2.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବର ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ତୁମେ ଅନେକ ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶ ଏବଂ ସମୀକରଣ ସହିତ ପରିଚିତ ହୋଇଛ।

ଆମେ ଏଯାଏଁ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥିବା ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର କେତେକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

ସମୀକରଣର କେତେକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

ତୁମେ ମନେ ରଖିବ ଯେ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ସମାନତା (=) ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କରେ; ଏହା ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକରେ ଅନୁପସ୍ଥିତ ରହେ।

ଏହି ଦିଆଯାଇଥିବା ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ, ଅନେକର ଏକାଧିକ ଚଳ ରହିଛି। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2 x y+5$ ରେ ଦୁଇଟି ଚଳ ଅଛି। ତଥାପି, ଆମେ ସମୀକରଣ ଗଠନ କରିବା ସମୟରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ସୀମିତ କରୁ। ଏହା ଛଡା, ଆମେ ସମୀକରଣ ଗଠନ ପାଇଁ ଯେଉଁ ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରୁ, ସେଗୁଡ଼ିକ ରୈଖିକ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେ ପ୍ରକାଶରେ ଦେଖାଯାଉଥିବା ଚଳର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 1 ଅଟେ।

ଏଗୁଡ଼ିକ ରୈଖିକ ପ୍ରକାଶ:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

ଏଗୁଡ଼ିକ ରୈଖିକ ପ୍ରକାଶ ନୁହେଁ:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ ଯେହେତୁ ଚଳର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ }>1) $

ଏଠାରେ ଆମେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ରୈଖିକ ପ୍ରକାଶ ସହିତ ସମୀକରଣ ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବୁ। ଏପରି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ରୈଖିକ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ। ପୂର୍ବର ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ ତୁମେ ଯେଉଁ ସରଳ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିଲ, ସେସବୁ ଏହି ପ୍ରକାରର ଥିଲା।

ଆସ ଆମେ ସଂକ୍ଷେପରେ ଯାହା ଜାଣିଛୁ ତାହା ସମୀକୃତ କରିବା:

(କ) ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ଏକ ସମାନତା। ଏଥିରେ ଏକ ସମାନତା ଚିହ୍ନ ଥାଏ। ସମାନତା ଚିହ୍ନର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶକୁ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ (LHS) କୁହାଯାଏ। ସମାନତା ଚିହ୍ନର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶକୁ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ (RHS) କୁହାଯାଏ।

(ଖ) ଏକ ସମୀକରଣରେ LHS ଏବଂ RHS ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ହୋଇଥାଏ। ଏହା କେବଳ ଚଳର କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ସତ୍ୟ ହୁଏ। ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସମୀକରଣର ସମାଧାନ।

(ଗ) ଏକ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କିପରି ଖୋଜିବା?

ଆମେ ଧାରଣା କରୁ ଯେ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ସନ୍ତୁଳିତ ଅଛି। ଆମେ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱ ଉପରେ ସମାନ ଗାଣିତିକ କ୍ରିୟା ସମ୍ପାଦନ କରୁ, ଯାହା ଫଳରେ ସନ୍ତୁଳନ ବିଗିଡ଼େ ନାହିଁ। ଏପରି କେତେକ ପଦକ୍ଷେପ ସମାଧାନ ଦେଇଥାଏ। $x=5$ ହେଉଛି ସମୀକରଣର ସମାଧାନ

$2 x-3=7$. $x=5$ ପାଇଁ,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ $x=10$ ହେଉଛି ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ନୁହେଁ। $x=10$ ପାଇଁ, LHS $=2 \times 10-3=17$. ଏହା RHS ସହ ସମାନ ନୁହେଁ

2.2 ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ

ଏକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟର ସମାନତା। $2 x-3=7$ ସମୀକରଣରେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରକାଶ ହେଉଛି $2 x-3$ ଏବଂ 7। ଆମେ ଏଯାଏଁ ଦେଖିଥିବା ଅଧିକାଂଶ ଉଦାହରଣରେ, RHS କେବଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଥିଲା। କିନ୍ତୁ ଏହା ସର୍ବଦା ଏପରି ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ନୁହେଁ; ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରକାଶ ଥାଇପାରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2 x-3=x+2$ ସମୀକରଣରେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଏକ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରକାଶ ଅଛି; LHS ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶ ହେଉଛି $(2 x-3)$ ଏବଂ RHS ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶ ହେଉଛି $(x+2)$।

• ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଆଲୋଚନା କରିବା ଯେ କିପରି ଏପରି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କରାଯିବ ଯାହାର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ପ୍ରକାଶ ଅଛି।

ଉଦାହରଣ 1 : $2 x-3=x+2$ ସମାଧାନ କର

ସମାଧାନ: ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

ଏଠାରେ ଆମେ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ଏକ ସଂଖ୍ୟା (ଧ୍ରୁବକ) ନୁହେଁ, ବରଂ ଚଳକୁ ନେଇ ଗଠିତ ଏକ ପଦକୁ ବିୟୋଗ କଲୁ। ଚଳଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥିବାରୁ ଆମେ ଏହା କରିପାରିବା। ଏହା ମଧ୍ୟ ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ $x$ ବିୟୋଗ କରିବା ଅର୍ଥାତ $x$ କୁ LHS କୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରିବା ସହ ସମାନ।

ଉଦାହରଣ 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ ସମାଧାନ କର

ସମାଧାନ: ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର। ଆମେ ପାଇବା

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

କିମ୍ବା $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

କିମ୍ବା $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x କୁ LHS କୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରି) } $

କିମ୍ବା $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{କିମ୍ବା }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{କିମ୍ବା }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

କିମ୍ବା $\quad x=\frac{-35}{7}$

କିମ୍ବା $\quad x=-5 $

ଅଭ୍ୟାସ 2.1

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କର ଏବଂ ତୁମର ଫଳାଫଳ ଯାଞ୍ଚ କର।

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 ସମୀକରଣକୁ ସରଳ ରୂପକୁ ଆଣିବା

ଉଦାହରଣ 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ ସମାଧାନ କର

ସମାଧାନ: ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ କିମ୍ବା

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{କିମ୍ବା } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{କିମ୍ବା } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (ବନ୍ଧନୀଗୁଡ଼ିକୁ ଖୋଲି) } \\ \text{କିମ୍ବା } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{କିମ୍ବା } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{କିମ୍ବା } & 11 x+8 = -3 \\ \text{କିମ୍ବା } & 11 x = -3-8 \\ \text{କିମ୍ବା } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମାଧାନ) } \end{gathered} $

ଯାଞ୍ଚ: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (ଆବଶ୍ୟକ ଅନୁଯାୟୀ) } \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ ସମାଧାନ କର

ସମାଧାନ: ଆସ ବନ୍ଧନୀଗୁଡ଼ିକୁ ଖୋଲିବା,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ ସମୀକରଣଟି ହେଉଛି } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ କିମ୍ବା } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ କିମ୍ବା } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରି } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମାଧାନ ହେଉଛି $x=\frac{5}{2}$।

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ତୁମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିଛ କି ଆମେ କିପରି} \\ \text{ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣର ରୂପକୁ} \\ \text{ସରଳୀକୃତ କଲୁ? ଏଠାରେ, ଆମକୁ} \\ \text{ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସମୀକରଣର} \\ \text{ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକରେ ଥିବା ପଦଗୁଡ଼ିକର} \\ \text{ହରଗୁଡ଼ିକର ଲ.ସା.ଗୁ. ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ} \\ \text{କରିବାକୁ ପଡିଥିଲା}\\ \hline \end{array}$

ଯାଞ୍ଚ $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (ଆବଶ୍ୟକ ଅନୁଯାୟୀ) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ଧ୍ୟାନ ଦିଅ, ଏହି ଉଦାହରଣରେ ଆମେ} \\ \text{ବନ୍ଧନୀଗୁଡ଼ିକୁ ଖୋଲି ଏବଂ ସମୀକରଣର} \\ \text{ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ମିଶାଇ} \\ \text{ସମୀକରଣକୁ ଏକ ସରଳ ରୂପକୁ ଆଣିଲୁ।}\\ \hline \end{array}$

ଅଭ୍ୟାସ 2.2

ନିମ୍ନଲିଖିତ ରୈଖିକ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସମାଧାନ କର।

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

ନିମ୍ନଲିଖିତ ରୈଖିକ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳୀକରଣ କରି ସମାଧାନ କର।

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

ଆମେ କ’ଣ ଆଲୋଚନା କଲୁ?

1. ଏକ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ ଏକ ସମାନତା। ଏହା କହେ ଯେ ସମାନତା ଚିହ୍ନର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ, ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ପ୍ରକାଶର ମୂଲ୍ୟ ସହ ସମାନ।

2. ଆମେ ଷଷ୍ଠ, ସପ୍ତମ ଏବଂ ଅଷ୍ଟମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଯେଉଁ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁ, ସେଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଚଳ ବିଶିଷ୍ଟ ରୈଖିକ ସମୀକରଣ। ଏପରି ସମୀକରଣରେ, ସମୀକରଣ ଗଠନ କରୁଥିବା ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଚଳ ଥାଏ। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ରୈଖିକ, ଅର୍ଥାତ ସମୀକରଣରେ ଦେଖାଯାଉଥିବା ଚଳର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ 1 ଅଟେ।

3. ଏକ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରୈଖିକ ପ୍ରକାଶ ଥାଇପାରେ। ଆମେ ଷଷ୍ଠ ଏବଂ ସପ୍ତମ ଶ୍ରେଣୀରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିବା ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକରେ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱରେ କେବଳ ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଥିଲା।

4. ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ପରି, ଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ମଧ୍ୟ ସମୀକରଣର ଗୋଟିଏ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ଅନ୍ୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରାଯାଇପାରେ।

5. ବେଳେବେଳେ, ସମୀକରଣ ଗଠନ କରୁଥିବା ପ୍ରକାଶଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ପଦ୍ଧତିରେ ସମାଧାନ କରିବା ପୂର୍ବରୁ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସରଳୀକୃତ କରିବାକୁ ପଡେ। କେତେକ ସମୀକରଣ ଆରମ୍ଭରେ ରୈଖିକ ହୋଇନପାରେ, କିନ୍ତୁ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଉପଯୁକ୍ତ ପ୍ରକାଶ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ରୈଖିକ ରୂପକୁ ଆଣାଯାଇପାରେ।

6. ରୈଖିକ ସମୀକରଣର ଉପଯୋଗିତା ହେଉଛି ସେଗୁଡ଼ିକର ବିବିଧ ପ୍ରୟୋଗ; ସଂଖ୍ୟା, ବୟସ, ପରିସୀମା, ମୁଦ୍ରା ନୋଟର ସଂଯୋଗ, ଇତ୍ୟାଦି ବିଷୟରେ ବିଭିନ୍ନ ସମସ୍ୟା ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରେ।