2.1 ಪರಿಚಯ

ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನೀವು ಹಲವಾರು ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡಿದ್ದೀರಿ.

ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಕೆಲವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

$ 5 x, 2 x-3,3 x+y, 2 x y+5, x y z+x+y+z, x^{2}+1, y+y^{2} $

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು: $5 x=25,2 x-3=9,2 y+\frac{5}{2}=\frac{37}{2}, 6 z+10=-2$

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮಾನತೆಯ (=) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬಹುದು; ಇದು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಅನೇಕವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, $2 x y+5$ ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದರೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವಾಗ ಒಂದೇ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ನಮ್ಮನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬಳಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತಾಂಕ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇವು ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:

$ 2 x, 2 x+1,3 y-7,12-5 z, \frac{5}{4}(x-4)+10 $

ಇವು ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲ:

$ x^{2}+1, y+y^{2}, 1+z+z^{2}+z^{3} \quad(\text{ ಏಕೆಂದರೆ ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತಾಂಕ }>1) $

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದೇ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದಲ್ಲಿರುವ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೀವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳೆಲ್ಲವೂ ಈ ಪ್ರಕಾರದ್ದಾಗಿದ್ದವು.

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸೋಣ:

(ಅ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಒಂದು ಸಮಾನತಾ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಎಡಭಾಗದ ಬದಿ (LHS) ಆಗಿದೆ. ಸಮಾನತಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು ಬಲಭಾಗದ ಬದಿ (RHS) ಆಗಿದೆ.

(ಆ) ಒಂದು ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ, LHS ಮತ್ತು RHS ಗಳ ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಸತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರಗಳಾಗಿವೆ.

(ಇ) ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಸಮತೋಲಿತವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮತೋಲನವು ಭಂಗವಾಗದಂತೆ, ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಗಣಿತೀಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವು ಅಂತಹ ಹಂತಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತವೆ. $x=5$ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ

$2 x-3=7$. $x=5$ ಗೆ,

LHS $=2 \times 5-3=7=$ RHS

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ $x=10$ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ. $x=10$ ಗೆ, LHS $=2 \times 10-3=17$. ಇದು RHS ಗೆ ಸಮನಾಗಿಲ್ಲ

2.2 ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಸಮೀಕರಣ $2 x-3=7$ ರಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು $2 x-3$ ಮತ್ತು 7 ಆಗಿವೆ. ನಾವು ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ ಕಂಡ ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, RHS ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೀಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ; ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣ $2 x-3=x+2$ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ; LHS ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು $(2 x-3)$ ಮತ್ತು RHS ಮೇಲಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯು $(x+2)$ ಆಗಿದೆ.

• ಈಗ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ಚರ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 : $2 x-3=x+2$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ನಮಗೆ ಇವೆ

$$ \begin{align*}2 x & =x+2+3 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x & =x+5 \\ \text{or } \hspace{10 mm} 2 x-x & =x+5-x \quad \text{ subtracting } x \text{ from both sides } \\ \text{or } \hspace{10 mm} x & =5 \tag{solution} \end{align*} $$

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಪದವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಚರಾಕ್ಷರಗಳೂ ಸಹ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೇ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ನಾವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ, ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ $x$ ಅನ್ನು ಕಳೆಯುವುದು $x$ ಅನ್ನು LHS ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 : $5 x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-14$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ನಮಗೆ ಸಿಗುತ್ತದೆ

$ 2 \times(5 x+\frac{7}{2})=2 \times(\frac{3}{2} x-14) $

$ (2 \times 5 x)+(2 \times \frac{7}{2})=(2 \times \frac{3}{2} x)-(2 \times 14) $

ಅಥವಾ $ \hspace{10 mm}10 x+7=3 x-28 $

ಅಥವಾ $ \hspace{10 mm}10 x-3 x+7=-28 \quad(\text{ 3 x ಅನ್ನು LHS ಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ } ) $

ಅಥವಾ $ \hspace{10 mm}7 x+7=-28 $

$ \begin{aligned} \text{ಅಥವಾ }\hspace{10 mm}& 7 x=-28-7 \\ \text{ಅಥವಾ }\hspace{10 mm}& 7 x=-35 \end{aligned} $

ಅಥವಾ $\quad x=\frac{-35}{7}$

ಅಥವಾ $\quad x=-5 $

ಅಭ್ಯಾಸ 2.1

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

1. $3 x=2 x+18$

2. $5 t-3=3 t-5$

3. $5 x+9=5+3 x$

4. $4 z+3=6+2 z$

5. $2 x-1=14-x$

6. $8 x+4=3(x-1)+7$

7. $x=\frac{4}{5}(x+10)$

8. $\frac{2 x}{3}+1=\frac{7 x}{15}+3$

9. $2 y+\frac{5}{3}=\frac{26}{3}-y$

10. $3 m=5 m-\frac{8}{5}$

2.3 ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ ತಗ್ಗಿಸುವುದು

ಉದಾಹರಣೆ 16 : $\frac{6 x+1}{3}+1=\frac{x-3}{6}$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

$\boxed{\text{Why 6 ? Because it is the smallest multiple (or LCM) of the given denominators.}} $ ಅಥವಾ

$ \begin{gathered} & \frac{6(6 x+1)}{3}+6 \times 1 = \frac{6(x-3)}{6} \\ \text{ಅಥವಾ } & 2(6 x+1)+6 = x-3 \\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{ಅಥವಾ } & 12 x+2+6 = x-3 \quad \text{ (ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು) } \\ \text{ಅಥವಾ } & 12 x+8 = x-3 \\ \text{ಅಥವಾ } & 12 x-x+8 = -3 \\ \text{ಅಥವಾ } & 11 x+8 = -3 \\ \text{ಅಥವಾ } & 11 x = -3-8 \\ \text{ಅಥವಾ } & 11 x = -11 \\ & x = -1 \quad \text{ (ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಹಾರ) } \end{gathered} $

ಪರಿಶೀಲನೆ: $LHS=\frac{6(-1)+1}{3}+1=\frac{-6+1}{3}+1=\frac{-5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{-5+3}{3}=\frac{-2}{3}$

$ \begin{aligned} & \text{ RHS }=\frac{(-1)-3}{6}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3} \\ & \text{ LHS }=\text{ RHS. } \quad \text{ (ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿ) } \end{aligned} $

ಉದಾಹರಣೆ 17 : $5 x-2(2 x-7)=2(3 x-1)+\frac{7}{2}$ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ

ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯೋಣ,

$ \begin{array}{ll} \text{ LHS }=5 x-4 x+14=x+14 \\ RHS=6 x-2+\frac{7}{2}=6 x-\frac{4}{2}+\frac{7}{2}=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ ಸಮೀಕರಣವು } & x+14=6 x+\frac{3}{2} \\ \text{ ಅಥವಾ } & 14=6 x-x+\frac{3}{2} \\ \text{ ಅಥವಾ } & 14=5 x+\frac{3}{2} \\ & 14-\frac{3}{2}=5 x & (\text{ವರ್ಗಾಯಿಸಿದಾಗ } \frac{3}{2})\\ & \frac{28-3}{2}=5 x \\ & \frac{25}{2}=5 x \\ & x=\frac{25}{2} \times \frac{1}{5}=\frac{5 \times 5}{2 \times 5}=\frac{5}{2} \end{array} $

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಪರಿಹಾರವು $x=\frac{5}{2}$ ಆಗಿದೆ.

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ನೀವು ನೋಡಿದಿರಾ ನಾವು ಹೇಗೆ} \\ \text{ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಮೀಕರಣದ ರೂಪವನ್ನು} \\ \text{ಸರಳಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆಂದು? ಇಲ್ಲಿ, ನಾವು} \\ \text{ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು } \\ \text{ಸಮೀಕರಣದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿನ } \\ \text{ಪದಗಳ ಛೇದಗಳ LCM ನಿಂದ } \\ \text{ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿತ್ತು}\\ \hline \end{array}$

ಪರಿಶೀಲನೆ $:$ LHS $=5 \times \frac{5}{2}-2(\frac{5}{2} \times 2-7)$

$ \begin{aligned} & \quad=\frac{25}{2}-2(5-7)=\frac{25}{2}-2(-2)=\frac{25}{2}+4=\frac{25+8}{2}=\frac{33}{2} \\ & \text{ RHS }=2(\frac{5}{2} \times 3-1)+\frac{7}{2}=2(\frac{15}{2}-\frac{2}{2})+\frac{7}{2}=\frac{2 \times 13}{2}+\frac{7}{2} \\ &=\frac{26+7}{2}=\frac{33}{2}=\text{ LHS. (ಅಪೇಕ್ಷಿತವಾಗಿ) } \end{aligned} $

$ \begin{array}{|l|} \hline \text{ಗಮನಿಸಿ, ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು} \\ \text{ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದರ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು } \\ \text{ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿನ } \\ \text{ಸಮಾನ ಪದಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದರ ಮೂಲಕ } \\ \text{ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸರಳ ರೂಪಕ್ಕೆ } \\ \text{ತಂದಿದ್ದೇವೆ.}\\ \hline \end{array}$

ಅಭ್ಯಾಸ 2.2

ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

1. $\frac{x}{2}-\frac{1}{5}=\frac{x}{3}+\frac{1}{4}$

2. $\frac{n}{2}-\frac{3 n}{4}+\frac{5 n}{6}=21$

3. $x+7-\frac{8 x}{3}=\frac{17}{6}-\frac{5 x}{2}$

4. $\frac{x-5}{3}=\frac{x-3}{5}$

5. $\frac{3 t-2}{4}-\frac{2 t+3}{3}=\frac{2}{3}-t$

6. $m-\frac{m-1}{2}=1-\frac{m-2}{3}$

ಕೆಳಗಿನ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಿ.

7. $3(t-3)=5(2 t+1)$

8. $15(y-4)-2(y-9)+5(y+6)=0$

9. $3(5 z-7)-2(9 z-11)=4(8 z-13)-17$

10. $0.25(4 f-3)=0.05(10 f-9)$

ನಾವು ಏನನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ?

1. ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣವು ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ. ಇದು ಸಮಾನತಾ ಚಿಹ್ನೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

2. VI, VII ಮತ್ತು VIII ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಇದಲ್ಲದೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಚರಾಕ್ಷರದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಘಾತಾಂಕ 1 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. VI ಮತ್ತು VII ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದ್ದವು.

4. ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆಯೇ, ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಹ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಬದಿಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

5. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ, ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೊದಲು ಸರಳೀಕರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಲವು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯವಾಗಿರದೇ ಇರಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಬಹುದು.

6. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉಪಯುಕ್ತತೆಯು ಅವುಗಳ ವೈವಿಧ್ಯಮಯ ಅನ್ವಯಗಳಲ್ಲಿದೆ; ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ವಯಸ್ಸುಗಳು, ಪರಿಧಿಗಳು, ನೋಟುಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು.