے سامنے آئی ہوئی زیادہ تر مثالوں میں، RHS صرف ایک عدد ہوتا تھا۔ لیکن ایسا ہمیشہ نہیں ہوتا؛ دونوں اطراف پر متغیر والی عبارتیں بھی ہو سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، مساوات $2 x-3=x+2$ میں دونوں اطراف پر متغیر والی عبارتیں ہیں؛ LHS پر موجود عبارت $(2 x-3)$ ہے اور RHS پر موجود عبارت $(x+2)$ ہے۔

• اب ہم اس بات پر بات کرتے ہیں کہ ایسی مساواتوں کو کیسے حل کیا جائے جن میں متغیر دونوں اطراف پر ہو۔

مثال 1 : حل کریں $2 x-3=x+2$

حل: ہمارے پاس ہے

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

یہاں ہم نے مساوات کے دونوں اطراف سے، ایک عدد (مستقل) نہیں، بلکہ متغیر پر مشتمل ایک رکن کو منہا کیا۔ ہم ایسا کر سکتے ہیں کیونکہ متغیر بھی اعداد ہی ہوتے ہیں۔ نیز، نوٹ کریں کہ دونوں اطراف سے $x$ کو منہا کرنا، $x$ کو LHS پر منتقل کرنے کے مترادف ہے۔

مثال 2 : حل کریں $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$

حل: مساوات کے دونوں اطراف کو 2 سے ضرب دیں۔ ہمیں ملتا ہے

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

یا $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

یا $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ (3 x کو LHS پر منتقل کرنا) }) $

یا $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{یا }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{یا }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

یا $\quad x=\frac{-35}{7}$

یا $\quad x=-5 $

مشق 2.1

درج ذیل مساواتوں کو حل کریں اور اپنے نتائج کی جانچ کریں۔

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 مساواتوں کو سادہ تر شکل میں لانا

مثال 16 : حل کریں $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$

حل: مساوات کے دونوں اطراف کو 6 سے ضرب دینے پر،

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ یا

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{یا } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{یا } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (قوسین کھولنا) } \\ \text{یا } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{یا } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{یا } & 11 x+8 = -3 \\ \text{یا } & 11 x = -3-8 \\ \text{یا } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (مطلوبہ حل) } \end{gathered} $

جانچ: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (جیسا مطلوب تھا) } \end{aligned} $

مثال 17 : حل کریں $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$

حل: آئیے قوسین کھولتے ہیں،

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ مساوات ہے } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ یا } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ یا } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{منتقل کرنا } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

لہذا، مطلوبہ حل ہے $x=\frac{5}{2}$۔

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{کیا آپ نے نوٹ کیا کہ ہم نے کیسے} \\ \text{دی گئی مساوات کی شکل کو سادہ کیا؟} \\ \text{یہاں، ہمیں مساوات کے دونوں اطراف کو } \\ \text{مساوات کے عبارتوں میں موجود} \\ \text{مقامات کے ذواضعاف اقل (LCM) سے } \\ \text{ضرب دینا پڑی}\\ \hline \end{array}$

جانچ $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (جیسا مطلوب تھا) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{نوٹ کریں، اس مثال میں ہم} \\ \text{قوسین کھول کر اور دونوں اطراف} \\ \text{پر یکساں رکنوں کو ملا کر} \\ \text{مساوات کو ایک سادہ تر شکل میں } \\ \text{لائے۔}\\ \hline \end{array}$

مشق 2.2

درج ذیل لکیری مساواتوں کو حل کریں۔

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

درج ذیل لکیری مساواتوں کو سادہ کریں اور حل کریں۔

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

ہم نے کیا بحث کی ہے؟

1. ایک الجبرائی مساوات متغیرات پر مشتمل ایک برابری ہوتی ہے۔ یہ کہتی ہے کہ مساواتی علامت کے ایک طرف والی عبارت کی قدر دوسری طرف والی عبارت کی قدر کے برابر ہوتی ہے۔

2. جو مساواتیں ہم جماعت VI، VII اور VIII میں پڑھتے ہیں وہ ایک متغیر میں لکیری مساواتیں ہیں۔ ایسی مساواتوں میں، جو عبارتیں مساوات بناتی ہیں ان میں صرف ایک متغیر ہوتا ہے۔ مزید برآں، مساواتیں لکیری ہوتی ہیں، یعنی مساوات میں ظاہر ہونے والے متغیر کی سب سے بڑی طاقت 1 ہوتی ہے۔

3. ایک مساوات کے دونوں اطراف پر لکیری عبارتیں ہو سکتی ہیں۔ جو مساواتیں ہم نے جماعت VI اور VII میں پڑھی تھیں ان میں مساوات کے ایک طرف صرف ایک عدد ہوتا تھا۔

4. جس طرح اعداد کو، اسی طرح متغیرات کو بھی، مساوات کے ایک طرف سے دوسری طرف منتقل کیا جا سکتا ہے۔

5. کبھی کبھار، مساوات بنانے والی عبارتوں کو عام طریقوں سے حل کرنے سے پہلے سادہ کرنا پڑتا ہے۔ کچھ مساواتیں شروع میں تو لکیری بھی نہیں ہوتیں، لیکن مساوات کے دونوں اطراف کو کسی مناسب عبارت سے ضرب دے کر انہیں لکیری شکل میں لایا جا سکتا ہے۔

6. لکیری مساواتوں کی افادیت ان کے متنوع اطلاقات میں ہے؛ اعداد، عمروں، محیطوں، کرنسی نوٹوں کے مجموعے وغیرہ پر مختلف مسائل کو لکیری مساواتوں کے استعمال سے حل کیا جا سکتا ہے۔