ത്രികോണമിതി പരിശീലനം
ത്രികോണമിതി – ക്വിക്ക് തിയറി
ത്രികോണമിതി എന്നതിനർത്ഥം “ത്രികോണങ്ങളുടെ അളവ്” എന്നാണ്. റെയിൽവേ പരീക്ഷകൾക്ക് നിങ്ങൾക്ക് വലത്-ത്രികോണ ത്രികോണമിതിയും മൂന്ന് അടിസ്ഥാന അനുപാതങ്ങളും മാത്രം ആവശ്യമാണ്: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B ഇവിടെ P = ലംബം, B = പാദം, H = കർണ്ണം. വ്യുൽക്രമ അനുപാതങ്ങൾ ഓർക്കുക: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ. സ്റ്റാൻഡേർഡ് കോണുകളുടെ (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) പട്ടികയും രണ്ട് മാജിക് ത്രികോണങ്ങളും (30-60-90, 45-45-90) 80% ചോദ്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ മതിയാകും.
രണ്ട് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഏത് ഷിഫ്റ്റിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു: sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ. പൂരക കോൺ ബന്ധങ്ങൾ (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, മുതലായവ.) കോൺ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ മൂല്യത്തിലേക്ക് മാറ്റാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഉയരവും ദൂരവും പ്രശ്നങ്ങൾ എന്നത് “tan θ = ഉയരം / ദൂരം” രണ്ടുതവണ പ്രയോഗിക്കുന്നതാണ്; ഡയഗ്രം വരയ്ക്കുക, അജ്ഞാതമായത് ലേബൽ ചെയ്യുക, ലീനിയർ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. അവസാനമായി, ചോദ്യത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രന്റ്/കോൺ ശ്രേണി എപ്പോഴും പരിശോധിക്കുക—റെയിൽവേ പേപ്പറുകൾ sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° or 150° എന്നത് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളെ കെണിയിൽ പെടുത്താൻ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു.
പരിശീലന MCQs
-
sin θ = 3/5 ഉം θ നിശിതകോണും ആണെങ്കിൽ, cos θ എത്രയാണ്
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ന്റെ മൂല്യം എത്രയാണ്
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
tan θ = 1 ആണെങ്കിൽ, θ ഡിഗ്രിയിൽ എത്രയാണ്
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ എത്രയാണ്
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു കുറ്റി 10√3 മീറ്റർ നീളമുള്ള നിഴൽ ഉണ്ടാക്കുന്നു. സൂര്യന്റെ ഉന്നതി കോൺ എത്രയാണ്
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
5 sin θ = 3 ആണെങ്കിൽ, cosec θ എത്രയാണ്
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) എത്രയാണ്
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° ന്റെ മൂല്യം എത്രയാണ്
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
sin A = cos A ഉം 0° < A < 90° ഉം ആണെങ്കിൽ, A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
ഒരു ടവറിന്റെ ഉയരം 50 മീറ്ററാണ്. അതിന്റെ പാദത്തിൽ നിന്ന് 50 മീറ്റർ അകലെയുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ഉന്നതി കോൺ എത്രയാണ്
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
x = r sin θ ഉം y = r cos θ ഉം ആണെങ്കിൽ, x² + y² എത്രയാണ്
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ യുടെ പരമാവധി മൂല്യം എത്രയാണ്
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
tan θ + cot θ = 2 ആണെങ്കിൽ, tan²θ + cot²θ എത്രയാണ്
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
20 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ഗോവണി നിലത്തുനിന്ന് 60° കോണിൽ ഒരു മതിലിൽ ചാരി നിൽക്കുന്നു. എത്തുന്ന ഉയരം എത്രയാണ്
A. 10 m
B. 10√3 m
C. 20 m
D. 20√3 m -
sin θ = cos (3θ – 30°) ആണെങ്കിൽ, θ എത്രയാണ്
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) ന്റെ മൂല്യം എത്രയാണ്
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 ആണെങ്കിൽ, tan θ എത്രയാണ്
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു മനുഷ്യൻ ഒരു ടവറിൽ നിന്ന് 30 മീറ്റർ അകലെ നിൽക്കുന്നു. മുകളിലേക്കുള്ള ഉന്നതി കോൺ 30° ആണ്. ടവറിന്റെ ഉയരം ഏകദേശം എത്രയാണ്
A. 15 m
B. 16.5 m
C. 17.5 m
D. 18.5 m -
sin θ + cosec θ = 2 ആണെങ്കിൽ, sin²θ + cosec²θ എത്രയാണ്
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 മീറ്റർ ഉയരമുള്ള ഒരു പാലത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ബോട്ടിന്റെ അവനതി കോൺ 45° ആണ്. ബോട്ടിന്റെ തിരശ്ചീന ദൂരം എത്രയാണ്
A. 50 m
B. 100 m
C. 100√2 m
D. 200 m -
tan A = 5/12 ആണെങ്കിൽ, sin A + cos A എത്രയാണ്
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° ന്റെ മൂല്യം എത്രയാണ്
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
cos θ = –1/2 ഉം θ മൂന്നാം ചതുര്ഥാംശത്തിലാണെങ്കിൽ, tan θ എത്രയാണ്
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ ഒരു വിമാനം മറ്റൊരു വിമാനത്തിന് നേരെ മുകളിലൂടെ ലംബമായി പറന്നുപോകുന്നു. നിലത്തുനിന്നുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്നുള്ള ഉന്നതി കോണുകൾ യഥാക്രമം 60°, 45° ആണ്. അവ തമ്മിലുള്ള ലംബ ദൂരം എത്രയാണ്
A. 1000 m
B. 1000√3 m
C. 3000(√3 – 1) m
D. 3000(1 – 1/√3) m -
(1 + tan A)(1 + tan B) = 2 ആണെങ്കിൽ, A + B എത്രയാണ്
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
ഉത്തരങ്ങളും വിശദീകരണങ്ങളും
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ A. വിശദീകരണം: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: സാർവത്രിക ഐഡന്റിറ്റി sec²θ – tan²θ = 1.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ A. വിശദീകരണം: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ A. വിശദീകരണം: പൂരക കോൺ ഫോർമുല.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ C. വിശദീകരണം: 1 + 1 = 2.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ C. വിശദീകരണം: a sin θ + b cos θ യുടെ പരമാവധി മൂല്യം = √(a² + b²) = 5.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ C. വിശദീകരണം: ഇരുവശവും വർഗ്ഗം ചെയ്യുക: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: ഉയരം = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: (½ + ½)/1 = 1.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ A. വിശദീകരണം: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ C. വിശദീകരണം: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 m (സമീപസ്ഥമായ ഓപ്ഷൻ).
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ C. വിശദീകരണം: വർഗ്ഗം ചെയ്യുക: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 m.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ A. വിശദീകരണം: 5-12-13 ത്രികോണം ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ തുക = 17/13.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ A. വിശദീകരണം: മൂന്നാം ചതുര്ഥാംശത്തിൽ tan പോസിറ്റീവ് ആണ്; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ D. വിശദീകരണം: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ വ്യത്യാസം = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
ശരിയായ ഉത്തരം: ഓപ്ഷൻ B. വിശദീകരണം: വികസിപ്പിക്കുക: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
സ്പീഡ് ട്രിക്കുകളും അവസാന മിനിറ്റ് ടിപ്പുകളും
- പൈതഗോറിയൻ ട്രിപ്ലറ്റുകൾ: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 നേരിട്ട് ഉപയോഗിക്കുന്നു—വർഗ്ഗമൂലം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ ഓർമ്മിക്കുക.
- സ്പെഷ്യൽ-ആംഗിൾ ടേബിൾ: sin & cos ന് 0° 30° 45° 60° 90° എഴുതുക; tan എന്നത് sin/cos ആണ്.
- പൂരക സ്വിച്ച്: (90° – θ) കാണുമ്പോൾ, ഉടൻ തന്നെ sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec എന്നിവ മാറ്റുക.
- മാക്സ്-മിൻ ഫോർമുല: a sin θ + b cos θ യുടെ പരമാവധി √(a² + b²) ഉം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് –√(a² + b²) ഉം ആണ്—ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഒഴിവാക്കുന്നു.
- ഉയരവും ദൂരവും: എപ്പോഴും ഡയഗ്രം വരയ്ക്കുക; ഒരു പൊതുവായ വശം പങ്കിടുന്ന (സാധാരണയായി ദൂരം) രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഒരു tan θ സമവാക്യം മതി; നിർബന്ധിതമല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് പരിഹരിക്കരുത്.
BETA
