২.১ ভূমিকা

পূর্ববর্তী শ্রেণিগুলোতে, তুমি বেশ কিছু বীজগাণিতিক রাশি ও সমীকরণের সাথে পরিচিত হয়েছ।

এখন পর্যন্ত আমরা যে রাশিগুলো নিয়ে কাজ করেছি তার কিছু উদাহরণ হল:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

সমীকরণের কিছু উদাহরণ হল: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

তুমি নিশ্চয়ই মনে রাখো যে সমীকরণে সমতা (=) চিহ্ন ব্যবহৃত হয়; রাশিতে এটি অনুপস্থিত থাকে।

প্রদত্ত এই রাশিগুলোর মধ্যে অনেকগুলোর একাধিক চলক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, $2 x y+5$ এর দুটি চলক রয়েছে। তবে, আমরা সমীকরণ গঠন করার সময় শুধুমাত্র একটি চলকবিশিষ্ট রাশির ব্যবহার সীমাবদ্ধ রাখি। তাছাড়া, আমরা যে রাশিগুলো ব্যবহার করে সমীকরণ গঠন করি সেগুলো রৈখিক। এর অর্থ হল রাশিতে উপস্থিত চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 1।

এগুলো রৈখিক রাশি:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

এগুলো রৈখিক রাশি নয়:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ যেহেতু চলকের সর্বোচ্চ ঘাত }>1) $

এখানে আমরা শুধুমাত্র এক চলকযুক্ত রৈখিক রাশিবিশিষ্ট সমীকরণ নিয়ে আলোচনা করব। এই ধরনের সমীকরণগুলো এক চলকযুক্ত রৈখিক সমীকরণ নামে পরিচিত। পূর্ববর্তী শ্রেণিগুলোতে তুমি যে সরল সমীকরণগুলো পড়েছ সেগুলো সবই এই ধরনের।

আমরা সংক্ষেপে যা জানি তা পুনরালোচনা করা যাক:

(ক) একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হল চলকবিশিষ্ট একটি সমতা। এতে একটি সমতা চিহ্ন থাকে। সমতা চিহ্নের বাম পাশের রাশিটি হল বামপক্ষ (LHS)। সমতা চিহ্নের ডান পাশের রাশিটি হল ডানপক্ষ (RHS)।

(খ) একটি সমীকরণে বামপক্ষ ও ডানপক্ষের রাশিগুলোর মান সমান হয়। এটি চলকের শুধুমাত্র নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সত্য হয়। এই মানগুলোই হল সমীকরণের সমাধান।

(গ) একটি সমীকরণের সমাধান কীভাবে বের করব?

আমরা ধরে নিই যে সমীকরণের উভয় পক্ষ ভারসাম্যপূর্ণ। আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষে একই গাণিতিক ক্রিয়া সম্পাদন করি, যাতে ভারসাম্য বিঘ্নিত না হয়। এরকম কয়েকটি ধাপ সম্পাদন করলে সমাধান পাওয়া যায়। $x=5$ হল সমীকরণ $2 x-3=7$ এর সমাধান। $x=5$ এর জন্য,

বামপক্ষ $=2 \times 5-3=7=$ ডানপক্ষ

অন্যদিকে $x=10$ হল সমীকরণটির একটি সমাধান নয়। $x=10$ এর জন্য, বামপক্ষ $=2 \times 10-3=17$। এটি ডানপক্ষের সমান নয়।

২.২ উভয় পক্ষে চলকবিশিষ্ট সমীকরণ সমাধান

একটি সমীকরণ হল দুটি রাশির মানের সমতা। $2 x-3=7$ সমীকরণে, দুটি রাশি হল $2 x-3$ এবং 7। এখন পর্যন্ত আমরা যেসব উদাহরণের সম্মুখীন হয়েছি, তার বেশিরভাগ ক্ষেত্রে ডানপক্ষ শুধুমাত্র একটি সংখ্যা। কিন্তু এরকম হওয়া সবসময় জরুরি নয়; উভয় পক্ষেই চলকবিশিষ্ট রাশি থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, $2 x-3=x+2$ সমীকরণের উভয় পক্ষেই চলকবিশিষ্ট রাশি রয়েছে; বামপক্ষের রাশিটি হল $(2 x-3)$ এবং ডানপক্ষের রাশিটি হল $(x+2)$।

• এখন আমরা আলোচনা করব কীভাবে এই ধরনের সমীকরণ সমাধান করতে হয় যেগুলোর উভয় পক্ষে চলকবিশিষ্ট রাশি রয়েছে।

উদাহরণ 1 : সমাধান করো $2 x-3=x+2$

সমাধান: আমাদের আছে

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

এখানে আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে একটি সংখ্যা (ধ্রুবক) নয়, বরং চলকবিশিষ্ট একটি পদ বিয়োগ করেছি। আমরা এটি করতে পারি কারণ চলকগুলিও সংখ্যা। এছাড়াও লক্ষ্য করো যে উভয় পক্ষ থেকে $x$ বিয়োগ করার অর্থ হল $x$ কে বামপক্ষে স্থানান্তরিত করা।

উদাহরণ 2 : সমাধান করো $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$

সমাধান: সমীকরণের উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করো। আমরা পাই

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

অথবা $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

অথবা $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x কে বামপক্ষে স্থানান্তর } ) $

অথবা $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{অথবা }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{অথবা }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

অথবা $\quad x=\frac{-35}{7}$

অথবা $\quad x=-5 $

অনুশীলনী ২.১

নিচের সমীকরণগুলো সমাধান করো এবং তোমার ফলাফল যাচাই করো।

১. $3 x=2 x+18$

২. $5 t-3=3 t-5$

৩. $5 x+9=5+3 x$

৪. $4 z+3=6+2 z$

৫. $2 x-1=14-x$

৬. $8 x+4=3(x-1)+7$

৭. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

৮. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

৯. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

১০. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

২.৩ সমীকরণকে সরল আকারে রূপান্তর

উদাহরণ 16 : সমাধান করো $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$

সমাধান: সমীকরণের উভয় পক্ষকে 6 দ্বারা গুণ করে,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ অথবা

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{অথবা } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{অথবা } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (বন্ধনী খুলে) } \\ \text{অথবা } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{অথবা } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{অথবা } & 11 x+8 = -3 \\ \text{অথবা } & 11 x = -3-8 \\ \text{অথবা } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (প্রয়োজনীয় সমাধান) } \end{gathered} $

যাচাই: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ ডানপক্ষ }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ বামপক্ষ }=\text{ ডানপক্ষ। } \quad \text{ (প্রয়োজনানুসারে) } \end{aligned} $

উদাহরণ 17 : সমাধান করো $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$

সমাধান: আসুন বন্ধনীগুলো খুলি,

$ \begin{array}{ll} \text{ বামপক্ষ }=5 x-4 x+14=x+14 \\ ডানপক্ষ=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ সমীকরণটি হল } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ অথবা } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ অথবা } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{স্থানান্তর } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

অতএব, প্রয়োজনীয় সমাধান হল $x=\frac{5}{2}$।

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{তুমি কি লক্ষ্য করেছ আমরা কীভাবে} \\ \text{প্রদত্ত সমীকরণের আকার সরলীকরণ করেছি?} \\ \text{এখানে, আমাদের সমীকরণের উভয় পক্ষকে} \\ \text{সমীকরণের রাশির পদগুলোর হরগুলোর} \\ \text{লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) দ্বারা} \\ \text{গুণ করতে হয়েছে।}\\ \hline \end{array}$

যাচাই করো $:$ বামপক্ষ $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ ডানপক্ষ }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ বামপক্ষ। (প্রয়োজনানুসারে) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{লক্ষ্য করো, এই উদাহরণে আমরা} \\ \text{বন্ধনী খুলে এবং সমীকরণের উভয় পক্ষের} \\ \text{সদৃশ পদগুলো একত্রিত করে সমীকরণটিকে} \\ \text{একটি সরল আকারে নিয়ে এসেছি।}\\ \hline \end{array}$

অনুশীলনী ২.২

নিচের রৈখিক সমীকরণগুলো সমাধান করো।

১. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

২. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

৩. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

৪. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

৫. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

৬. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

সরলীকরণ করো এবং নিচের রৈখিক সমীকরণগুলো সমাধান করো।

৭. $3(t-3)=5(2 t+1)$

৮. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

৯. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

১০. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

আমরা কী আলোচনা করলাম?

১. একটি বীজগাণিতিক সমীকরণ হল চলকবিশিষ্ট একটি সমতা। এটি বলে যে সমতা চিহ্নের এক পাশের রাশির মান অপর পাশের রাশির মানের সমান।

২. আমরা ষষ্ঠ, সপ্তম ও অষ্টম শ্রেণিতে যে সমীকরণগুলো পড়েছি সেগুলো এক চলকযুক্ত রৈখিক সমীকরণ। এই ধরনের সমীকরণে, সমীকরণ গঠনকারী রাশিগুলোতে শুধুমাত্র একটি চলক থাকে। তাছাড়া, সমীকরণগুলো রৈখিক, অর্থাৎ সমীকরণে উপস্থিত চলকের সর্বোচ্চ ঘাত 1।

৩. একটি সমীকরণের উভয় পাশে রৈখিক রাশি থাকতে পারে। ষষ্ঠ ও সপ্তম শ্রেণিতে আমরা যে সমীকরণগুলো পড়েছি সেগুলোর এক পাশে শুধুমাত্র একটি সংখ্যা ছিল।

৪. ঠিক যেমন সংখ্যাগুলো, চলকগুলোকেও সমীকরণের এক পাশ থেকে অপর পাশে স্থানান্তরিত করা যায়।

৫. মাঝে মাঝে, সমীকরণ গঠনকারী রাশিগুলোকে সাধারণ পদ্ধতিতে সমাধান করার আগে সরলীকরণ করতে হয়। কিছু সমীকরণ শুরুতে রৈখিক নাও হতে পারে, কিন্তু সমীকরণের উভয় পক্ষকে একটি উপযুক্ত রাশি দ্বারা গুণ করে সেগুলোকে রৈখিক আকারে আনা যায়।

৬. রৈখিক সমীকরণের উপযোগিতা এর বহুমুখী প্রয়োগে নিহিত; সংখ্যা, বয়স, পরিসীমা, মুদ্রার নোটের সমন্বয় ইত্যাদি বিভিন্ন সমস্যা রৈখিক সমীকরণ ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।