త్రికోణమితి ప్రాక్టీస్
త్రికోణమితి – శీఘ్ర సిద్ధాంతం
త్రికోణమితి అంటే అక్షరాలా “త్రిభుజాల కొలత”. రైల్వే పరీక్షల కోసం మీకు కేవలం లంబకోణ త్రిభుజ త్రికోణమితి మరియు మూడు ప్రాథమిక నిష్పత్తులు మాత్రమే అవసరం: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B ఇక్కడ P = లంబం, B = భూమి, H = కర్ణం. విలోమ నిష్పత్తులను గుర్తుంచుకోండి: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ. ప్రామాణిక కోణాల పట్టిక (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) మరియు రెండు మాయా త్రిభుజాలు (30-60-90 మరియు 45-45-90) 80% ప్రశ్నలను పరిష్కరించడానికి సరిపోతాయి.
రెండు గుర్తింపులు ప్రతి షిఫ్ట్లోనూ ఉపయోగించబడతాయి: sin²θ + cos²θ = 1 మరియు 1 + tan²θ = sec²θ. పూరక కోణ సంబంధాలు (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, మొదలైనవి) కోణాన్ని మరింత సౌకర్యవంతమైన విలువకు మార్చడంలో మీకు సహాయపడతాయి. ఎత్తు & దూరం సమస్యలు కేవలం “tan θ = ఎత్తు / దూరం” రెండుసార్లు వర్తింపజేయడం; రేఖాచిత్రాన్ని గీయండి, తెలియని దాన్ని లేబుల్ చేయండి మరియు సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. చివరగా, ప్రశ్నలో ఇచ్చిన చతుర్భుజం/కోణ పరిధిని ఎల్లప్పుడూ తనిఖీ చేయండి—రైల్వే పేపర్లు మిమ్మల్ని sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° or 150° తో ట్రాప్ చేయడానికి ఇష్టపడతాయి.
ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
-
sin θ = 3/5 మరియు θ అల్పకోణం అయితే, cos θ సమానం
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° విలువ
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
tan θ = 1 అయితే, θ డిగ్రీలలో
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ సమానం
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 మీటర్ల ఎత్తు ఉన్న స్తంభం 10√3 మీటర్ల పొడవైన నీడను ఏర్పరుస్తుంది. సూర్యుని ఉన్నతి కోణం
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
5 sin θ = 3 అయితే, cosec θ
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) సమానం
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° విలువ
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
sin A = cos A మరియు 0° < A < 90° అయితే, A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
ఒక గోపురం ఎత్తు 50 మీ. దాని పాదం నుండి 50 మీ దూరంలో ఉన్న బిందువు నుండి ఉన్నతి కోణం
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
x = r sin θ మరియు y = r cos θ అయితే, x² + y² సమానం
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ యొక్క గరిష్ట విలువ
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
tan θ + cot θ = 2 అయితే, tan²θ + cot²θ సమానం
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
20 మీటర్ల పొడవు ఉన్న నిచ్చెన 60° కోణంతో గోడకు ఆనుకొని ఉంది. చేరుకున్న ఎత్తు
A. 10 m
B. 10√3 m
C. 20 m
D. 20√3 m -
sin θ = cos (3θ – 30°) అయితే, θ సమానం
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) విలువ
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 అయితే, tan θ సమానం
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 మీటర్ల ఎత్తు ఉన్న వ్యక్తి ఒక గోపురం నుండి 30 మీటర్ల దూరంలో నిలబడి ఉన్నాడు. పైభాగానికి ఉన్నతి కోణం 30°. గోపురం యొక్క ఎత్తు సుమారుగా
A. 15 m
B. 16.5 m
C. 17.5 m
D. 18.5 m -
sin θ + cosec θ = 2 అయితే, sin²θ + cosec²θ సమానం
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 మీటర్ల ఎత్తు ఉన్న వంతెన నుండి ఒక పడవ యొక్క అవనతి కోణం 45°. పడవ యొక్క క్షితిజ సమాంతర దూరం
A. 50 m
B. 100 m
C. 100√2 m
D. 200 m -
tan A = 5/12 అయితే, sin A + cos A సమానం
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° విలువ
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
cos θ = –1/2 మరియు θ మూడవ చతుర్భుజంలో ఉంటే, tan θ సమానం
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 మీటర్ల ఎత్తులో ఒక విమానం మరొక విమానం పైన నిలువుగా గుండా వెళుతుంది. నేలపై ఒక బిందువు నుండి ఉన్నతి కోణాలు వరుసగా 60° మరియు 45°. వాటి మధ్య నిలువు దూరం
A. 1000 m
B. 1000√3 m
C. 3000(√3 – 1) m
D. 3000(1 – 1/√3) m -
(1 + tan A)(1 + tan B) = 2 అయితే, A + B సమానం
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
సమాధానాలు & వివరణలు
సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. వివరణ: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: సార్వత్రిక గుర్తింపు sec²θ – tan²θ = 1.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. వివరణ: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. వివరణ: పూరక కోణ సూత్రం.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. వివరణ: 1 + 1 = 2.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. వివరణ: a sin θ + b cos θ యొక్క గరిష్ట విలువ = √(a² + b²) = 5.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. వివరణ: రెండు వైపులా వర్గం చేయండి: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: ఎత్తు = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: (½ + ½)/1 = 1.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. వివరణ: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. వివరణ: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 m (సమీప ఎంపిక).
సరైన సమాధానం: ఎంపిక C. వివరణ: వర్గం చేయండి: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 m.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. వివరణ: 5-12-13 త్రిభుజం ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ మొత్తం = 17/13.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక A. వివరణ: మూడవ చతుర్భుజంలో tan ధనాత్మకం; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
సరైన సమాధానం: ఎంపిక D. వివరణ: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ భేదం = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
సరైన సమాధానం: ఎంపిక B. వివరణ: విస్తరించండి: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
స్పీడ్ ట్రిక్స్ & లాస్ట్-మినిట్ టిప్స్
- పైథాగోరియన్ ట్రిప్లెట్స్: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 నేరుగా కనిపిస్తాయి—వర్గమూల గణనలను నివారించడానికి వాటిని గుర్తుంచుకోండి.
- స్పెషల్-ఆంగిల్ టేబుల్: sin & cos కోసం 0° 30° 45° 60° 90° ఒకసారి రాయండి; tan అనేది sin/cos.
- పూరక స్విచ్: మీరు (90° – θ) చూసినప్పుడు, వెంటనే sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec గా మార్చండి.
- గరిష్ట-కనిష్ట సూత్రం: a sin θ + b cos θ కు గరిష్టం √(a² + b²) మరియు కనిష్టం –√(a² + b²)—విభజనను ఆదా చేస్తుంది.
- ఎత్తు & దూరం: ఎల్లప్పుడూ రేఖాచిత్రాన్ని గీయండి; ఒక సాధారణ భుజాన్ని (సాధారణంగా దూరం) పంచుకునే రెండు త్రిభుజాలను గుర్తించండి. ఒక tan θ సమీకరణం సరిపోతుంది; బలవంతం చేయనంత వరకు వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించవద్దు.
BETA
