2.1 పరిచయం

మునుపటి తరగతులలో, మీరు అనేక బీజీయ సమాసాలు మరియు సమీకరణాలను చూశారు.

మేము ఇప్పటివరకు పనిచేసిన సమాసాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

సమీకరణాలకు కొన్ని ఉదాహరణలు: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

సమీకరణాలు సమానత్వ (=) గుర్తును ఉపయోగిస్తాయని మీరు గుర్తుంచుకుంటారు; ఇది సమాసాలలో లేదు.

ఇవ్వబడిన ఈ సమాసాలలో, చాలావరకు ఒకటి కంటే ఎక్కువ చరరాశులను కలిగి ఉంటాయి. ఉదాహరణకు, $2 x y+5$ రెండు చరరాశులను కలిగి ఉంది. అయితే, మేము సమీకరణాలను రూపొందించేటప్పుడు ఒకే ఒక చరరాశితో మాత్రమే ఉండే సమాసాలకు పరిమితం చేస్తాము. ఇంకా, మేము సమీకరణాలను రూపొందించడానికి ఉపయోగించే సమాసాలు రేఖీయంగా ఉంటాయి. దీనర్థం సమాసంలో కనిపించే చరరాశి యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం 1.

ఇవి రేఖీయ సమాసాలు:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

ఇవి రేఖీయ సమాసాలు కావు:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ ఎందుకంటే చరరాశి యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం }>1) $

ఇక్కడ మనం ఒకే చరరాశిలో రేఖీయ సమాసాలతో కూడిన సమీకరణాలను మాత్రమే చూస్తాము. అటువంటి సమీకరణాలను ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు అంటారు. మీరు మునుపటి తరగతులలో చదివిన సాధారణ సమీకరణాలు అన్నీ ఈ రకమైనవే.

మనకు తెలిసిన దానిని సంక్షిప్తంగా రివైజ్ చేద్దాం:

(ఎ) ఒక బీజీయ సమీకరణం అనేది చరరాశులను కలిగి ఉన్న ఒక సమానత్వం. దీనికి ఒక సమానత్వ గుర్తు ఉంటుంది. సమానత్వ గుర్తు యొక్క ఎడమవైపు ఉన్న సమాసం ఎడమచేతి వైపు (LHS). సమానత్వ గుర్తు యొక్క కుడివైపు ఉన్న సమాసం కుడిచేతి వైపు (RHS).

(బి) ఒక సమీకరణంలో LHS మరియు RHS లపై ఉన్న సమాసాల విలువలు సమానంగా ఉంటాయి. ఇది చరరాశి యొక్క కొన్ని నిర్దిష్ట విలువలకు మాత్రమే నిజమవుతుంది. ఈ విలువలు సమీకరణం యొక్క సాధనలు (పరిష్కారాలు).

(సి) ఒక సమీకరణం యొక్క సాధనను ఎలా కనుగొనాలి?

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సమతుల్యత ఉందని మనం భావిస్తాము. సమతుల్యత చెదరకుండా ఉండేలా, మనం సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే గణిత కార్యకలాపాలను చేస్తాము. ఇలా కొన్ని దశలు సాధనను ఇస్తాయి. $x=5$ అనేది సమీకరణం యొక్క సాధన

$2 x-3=7$. $x=5$ కోసం,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

మరోవైపు $x=10$ అనేది సమీకరణానికి సాధన కాదు. $x=10$ కోసం, LHS $=2 \times 10-3=17$. ఇది RHS కు సమానం కాదు

2.2 చరరాశి రెండు వైపులా ఉన్న సమీకరణాలను సాధించడం

ఒక సమీకరణం అనేది రెండు సమాసాల విలువల సమానత్వం. $2 x-3=7$ సమీకరణంలో, ఆ రెండు సమాసాలు $2 x-3$ మరియు 7. మనం ఇప్పటివరకు చూసిన చాలా ఉదాహరణలలో, RHS కేవలం ఒక సంఖ్య మాత్రమే. కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ అలా ఉండవలసిన అవసరం లేదు; రెండు వైపులా చరరాశితో కూడిన సమాసాలు ఉండవచ్చు. ఉదాహరణకు, $2 x-3=x+2$ సమీకరణానికి రెండు వైపులా చరరాశితో కూడిన సమాసాలు ఉన్నాయి; LHS పై ఉన్న సమాసం $(2 x-3)$ మరియు RHS పై ఉన్న సమాసం $(x+2)$.

• ఇప్పుడు మనం ఇలా రెండు వైపులా చరరాశితో కూడిన సమాసాలు ఉన్న సమీకరణాలను ఎలా సాధించాలో చర్చిద్దాం.

ఉదాహరణ 1 : $2 x-3=x+2$ ను సాధించండి

సాధన: మనకు ఉన్నది

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

ఇక్కడ మనం సమీకరణం యొక్క రెండు వైపుల నుండి, ఒక సంఖ్య (స్థిరాంకం) కాకుండా, చరరాశిని కలిగి ఉన్న ఒక పదాన్ని తీసివేసాము. చరరాశులు కూడా సంఖ్యలే కాబట్టి మనం ఇలా చేయవచ్చు. ఇంకా, గమనించండి, రెండు వైపుల నుండి $x$ ను తీసివేయడం అనేది $x$ ను LHS కి తరలించడానికి సమానం.

ఉదాహరణ 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ ను సాధించండి

సాధన: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులను 2 తో గుణించండి. మనకు లభిస్తుంది

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

లేదా $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

లేదా $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x ను LHS కి తరలించడం) } $

లేదా $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{లేదా }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{లేదా }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

లేదా $\quad x=\frac{-35}{7}$

లేదా $\quad x=-5 $

అభ్యాసం 2.1

క్రింది సమీకరణాలను సాధించి, మీ ఫలితాలను సరిచూడండి.

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 సమీకరణాలను సరళ రూపానికి తగ్గించడం

ఉదాహరణ 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ ను సాధించండి

సాధన: సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులను 6 తో గుణించగా,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ లేదా

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{లేదా } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{లేదా } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (బ్రాకెట్లను తెరవడం) } \\ \text{లేదా } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{లేదా } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{లేదా } & 11 x+8 = -3 \\ \text{లేదా } & 11 x = -3-8 \\ \text{లేదా } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (కావలసిన సాధన) } \end{gathered} $

సరిచూడటం: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (కావలసిన విధంగా) } \end{aligned} $

ఉదాహరణ 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ ను సాధించండి

సాధన: బ్రాకెట్లను తెరవండి,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ సమీకరణం } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ లేదా } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ లేదా } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\frac{3}{2} ను తరలించడం)\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

కాబట్టి, కావలసిన సాధన $x=\frac{5}{2}$.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ఇవ్వబడిన సమీకరణ రూపాన్ని మనం ఎలా} \\ \text{సరళీకరించామో మీరు గమనించారా?} \\ \text{ఇక్కడ, మనం సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా } \\ \text{సమీకరణం యొక్క సమాసాలలోని పదాల } \\ \text{హారాల LCM తో గుణించవలసి వచ్చింది}\\ \hline \end{array}$

సరిచూడటం $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (కావలసిన విధంగా) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{గమనిక, ఈ ఉదాహరణలో మనం} \\ \text{బ్రాకెట్లను తెరచి మరియు సమీకరణం యొక్క } \\ \text{రెండు వైపులా ఒకే రకమైన పదాలను } \\ \text{కలిపి, సమీకరణాన్ని సరళ రూపానికి } \\ \text{తీసుకువచ్చాము.}\\ \hline \end{array}$

అభ్యాసం 2.2

క్రింది రేఖీయ సమీకరణాలను సాధించండి.

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

క్రింది రేఖీయ సమీకరణాలను సరళీకరించి సాధించండి.

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

మనం ఏమి చర్చించాము?

1. ఒక బీజీయ సమీకరణం అనేది చరరాశులను కలిగి ఉన్న ఒక సమానత్వం. ఇది సమానత్వ గుర్తు యొక్క ఒక వైపు ఉన్న సమాసం యొక్క విలువ, మరొక వైపు ఉన్న సమాసం యొక్క విలువకు సమానమని చెబుతుంది.

2. VI, VII మరియు VIII తరగతులలో మనం చదివే సమీకరణాలు ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణాలు. అటువంటి సమీకరణాలలో, సమీకరణాన్ని ఏర్పరిచే సమాసాలు ఒకే ఒక చరరాశిని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి. ఇంకా, సమీకరణాలు రేఖీయంగా ఉంటాయి, అంటే సమీకరణంలో కనిపించే చరరాశి యొక్క గరిష్ఠ ఘాతం 1.

3. ఒక సమీకరణానికి రెండు వైపులా రేఖీయ సమాసాలు ఉండవచ్చు. VI మరియు VII తరగతులలో మనం చదివిన సమీకరణాలకు సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు కేవలం ఒక సంఖ్య మాత్రమే ఉండేది.

4. సంఖ్యల మాదిరిగానే, చరరాశులను కూడా సమీకరణం యొక్క ఒక వైపు నుండి మరొక వైపుకు తరలించవచ్చు.

5. కొన్నిసార్లు, సమీకరణాలను ఏర్పరిచే సమాసాలను సాధారణ పద్ధతుల ద్వారా సాధించే ముందు సరళీకరించవలసి ఉంటుంది. కొన్ని సమీకరణాలు ప్రారంభంలో రేఖీయంగా ఉండకపోవచ్చు, కానీ సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా తగిన సమాసంతో గుణించడం ద్వారా వాటిని రేఖీయ రూపానికి తీసుకురావచ్చు.

6. రేఖీయ సమీకరణాల యొక్క ఉపయోగం వాటి వివిధ అనువర్తనాలలో ఉంది; సంఖ్యలు, వయస్సులు, చుట్టుకొలతలు, కరెన్సీ నోట్ల కలయిక మొదలైన వివిధ సమస్యలను రేఖీయ సమీకరణాలను ఉపయోగించి సాధించవచ్చు.