2.1 ആമുഖം

മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ, നിങ്ങൾ നിരവധി ബീജഗണിത സമാനപദങ്ങളും (expressions) സമവാക്യങ്ങളും കണ്ടുമുട്ടിയിട്ടുണ്ട്.

ഇതുവരെ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിച്ചിട്ടുള്ള സമാനപദങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

സമവാക്യങ്ങൾ സമത്വ (=) ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കും; ഇത് സമാനപദങ്ങളിൽ ഇല്ല.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഈ സമാനപദങ്ങളിൽ, പലതിനും ഒന്നിലധികം ചരങ്ങൾ (variables) ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, $2 x y+5$ ന് രണ്ട് ചരങ്ങളുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഒരു ചരം മാത്രമുള്ള സമാനപദങ്ങളിലേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു. മാത്രമല്ല, സമവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന സമാനപദങ്ങൾ രേഖീയമാണ് (linear). ഇതിനർത്ഥം സമാനപദത്തിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ചരത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഘാതം 1 ആണ് എന്നാണ്.

ഇവ രേഖീയ സമാനപദങ്ങളാണ്:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

ഇവ രേഖീയ സമാനപദങ്ങളല്ല:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ കാരണം ചരത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഘാതം }>1) $

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഒരു ചരത്തിൽ മാത്രമുള്ള രേഖീയ സമാനപദങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു ചരത്തിലെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നറിയപ്പെടുന്നു. മുമ്പത്തെ ക്ലാസുകളിൽ നിങ്ങൾ പഠിച്ച ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ എല്ലാം ഇത്തരത്തിലുള്ളതായിരുന്നു.

നമുക്കറിയാവുന്നത് ചുരുക്കത്തിൽ പുനരവലോകനം ചെയ്യാം:

(എ) ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യം എന്നത് ചരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു സമത്വമാണ്. ഇതിന് ഒരു സമത്വ ചിഹ്നം ഉണ്ട്. സമത്വ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സമാനപദം ഇടതുവശം (LHS) ആണ്. സമത്വ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള സമാനപദം വലതുവശം (RHS) ആണ്.

(ബി) ഒരു സമവാക്യത്തിൽ, LHS, RHS എന്നിവയിലെ സമാനപദങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണ്. ചരത്തിന്റെ ചില പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ഇത് ശരിയാകൂ. ഈ മൂല്യങ്ങളാണ് സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ.

(സി) ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും സന്തുലിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു. സന്തുലിതാവസ്ഥ തടസ്സപ്പെടാതിരിക്കാൻ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തും ഒരേ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നടത്തുന്നു. അത്തരം കുറച്ച് ഘട്ടങ്ങൾ പരിഹാരം നൽകുന്നു. $x=5$ എന്നത് സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരമാണ്

$2 x-3=7$. $x=5$ ന്,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

മറുവശത്ത് $x=10$ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരമല്ല. $x=10$ ന്, LHS $=2 \times 10-3=17$. ഇത് RHS ന് തുല്യമല്ല

2.2 ഇരുവശത്തും ചരമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കൽ

രണ്ട് സമാനപദങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ സമത്വമാണ് ഒരു സമവാക്യം. $2 x-3=7$ എന്ന സമവാക്യത്തിൽ, രണ്ട് സമാനപദങ്ങൾ $2 x-3$ ഉം 7 ഉം ആണ്. ഇതുവരെ ഞങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടിയ മിക്ക ഉദാഹരണങ്ങളിലും, RHS വെറും ഒരു സംഖ്യ മാത്രമായിരുന്നു. എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും അങ്ങനെയാകണമെന്നില്ല; ഇരുവശത്തും ചരങ്ങളുള്ള സമാനപദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $2 x-3=x+2$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഇരുവശത്തും ഒരു ചരമുള്ള സമാനപദങ്ങൾ ഉണ്ട്; LHS ലെ സമാനപദം $(2 x-3)$ ഉം RHS ലെ സമാനപദം $(x+2)$ ഉം ആണ്.

• ഇരുവശത്തും ചരമുള്ള സമാനപദങ്ങൾ ഉള്ള അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 1 : $2 x-3=x+2$ പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: നമുക്കുള്ളത്

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും ഒരു സംഖ്യ (സ്ഥിരാങ്കം) അല്ല, മറിച്ച് ചരം ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പദം കുറച്ചു. ചരങ്ങളും സംഖ്യകളാണ് എന്നതിനാൽ ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാനാകും. കൂടാതെ, ഇരുവശത്തുനിന്നും $x$ കുറയ്ക്കുന്നത് $x$ നെ LHS ലേക്ക് മാറ്റുന്നതിന് തുല്യമാണെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

അല്ലെങ്കിൽ $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

അല്ലെങ്കിൽ $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x നെ LHS ലേക്ക് മാറ്റുന്നു) } $

അല്ലെങ്കിൽ $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{അല്ലെങ്കിൽ }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

അല്ലെങ്കിൽ $\quad x=\frac{-35}{7}$

അല്ലെങ്കിൽ $\quad x=-5 $

അഭ്യാസം 2.1

ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ച് നിങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക.

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 സമവാക്യങ്ങളെ ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കൽ

ഉദാഹരണം 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും 6 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ അല്ലെങ്കിൽ

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു) } \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 11 x+8 = -3 \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 11 x = -3-8 \\ \text{അല്ലെങ്കിൽ } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (ആവശ്യമായ പരിഹാരം) } \end{gathered} $

പരിശോധിക്കുക: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (ആവശ്യമുള്ളപോലെ) } \end{aligned} $

ഉദാഹരണം 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം: നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ സമവാക്യം } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ അല്ലെങ്കിൽ } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ അല്ലെങ്കിൽ } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\frac{3}{2} \text{ മാറ്റുന്നു})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ പരിഹാരം $x=\frac{5}{2}$ ആണ്.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{നൽകിയ സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ} \\ \text{ലളിതമാക്കിയത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ?} \\ \text{ഇവിടെ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും} \\ \text{സമവാക്യത്തിന്റെ സമാനപദങ്ങളുടെ ഛേദങ്ങളുടെ} \\ \text{ലസാഗു കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടി വന്നു}\\ \hline \end{array}$

പരിശോധിക്കുക $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (ആവശ്യമുള്ളപോലെ) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ശ്രദ്ധിക്കുക, ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ} \\ \text{ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്നും സമവാക്യത്തിന്റെ} \\ \text{ഇരുവശത്തുമുള്ള സദൃശ പദങ്ങൾ} \\ \text{സംയോജിപ്പിച്ചും സമവാക്യത്തെ ഒരു} \\ \text{ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു.}\\ \hline \end{array}$

അഭ്യാസം 2.2

ഇനിപ്പറയുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

ഇനിപ്പറയുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ലളിതമാക്കി പരിഹരിക്കുക.

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

എന്താണ് ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തത്?

1. ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യം എന്നത് ചരങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു സമത്വമാണ്. സമത്വ ചിഹ്നത്തിന്റെ ഒരു വശത്തുള്ള സമാനപദത്തിന്റെ മൂല്യം മറുവശത്തുള്ള സമാനപദത്തിന്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അത് പറയുന്നു.

2. ആറാം, ഏഴാം, എട്ടാം ക്ലാസുകളിൽ ഞങ്ങൾ പഠിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു ചരത്തിലെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ, സമവാക്യം രൂപപ്പെടുത്തുന്ന സമാനപദങ്ങളിൽ ഒരു ചരം മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ. കൂടാതെ, സമവാക്യങ്ങൾ രേഖീയമാണ്, അതായത്, സമവാക്യത്തിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ചരത്തിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഘാതം 1 ആണ്.

3. ഒരു സമവാക്യത്തിന് ഇരുവശത്തും രേഖീയ സമാനപദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ആറാം, ഏഴാം ക്ലാസുകളിൽ ഞങ്ങൾ പഠിച്ച സമവാക്യങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് വെറും ഒരു സംഖ്യ മാത്രമായിരുന്നു.

4. സംഖ്യകൾ പോലെ, ചരങ്ങളെയും സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം.

5. ചിലപ്പോൾ, സമവാക്യങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന സമാനപദങ്ങൾ സാധാരണ രീതികളിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ലളിതമാക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആരംഭത്തിൽ ചില സമവാക്യങ്ങൾ രേഖീയമല്ലാത്തതായിരിക്കാം, പക്ഷേ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു അനുയോജ്യമായ സമാനപദം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവയെ ഒരു രേഖീയ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം.

6. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം അവയുടെ വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രയോഗങ്ങളിലാണ്; സംഖ്യകൾ, പ്രായം, ചുറ്റളവുകൾ, കറൻസി നോട്ടുകളുടെ സംയോജനം തുടങ്ങിയ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും.