२.१ परिचय

मागील इयत्तांमध्ये, तुम्ही अनेक बीजगणितीय राशी आणि समीकरणे पाहिली आहेत.

आतापर्यंत आपण ज्या काही राशींवर काम केले आहे त्यांची उदाहरणे:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

काही समीकरणांची उदाहरणे: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

तुम्हाला आठवेल की समीकरणांमध्ये समानता (=) चिन्ह वापरले जाते; राशींमध्ये हे चिन्ह असत नाही.

दिलेल्या या राशींपैकी, अनेक राशींमध्ये एकापेक्षा जास्त चले असतात. उदाहरणार्थ, $2 x y+5$ या राशीमध्ये दोन चले आहेत. तथापि, आपण समीकरणे तयार करताना फक्त एकच चल असलेल्या राशींपुरते मर्यादित राहतो. शिवाय, आपण समीकरणे तयार करण्यासाठी ज्या राशी वापरतो त्या रेषीय असतात. याचा अर्थ, राशीमध्ये येणाऱ्या चलाचा सर्वोच्च घातांक १ असतो.

ह्या रेषीय राशी आहेत:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

ह्या रेषीय राशी नाहीत:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ कारण चलाचा सर्वोच्च घातांक }>1) $

येथे आपण फक्त एका चलातील रेषीय राशींची समीकरणे हाताळणार आहोत. अशा समीकरणांना एका चलातील रेषीय समीकरणे म्हणतात. मागील इयत्तांमध्ये तुम्ही अभ्यासलेली सोपी समीकरणे ही सर्व याच प्रकारची होती.

आपण थोडक्यात आतापर्यंत काय शिकलो ते पाहूया:

(अ) बीजगणितीय समीकरण म्हणजे चले असलेली एक समानता. त्यात समानतेचे चिन्ह (=) असते. समानतेच्या चिन्हाच्या डाव्या बाजूला असलेली राशी ही डावी बाजू (LHS) असते. समानतेच्या चिन्हाच्या उजव्या बाजूला असलेली राशी ही उजवी बाजू (RHS) असते.

(ब) समीकरणामध्ये, LHS आणि RHS वरील राशींची किंमत समान असते. हे फक्त चलाच्या काही विशिष्ट किंमतींसाठीच खरे ठरते. या किंमती म्हणजे समीकरणाची उकले होत.

(क) समीकरणाची उकल कशी शोधायची?

आपण असे गृहीत धरतो की समीकरणाच्या दोन्ही बाजू संतुलित आहेत. आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंवर समान गणितीय क्रिया करतो, जेणेकरून संतुलन बिघडणार नाही. अशा काही पायऱ्यांनी उकल मिळते. $x=5$ ही समीकरणाची उकल आहे

$2 x-3=7$. $x=5$ साठी,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

दुसरीकडे, $x=10$ ही समीकरणाची उकल नाही. $x=10$ साठी, LHS $=2 \times 10-3=17$. हे RHS बरोबर नाही.

२.२ दोन्ही बाजूंना चल असलेली समीकरणे सोडवणे

समीकरण म्हणजे दोन राशींच्या किंमतींमधील समानता. $2 x-3=7$ या समीकरणात, दोन राशी आहेत $2 x-3$ आणि 7. आतापर्यंत आपण पाहिलेल्या बहुतेक उदाहरणांमध्ये, RHS फक्त एक संख्या असे. परंतु हे नेहमीच असावे लागत नाही; दोन्ही बाजूंना चल असलेल्या राशी असू शकतात. उदाहरणार्थ, $2 x-3=x+2$ या समीकरणात दोन्ही बाजूंना चल असलेल्या राशी आहेत; LHS वरील राशी $(2 x-3)$ आहे आणि RHS वरील राशी $(x+2)$ आहे.

• आता आपण अशी समीकरणे कशी सोडवायची याची चर्चा करू, ज्यामध्ये दोन्ही बाजूंना चल असलेल्या राशी आहेत.

उदाहरण १ : $2 x-3=x+2$ सोडवा.

उकल: आपल्याकडे,

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

येथे आपण समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून, एका संख्येची (स्थिरांकाची) नव्हे तर चल असलेल्या एका पदाची वजाबाकी केली. चले देखील संख्या आहेत म्हणून आपण हे करू शकतो. हे देखील लक्षात घ्या की दोन्ही बाजूंमधून $x$ वजा करणे म्हणजे $x$ ला LHS वर हस्तांतरित करणे होय.

उदाहरण २ : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ सोडवा.

उकल: समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना २ ने गुणा. आपल्याला मिळते

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

किंवा $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

किंवा $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x ला LHS वर हस्तांतरित करून) } $

किंवा $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{किंवा }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{किंवा }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

किंवा $\quad x=\frac{-35}{7}$

किंवा $\quad x=-5 $

प्रश्नसंच २.१

खालील समीकरणे सोडवा आणि तुमचे उत्तर तपासा.

१. $3 x=2 x+18$

२. $5 t-3=3 t-5$

३. $5 x+9=5+3 x$

४. $4 z+3=6+2 z$

५. $2 x-1=14-x$

६. $8 x+4=3(x-1)+7$

७. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

८. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

९. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

१०. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

२.३ समीकरणे सोप्या रूपात आणणे

उदाहरण १६ : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ सोडवा.

उकल: समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना ६ ने गुणल्यास,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ किंवा

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{किंवा } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{किंवा } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (कंस उघडून) } \\ \text{किंवा } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{किंवा } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{किंवा } & 11 x+8 = -3 \\ \text{किंवा } & 11 x = -3-8 \\ \text{किंवा } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (आवश्यक उकल) } \end{gathered} $

तपासा: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (आवश्यकतेप्रमाणे) } \end{aligned} $

उदाहरण १७ : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ सोडवा.

उकल: चला कंस उघडूया,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ समीकरण आहे } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ किंवा } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ किंवा } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{हस्तांतरित करून } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

म्हणून, आवश्यक उकल $x=\frac{5}{2}$ आहे.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{तुम्ही लक्षात घेतले का आपण} \\ \text{दिलेल्या समीकरणाचे रूप कसे} \\ \text{सोपे केले? येथे, आपल्याला समीकरणाच्या} \\ \text{दोन्ही बाजूंना, समीकरणातील राशींतील} \\ \text{पदांच्या छेदांच्या लसाविने गुणावे} \\ \text{लागले.}\\ \hline \end{array}$

तपासा $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (आवश्यकतेप्रमाणे) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{लक्षात घ्या, या उदाहरणात आपण} \\ \text{कंस उघडून आणि दोन्ही बाजूंच्या} \\ \text{सजातीय पदांची बेरीज करून समीकरण} \\ \text{सोप्या रूपात आणले.}\\ \hline \end{array}$

प्रश्नसंच २.२

खालील रेषीय समीकरणे सोडवा.

१. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

२. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

३. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

४. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

५. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

६. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

खालील रेषीय समीकरणे सोपी करा आणि सोडवा.

७. $3(t-3)=5(2 t+1)$

८. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

९. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

१०. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

आपण या प्रकरणात काय शिकलो?

१. बीजगणितीय समीकरण म्हणजे चले असलेली एक समानता. ती असे सांगते की समानतेच्या चिन्हाच्या एका बाजूच्या राशीची किंमत ही दुसऱ्या बाजूच्या राशीच्या किंमतीएवढी आहे.

२. इयत्ता सहावी, सातवी आणि आठवी मध्ये आपण जी समीकरणे अभ्यासतो ती एका चलातील रेषीय समीकरणे असतात. अशा समीकरणांमध्ये, समीकरण बनवणाऱ्या राशींमध्ये फक्त एकच चल असते. शिवाय, समीकरणे रेषीय असतात, म्हणजेच समीकरणात येणाऱ्या चलाचा सर्वोच्च घातांक १ असतो.

३. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना रेषीय राशी असू शकतात. इयत्ता सहावी आणि सातवी मध्ये आपण जी समीकरणे अभ्यासली त्यात समीकरणाच्या एका बाजूला फक्त एक संख्या असे.

४. जशा संख्यांचे एका बाजूकडून दुसऱ्या बाजूस हस्तांतरण होऊ शकते, तसेच चलांचे देखील समीकरणाच्या एका बाजूकडून दुसऱ्या बाजूस हस्तांतरण होऊ शकते.

५. कधीकधी, नेहमीच्या पद्धतीने सोडवण्यापूर्वी समीकरणे बनवणाऱ्या राशींचे सरलीकरण करावे लागते. काही समीकरणे सुरुवातीला रेषीय नसू शकतात, परंतु समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना योग्य राशीने गुणून त्यांना रेषीय रूपात आणता येते.

६. रेषीय समीकरणांचा उपयोग त्यांच्या विविध उपयोगांमध्ये आहे; संख्या, वय, परिमिती, चलन नोटांची मिश्रणे इत्यादी विविध समस्या रेषीय समीकरणांचा वापर करून सोडवता येतात.