2.1 પ્રસ્તાવના

પહેલાના વર્ગોમાં, તમે અનેક બીજગણિતીય પદાવલિઓ અને સમીકરણો સાથે મળ્યા છો.

અમે અત્યાર સુધીમાં કામ કરેલી કેટલીક પદાવલિઓના ઉદાહરણો છે:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

સમીકરણોના કેટલાક ઉદાહરણો છે: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

તમને યાદ હશે કે સમીકરણો સમાનતા (=) ચિહ્નનો ઉપયોગ કરે છે; તે પદાવલિઓમાં ગુમ છે.

આપેલ પદાવલિઓમાંથી, ઘણીમાં એક કરતાં વધુ ચલ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, $2 x y+5$ બે ચલ ધરાવે છે. જો કે, જ્યારે આપણે સમીકરણો બનાવીએ છીએ ત્યારે આપણે ફક્ત એક જ ચલ ધરાવતી પદાવલિઓ સુધી મર્યાદિત રહીએ છીએ. વધુમાં, આપણે સમીકરણો બનાવવા માટે જે પદાવલિઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તે રેખીય છે. આનો અર્થ એ છે કે ચલની સૌથી વધુ ઘાત જે પદાવલિમાં દેખાય છે તે 1 છે.

આ રેખીય પદાવલિઓ છે:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

આ રેખીય પદાવલિઓ નથી:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ કારણ કે ચલની સૌથી વધુ ઘાત }>1) $

અહીં આપણે ફક્ત એક ચલમાં રેખીય પદાવલિ ધરાવતા સમીકરણો સાથે વ્યવહાર કરીશું. આવા સમીકરણો એક ચલમાં રેખીય સમીકરણો તરીકે ઓળખાય છે. તમે પહેલાના વર્ગોમાં અભ્યાસ કરેલા સરળ સમીકરણો આ બધા આ પ્રકારના હતા.

ચાલો આપણે થોડું સંક્ષેપમાં પુનરાવર્તન કરીએ કે આપણે શું જાણીએ છીએ:

(અ) બીજગણિતીય સમીકરણ એ ચલો સમાવતી સમાનતા છે. તેમાં સમાનતા ચિહ્ન હોય છે. સમાનતા ચિહ્નની ડાબી બાજુની પદાવલિ ડાબી બાજુ (LHS) છે. સમાનતા ચિહ્નની જમણી બાજુની પદાવલિ જમણી બાજુ (RHS) છે.

(બ) સમીકરણમાં LHS અને RHS પરની પદાવલિઓના મૂલ્યો સમાન હોય છે. આ ફક્ત ચલના કેટલાક ચોક્કસ મૂલ્યો માટે જ સાચું થાય છે. આ મૂલ્યો સમીકરણના ઉકેલો છે.

(ક) સમીકરણનો ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો?

આપણે ધારીએ છીએ કે સમીકરણની બંને બાજુ સંતુલિત છે. આપણે સમીકરણની બંને બાજુએ સમાન ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરીએ છીએ, જેથી સંતુલન ખોરવાઈ ન જાય. આવા થોડા પગલાંથી ઉકેલ મળે છે. $x=5$ એ સમીકરણનો ઉકેલ છે

$2 x-3=7$. $x=5$ માટે,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

બીજી બાજુ $x=10$ એ સમીકરણનો ઉકેલ નથી. $x=10$ માટે, LHS $=2 \times 10-3=17$. આ RHS જેટલું નથી

2.2 બંને બાજુ ચલ ધરાવતા સમીકરણો ઉકેલવા

સમીકરણ એ બે પદાવલિઓના મૂલ્યોની સમાનતા છે. સમીકરણ $2 x-3=7$ માં, બે પદાવલિઓ $2 x-3$ અને 7 છે. અત્યાર સુધીમાં આપણે જે મોટાભાગના ઉદાહરણો સાથે મળ્યા છીએ, તેમાં RHS ફક્ત એક સંખ્યા છે. પરંતુ આ હંમેશા આવું હોવું જરૂરી નથી; બંને બાજુએ ચલ સાથેની પદાવલિઓ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ $2 x-3=x+2$ માં બંને બાજુએ ચલ સાથેની પદાવલિઓ છે; LHS પરની પદાવલિ $(2 x-3)$ છે અને RHS પરની પદાવલિ $(x+2)$ છે.

• હવે આપણે ચર્ચા કરીએ છીએ કે આવા સમીકરણો કેવી રીતે ઉકેલવા જેમાં બંને બાજુએ ચલ સાથેની પદાવલિઓ હોય.

ઉદાહરણ 1 : ઉકેલો $2 x-3=x+2$

ઉકેલ: આપણી પાસે

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

અહીં આપણે સમીકરણની બંને બાજુથી, સંખ્યા (અચળ) નહીં, પરંતુ ચલ સમાવતો પદ બાદ કર્યો. આપણે આ કરી શકીએ છીએ કારણ કે ચલ પણ સંખ્યાઓ છે. એ પણ નોંધો કે બંને બાજુથી $x$ બાદ કરવું એ LHS પર $x$ ને સ્થાનાંતરિત કરવા બરાબર છે.

ઉદાહરણ 2 : ઉકેલો $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$

ઉકેલ: સમીકરણની બંને બાજુને 2 વડે ગુણો. આપણને મળે છે

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

અથવા $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

અથવા $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x ને LHS પર સ્થાનાંતરિત કરવા) } $

અથવા $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{અથવા }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{અથવા }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

અથવા $\quad x=\frac{-35}{7}$

અથવા $\quad x=-5 $

કસરત 2.1

નીચેનાં સમીકરણો ઉકેલો અને તમારા પરિણામો ચકાસો.

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 સમીકરણોને સરળ સ્વરૂપમાં લાવવા

ઉદાહરણ 16 : ઉકેલો $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$

ઉકેલ: સમીકરણની બંને બાજુને 6 વડે ગુણતાં,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ અથવા

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{અથવા } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{અથવા } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (કૌંસ ખોલવા) } \\ \text{અથવા } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{અથવા } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{અથવા } & 11 x+8 = -3 \\ \text{અથવા } & 11 x = -3-8 \\ \text{અથવા } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (જરૂરી ઉકેલ) } \end{gathered} $

ચકાસણી: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (જરૂરી મુજબ) } \end{aligned} $

ઉદાહરણ 17 : ઉકેલો $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$

ઉકેલ: ચાલો કૌંસ ખોલીએ,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ સમીકરણ છે } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ અથવા } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ અથવા } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{સ્થાનાંતરિત કરવા } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

આથી, જરૂરી ઉકેલ છે $x=\frac{5}{2}$.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{શું તમે નોંધ્યું કે આપણે કેવી રીતે} \\ \text{આપેલ સમીકરણનું સ્વરૂપ સરળ બનાવ્યું?} \\ \text{અહીં, આપણે સમીકરણની બંને બાજુઓને } \\ \text{સમીકરણની પદાવલિઓમાંના છેદના } \\ \text{લ.સા.અ. વડે ગુણવું પડ્યું હતું}\\ \hline \end{array}$

ચકાસણી $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (જરૂરી મુજબ) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{નોંધો, આ ઉદાહરણમાં આપણે} \\ \text{કૌંસ ખોલીને અને બંને બાજુના } \\ \text{સમાન પદોને જોડીને સમીકરણને } \\ \text{સરળ સ્વરૂપમાં લાવ્યા.}\\ \hline \end{array}$

કસરત 2.2

નીચેનાં રેખીય સમીકરણો ઉકેલો.

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

નીચેનાં રેખીય સમીકરણો સરળ બનાવો અને ઉકેલો.

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

આપણે શું ચર્ચા કરી?

1. બીજગણિતીય સમીકરણ એ ચલો સમાવતી સમાનતા છે. તે કહે છે કે સમાનતા ચિહ્નની એક બાજુની પદાવલિનું મૂલ્ય બીજી બાજુની પદાવલિના મૂલ્ય જેટલું છે.

2. વર્ગ VI, VII અને VIII માં આપણે જે સમીકરણોનો અભ્યાસ કરીએ છીએ તે એક ચલમાં રેખીય સમીકરણો છે. આવા સમીકરણોમાં, જે પદાવલિઓથી સમીકરણ બને છે તેમાં ફક્ત એક જ ચલ હોય છે. વધુમાં, સમીકરણો રેખીય છે, એટલે કે, સમીકરણમાં દેખાતા ચલની સૌથી વધુ ઘાત 1 છે.

3. સમીકરણમાં બંને બાજુએ રેખીય પદાવલિઓ હોઈ શકે છે. વર્ગ VI અને VII માં આપણે જે સમીકરણોનો અભ્યાસ કર્યો હતો તેમાં સમીકરણની એક બાજુએ ફક્ત એક સંખ્યા હતી.

4. જેમ સંખ્યાઓ, તેમ ચલો પણ સમીકરણની એક બાજુથી બીજી બાજુ સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે.

5. કેટલીકવાર, સમીકરણ બનાવતી પદાવલિઓને સામાન્ય પદ્ધતિઓ વડે ઉકેલવા પહેલાં સરળ બનાવવી પડે છે. કેટલાંક સમીકરણો શરૂઆતમાં રેખીય પણ ન હોય, પરંતુ સમીકરણની બંને બાજુઓને યોગ્ય પદાવલિ વડે ગુણીને તેમને રેખીય સ્વરૂપમાં લાવી શકાય છે.

6. રેખીય સમીકરણોની ઉપયોગિતા તેમની વિવિધ અનુપ્રયોગોમાં છે; સંખ્યાઓ, ઉંમર, પરિમિતિ, ચલણી નોટોના સંયોજન, વગેરે પરની વિવિધ સમસ્યાઓ રેખીય સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.