2.1 அறிமுகம்

முந்தைய வகுப்புகளில், நீங்கள் பல இயற்கணித கோவைகள் மற்றும் சமன்பாடுகளைக் கண்டிருக்கிறீர்கள்.

இதுவரை நாம் பணிபுரிந்த சில கோவைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

சில சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

சமன்பாடுகள் சமத்துவ (=) குறியைப் பயன்படுத்துகின்றன என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்வீர்கள்; இந்தக் குறி கோவைகளில் இல்லை.

கொடுக்கப்பட்ட இந்தக் கோவைகளில், பலவற்றில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, $2 x y+5$ இரண்டு மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது. இருப்பினும், நாம் சமன்பாடுகளை உருவாக்கும் போது ஒரே ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ள கோவைகளுக்கு மட்டுமே கட்டுப்படுத்துகிறோம். மேலும், நாம் சமன்பாடுகளை உருவாக்கப் பயன்படுத்தும் கோவைகள் நேரியல் ஆகும். அதாவது, கோவையில் தோன்றும் மாறியின் அதிகபட்ச அடுக்கு 1 ஆகும்.

இவை நேரியல் கோவைகள்:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

இவை நேரியல் கோவைகள் அல்ல:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ ஏனெனில் மாறியின் அதிகபட்ச அடுக்கு }>1) $

இங்கே நாம் ஒரே ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ள நேரியல் கோவைகளைக் கொண்ட சமன்பாடுகளை மட்டுமே கையாள்வோம். இத்தகைய சமன்பாடுகள் ஒரு மாறியில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. முந்தைய வகுப்புகளில் நீங்கள் படித்த எளிய சமன்பாடுகள் அனைத்தும் இந்த வகையைச் சேர்ந்தவையே.

நாம் அறிந்ததை சுருக்கமாக மீண்டும் பார்ப்போம்:

(அ) ஒரு இயற்கணித சமன்பாடு என்பது மாறிகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சமத்துவமாகும். இதில் ஒரு சமக்குறி உள்ளது. சமக்குறியின் இடது பக்கத்தில் உள்ள கோவை இடது பக்கம் (LHS) எனப்படும். சமக்குறியின் வலது பக்கத்தில் உள்ள கோவை வலது பக்கம் (RHS) எனப்படும்.

(ஆ) ஒரு சமன்பாட்டில், LHS மற்றும் RHS இல் உள்ள கோவைகளின் மதிப்புகள் சமமாக இருக்கும். இது மாறியின் சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும். இந்த மதிப்புகளே சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் ஆகும்.

(இ) ஒரு சமன்பாட்டின் தீர்வை எவ்வாறு கண்டறிவது?

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் சமநிலையில் உள்ளன என்று நாம் கருதுகிறோம். சமநிலை சீர்குலையாமல் இருக்க, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் ஒரே கணிதச் செயல்பாடுகளை நாம் செய்கிறோம். இதுபோன்ற சில படிகள் தீர்வைத் தருகின்றன. $x=5$ என்பது சமன்பாட்டின் தீர்வாகும்

$2 x-3=7$. $x=5$ எனில்,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

மறுபுறம், $x=10$ என்பது சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்ல. $x=10$ எனில், LHS $=2 \times 10-3=17$. இது RHS க்குச் சமமாக இல்லை

2.2 இரு பக்கங்களிலும் மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

ஒரு சமன்பாடு என்பது இரு கோவைகளின் மதிப்புகளின் சமத்துவமாகும். $2 x-3=7$ என்ற சமன்பாட்டில், இரு கோவைகள் $2 x-3$ மற்றும் 7 ஆகும். இதுவரை நாம் கண்ட பெரும்பாலான எடுத்துக்காட்டுகளில், RHS என்பது ஒரு எண்ணாக மட்டுமே இருந்தது. ஆனால் இது எப்போதும் அவ்வாறு இருக்க வேண்டியதில்லை; இரு பக்கங்களிலும் மாறிகளைக் கொண்ட கோவைகள் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, $2 x-3=x+2$ என்ற சமன்பாட்டில் இரு பக்கங்களிலும் மாறியைக் கொண்ட கோவைகள் உள்ளன; LHS இல் உள்ள கோவை $(2 x-3)$ மற்றும் RHS இல் உள்ள கோவை $(x+2)$ ஆகும்.

• இப்போது, இரு பக்கங்களிலும் மாறியைக் கொண்ட கோவைகளைக் கொண்ட இத்தகைய சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1 : $2 x-3=x+2$ ஐத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: நம்மிடம் உள்ளது

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

இங்கே நாம் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும், ஒரு எண்ணை (மாறிலி) அல்ல, மாறியை உள்ளடக்கிய ஒரு உறுப்பைக் கழித்தோம். மாறிகளும் எண்களே என்பதால் இதைச் செய்யலாம். மேலும், இரு பக்கங்களிலிருந்தும் $x$ ஐக் கழிப்பது, $x$ ஐ LHS க்கு மாற்றுவதற்குச் சமம் என்பதைக் கவனிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ ஐத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2 ஆல் பெருக்கவும். நமக்குக் கிடைப்பது

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

அல்லது $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

அல்லது $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x ஐ LHS க்கு மாற்றுதல்) } $

அல்லது $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{அல்லது }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{அல்லது }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

அல்லது $\quad x=\frac{-35}{7}$

அல்லது $\quad x=-5 $

பயிற்சி 2.1

பின்வரும் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து, உங்கள் முடிவுகளைச் சரிபார்க்கவும்.

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 சமன்பாடுகளை எளிமையான வடிவத்திற்குக் குறைத்தல்

எடுத்துக்காட்டு 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ ஐத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 6 ஆல் பெருக்க,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ அல்லது

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{அல்லது } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{அல்லது } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (அடைப்புக்குறிகளைத் திறத்தல்) } \\ \text{அல்லது } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{அல்லது } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{அல்லது } & 11 x+8 = -3 \\ \text{அல்லது } & 11 x = -3-8 \\ \text{அல்லது } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (தேவையான தீர்வு) } \end{gathered} $

சரிபார்க்க: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (தேவைப்படுவது போல்) } \end{aligned} $

எடுத்துக்காட்டு 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ ஐத் தீர்க்கவும்

தீர்வு: அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ சமன்பாடு } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ அல்லது } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ அல்லது } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{மாற்றுதல் } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

எனவே, தேவையான தீர்வு $x=\frac{5}{2}$.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வடிவத்தை} \\ \text{நாம் எவ்வாறு எளிமைப்படுத்தினோம்} \\ \text{என்பதை நீங்கள் கவனித்தீர்களா?} \\ \text{இங்கே, சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும்} \\ \text{சமன்பாட்டின் கோவைகளில் உள்ள உறுப்புகளின்} \\ \text{பகுதிகளின் மீ.சி.ம ஆல் பெருக்க வேண்டியிருந்தது}\\ \hline \end{array}$

சரிபார்க்க $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (தேவைப்படுவது போல்) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{கவனிக்கவும், இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம்} \\ \text{அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, சமன்பாட்டின்} \\ \text{இரு பக்கங்களிலும் உள்ள ஒத்த உறுப்புகளை} \\ \text{சேர்த்து, சமன்பாட்டை எளிமையான வடிவத்திற்குக்} \\ \text{கொண்டு வந்தோம்.}\\ \hline \end{array}$

பயிற்சி 2.2

பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்.

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

பின்வரும் நேரியல் சமன்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தித் தீர்க்கவும்.

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

நாம் என்ன விவாதித்தோம்?

1. ஒரு இயற்கணித சமன்பாடு என்பது மாறிகளை உள்ளடக்கிய ஒரு சமத்துவமாகும். இது சமக்குறியின் ஒரு பக்கத்தில் உள்ள கோவையின் மதிப்பு, மறுபக்கத்தில் உள்ள கோவையின் மதிப்புக்குச் சமம் என்று கூறுகிறது.

2. VI, VII மற்றும் VIII ஆம் வகுப்புகளில் நாம் படிக்கும் சமன்பாடுகள் ஒரு மாறியில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள் ஆகும். இத்தகைய சமன்பாடுகளில், சமன்பாட்டை உருவாக்கும் கோவைகளில் ஒரே ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளது. மேலும், சமன்பாடுகள் நேரியல் ஆகும், அதாவது சமன்பாட்டில் தோன்றும் மாறியின் அதிகபட்ச அடுக்கு 1 ஆகும்.

3. ஒரு சமன்பாட்டில் இரு பக்கங்களிலும் நேரியல் கோவைகள் இருக்கலாம். VI மற்றும் VII ஆம் வகுப்புகளில் நாம் படித்த சமன்பாடுகளில், சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்தில் ஒரு எண் மட்டுமே இருந்தது.

4. எண்களைப் போலவே, மாறிகளையும் சமன்பாட்டின் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மறுபக்கத்திற்கு மாற்றலாம்.

5. சில சமயங்களில், சமன்பாடுகளை உருவாக்கும் கோவைகள் வழக்கமான முறைகளால் தீர்க்கும் முன் எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும். சில சமன்பாடுகள் ஆரம்பத்தில் நேரியல் அல்லாததாக இருந்தாலும், சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பொருத்தமான ஒரு கோவையால் பெருக்குவதன் மூலம் நேரியல் வடிவத்திற்குக் கொண்டு வரப்படலாம்.

6. நேரியல் சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு அவற்றின் பல்வேறு பயன்பாடுகளில் உள்ளது; எண்கள், வயது, சுற்றளவுகள், நாணயத்தாள் கலவைகள் போன்ற பல்வேறு கணக்குகளை நேரியல் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்.