২.১ ভূমিকা

আগৰ শ্ৰেণীসমূহত, আপুনি কেইবাটাও বীজগণিতীয় ৰাশি আৰু সমীকৰণৰ সৈতে পৰিচিত হৈছে।

আমি এতিয়ালৈকে কাম কৰা কিছুমান ৰাশিৰ উদাহৰণ হ’ল:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

কিছুমান সমীকৰণৰ উদাহৰণ হ’ল: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

আপুনি মনত ৰাখিব যে সমীকৰণসমূহে সমতা (=) চিন ব্যৱহাৰ কৰে; ৰাশিসমূহত এই চিন নাথাকে।

দিয়া ৰাশিসমূহৰ ভিতৰত, বহুতৰ একাধিক চলক আছে। উদাহৰণস্বৰূপে, $2 x y+5$ ৰ দুটা চলক আছে। কিন্তু, আমি সমীকৰণ গঠন কৰোঁতে কেৱল এটা চলক থকা ৰাশিলৈহে সীমাবদ্ধ থাকো। ইয়াৰ উপৰি, আমি সমীকৰণ গঠন কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা ৰাশিসমূহ ৰৈখিক। ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যে ৰাশিত উপস্থিত চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ১।

এইবোৰ ৰৈখিক ৰাশি:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

এইবোৰ ৰৈখিক ৰাশি নহয়:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ কাৰণ চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত }>1) $

ইয়াত আমি কেৱল এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক ৰাশি থকা সমীকৰণৰ সৈতে হাতত ল’ম। এনে সমীকৰণসমূহক এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ বুলি জনা যায়। আগৰ শ্ৰেণীসমূহত আপুনি অধ্যয়ন কৰা সৰল সমীকৰণবোৰ আটাইবোৰ এই ধৰণৰ আছিল।

আমি চমুকৈ পুনৰ আলোচনা কৰো:

(ক) এটা বীজগণিতীয় সমীকৰণ হ’ল চলকসমূহ জড়িত এক সমতা। ইয়াত এটা সমতা চিন থাকে। সমতা চিনৰ বাওঁফালৰ ৰাশিটো হ’ল বাওঁপক্ষ (LHS)। সমতা চিনৰ সোঁফালৰ ৰাশিটো হ’ল সোঁপক্ষ (RHS)।

(খ) এটা সমীকৰণত বাওঁপক্ষ আৰু সোঁপক্ষৰ ৰাশি দুটাৰ মান সমান হয়। চলকটোৰ কেৱল কিছুমান নিৰ্দিষ্ট মানৰ বাবেহে এইটো সত্য হয়। এই মানবোৰেই হ’ল সমীকৰণটোৰ সমাধান।

(গ) সমীকৰণ এটাৰ সমাধান কেনেকৈ উলিয়াব?

আমি ধৰি লওঁ যে সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষ ভাৰসাম্যত আছে। আমি দুয়োপক্ষতে একে গাণিতিক ক্ৰিয়া সম্পাদন কৰো, যাতে ভাৰসাম্য নষ্ট নহয়। এনেকুৱা কেইটামান পদক্ষেপে সমাধানটো দিয়ে। $x=5$ হ’ল সমীকৰণটোৰ সমাধান

$2 x-3=7$. $x=5$ ৰ বাবে,

বাওঁপক্ষ $=2 \times 5-3=7=$ সোঁপক্ষ

আনহাতে $x=10$ সমীকৰণটোৰ সমাধান নহয়। $x=10$ ৰ বাবে, বাওঁপক্ষ $=2 \times 10-3=17$. এইটো সোঁপক্ষৰ সমান নহয়

২.২ দুয়োপক্ষতে চলক থকা সমীকৰণ সমাধান কৰা

এটা সমীকৰণ হ’ল দুটা ৰাশিৰ মানৰ সমতা। $2 x-3=7$ সমীকৰণটোত, দুটা ৰাশি হ’ল $2 x-3$ আৰু ৭। এতিয়ালৈকে আমি দেখা অধিকাংশ উদাহৰণত, সোঁপক্ষটো কেৱল এটা সংখ্যা আছিল। কিন্তু এইটো সদায় এনেকুৱা হ’ব নালাগে; দুয়োপক্ষতে চলক থকা ৰাশি থাকিব পাৰে। উদাহৰণস্বৰূপে, $2 x-3=x+2$ সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষতে চলক থকা ৰাশি আছে; বাওঁপক্ষৰ ৰাশিটো হ’ল $(2 x-3)$ আৰু সোঁপক্ষৰ ৰাশিটো হ’ল $(x+2)$।

• আমি এতিয়া এনে সমীকৰণ কেনেকৈ সমাধান কৰিব সেই বিষয়ে আলোচনা কৰো যিবোৰৰ দুয়োপক্ষতে চলক থকা ৰাশি আছে।

উদাহৰণ ১ : $2 x-3=x+2$ সমাধান কৰা

সমাধান: আমি পাইছোঁ

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

ইয়াত আমি সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষৰ পৰা এটা সংখ্যা (ধ্ৰুৱক) নহয়, বৰঞ্চ চলকটো জড়িত এটা পদ বিয়োগ কৰিলোঁ। চলকবোৰো সংখ্যা হোৱা বাবে আমি এইটো কৰিব পাৰোঁ। ইয়াৰ উপৰি, মন কৰক যে দুয়োপক্ষৰ পৰা $x$ বিয়োগ কৰাটো $x$ ক বাওঁপক্ষলৈ স্থানান্তৰ কৰাৰ সমান।

উদাহৰণ ২ : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ সমাধান কৰা

সমাধান: সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষ ২ ৰে পূৰণ কৰা। আমি পাইছোঁ

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

বা $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

বা $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ ৩x ক বাওঁপক্ষলৈ স্থানান্তৰ কৰা হ’ল) } $

বা $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{বা }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{বা }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

বা $\quad x=\frac{-35}{7}$

বা $\quad x=-5 $

অনুশীলনী ২.১

তলৰ সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰি আপোনাৰ ফলাফল পৰীক্ষা কৰক।

১. $3 x=2 x+18$

২. $5 t-3=3 t-5$

৩. $5 x+9=5+3 x$

৪. $4 z+3=6+2 z$

৫. $2 x-1=14-x$

৬. $8 x+4=3(x-1)+7$

৭. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

৮. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

৯. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

১০. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

২.৩ সমীকৰণবোৰ সৰল ৰূপলৈ নিয়া

উদাহৰণ ১৬ : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ সমাধান কৰা

সমাধান: সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষ ৬ ৰে পূৰণ কৰি,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ বা

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{বা } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{বা } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (বন্ধনীবোৰ খোলা হ’ল) } \\ \text{বা } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{বা } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{বা } & 11 x+8 = -3 \\ \text{বা } & 11 x = -3-8 \\ \text{বা } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (প্ৰয়োজনীয় সমাধান) } \end{gathered} $

পৰীক্ষা কৰা: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ সোঁপক্ষ }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ বাওঁপক্ষ }=\text{ সোঁপক্ষ. } \quad \text{ (যিদৰে প্ৰয়োজন) } \end{aligned} $

উদাহৰণ ১৭ : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ সমাধান কৰা

সমাধান: বন্ধনীবোৰ খোলোঁ,

$ \begin{array}{ll} \text{ বাওঁপক্ষ }=5 x-4 x+14=x+14 \\ সোঁপক্ষ=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ সমীকৰণটো হ’ল } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ বা } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ বা } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{স্থানান্তৰ কৰা হ’ল } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

সেয়েহে, প্ৰয়োজনীয় সমাধান হ’ল $x=\frac{5}{2}$.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{আপুনি মন কৰিছিল নেকি কেনেকৈ আমি} \\ \text{দিয়া সমীকৰণটোৰ ৰূপ সৰল কৰিলোঁ?} \\ \text{ইয়াত, আমাক সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষ} \\ \text{সমীকৰণটোৰ ৰাশিসমূহৰ পদবোৰৰ} \\ \text{হৰসমূহৰ ল:সা:গু ৰে পূৰণ কৰিবলগীয়া হৈছিল}\\ \hline \end{array}$

পৰীক্ষা কৰা $:$ বাওঁপক্ষ $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ সোঁপক্ষ }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ বাওঁপক্ষ. (যিদৰে প্ৰয়োজন) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{মন কৰক, এই উদাহৰণত আমি} \\ \text{বন্ধনী খুলি আৰু সমীকৰণটোৰ} \\ \text{দুয়োপক্ষৰ সদৃশ পদবোৰ একেলগ কৰি} \\ \text{সমীকৰণটোক এটা সৰল ৰূপলৈ আনিছিলোঁ।}\\ \hline \end{array}$

অনুশীলনী ২.২

তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা।

১. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

২. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

৩. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

৪. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

৫. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

৬. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

সৰলীকৰণ কৰি তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণবোৰ সমাধান কৰা।

৭. $3(t-3)=5(2 t+1)$

৮. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

৯. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

১০. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

আমি কি আলোচনা কৰিলো?

১. এটা বীজগণিতীয় সমীকৰণ হ’ল চলকসমূহ জড়িত এক সমতা। ই কয় যে সমতা চিনৰ এটা পক্ষৰ ৰাশিৰ মান আনটো পক্ষৰ ৰাশিৰ মানৰ সমান।

২. আমি ষষ্ঠ, সপ্তম আৰু অষ্টম শ্ৰেণীত অধ্যয়ন কৰা সমীকৰণবোৰ হ’ল এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ। এনে সমীকৰণত, সমীকৰণ গঠন কৰা ৰাশিসমূহত কেৱল এটা চলক থাকে। ইয়াৰ উপৰি, সমীকৰণবোৰ ৰৈখিক, অৰ্থাৎ সমীকৰণত উপস্থিত চলকটোৰ সৰ্বোচ্চ ঘাত ১।

৩. এটা সমীকৰণৰ দুয়োপক্ষতে ৰৈখিক ৰাশি থাকিব পাৰে। ষষ্ঠ আৰু সপ্তম শ্ৰেণীত আমি অধ্যয়ন কৰা সমীকৰণবোৰত সমীকৰণটোৰ এটা পক্ষত কেৱল এটা সংখ্যা আছিল।

৪. সংখ্যাৰ দৰেই, চলকবোৰো সমীকৰণৰ এটা পক্ষৰ পৰা আনটো পক্ষলৈ স্থানান্তৰ কৰিব পাৰি।

৫. কেতিয়াবা, সমীকৰণ গঠন কৰা ৰাশিসমূহ সাধাৰণ পদ্ধতিৰে সমাধান কৰিবলৈ যোৱাৰ আগতে সৰলীকৰণ কৰিবলগীয়া হয়। কিছুমান সমীকৰণ আৰম্ভণিতে ৰৈখিক নহ’বও পাৰে, কিন্তু সমীকৰণটোৰ দুয়োপক্ষ এটা উপযুক্ত ৰাশিৰে পূৰণ কৰি সেইবোৰক ৰৈখিক ৰূপলৈ অনা যাব পাৰে।

৬. ৰৈখিক সমীকৰণৰ উপযোগিতা ইয়াৰ বিভিন্ন প্ৰয়োগত আছে; সংখ্যা, বয়স, পৰিসীমা, মুদ্ৰাৰ নোটৰ সংমিশ্ৰণ আদি বিভিন্ন সমস্যা ৰৈখিক সমীকৰণ ব্যৱহাৰ কৰি সমাধান কৰিব পাৰি।