ତ୍ରିକୋଣମିତି ଅଭ୍ୟାସ
ତ୍ରିକୋଣମିତି – ଶୀଘ୍ର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ
ତ୍ରିକୋଣମିତିର ଅର୍ଥ ହେଉଛି “ତ୍ରିଭୁଜର ମାପ”। ରେଳବାଇ ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ଆପଣଙ୍କୁ କେବଳ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ତ୍ରିକୋଣମିତି ଏବଂ ତିନୋଟି ମୌଳିକ ଅନୁପାତ ଦରକାର: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B ଯେଉଁଠାରେ P = ଲମ୍ବ, B = ଭୂମି, H = ଅଣୁକର୍ଣ୍ଣ। ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଅନୁପାତଗୁଡିକ ମନେରଖନ୍ତୁ: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ। ମାନକ କୋଣଗୁଡିକର (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ସାରଣୀ ଏବଂ ଦୁଇଟି ଜାଦୁଈ ତ୍ରିଭୁଜ (30-60-90 ଏବଂ 45-45-90) 80% ପ୍ରଶ୍ନ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଯଥେଷ୍ଟ।
ପ୍ରାୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାଳିରେ ଦୁଇଟି ଅଭେଦ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ: sin²θ + cos²θ = 1 ଏବଂ 1 + tan²θ = sec²θ। ପୂରକ କୋଣ ସମ୍ପର୍କ (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, ଇତ୍ୟାଦି) ଆପଣଙ୍କୁ କୋଣକୁ ଅଧିକ ସୁବିଧାଜନକ ମୂଲ୍ୟକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ। ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା ସମସ୍ୟାଗୁଡିକ କେବଳ “tan θ = ଉଚ୍ଚତା / ଦୂରତା"କୁ ଦୁଇଥର ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇଥାଏ; ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ, ଅଜ୍ଞାତକୁ ନାମିତ କରନ୍ତୁ, ଏବଂ ସରଳ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ। ଶେଷରେ, ପ୍ରଶ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚତୁର୍ଥାଂଶ/କୋଣ ପରିସର ସର୍ବଦା ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ—ରେଳବାଇ ପ୍ରଶ୍ନପତ୍ରଗୁଡିକ sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° କିମ୍ବା 150° ସହିତ ଆପଣଙ୍କୁ ଫାସେଇବାକୁ ଭଲପାଏ।
ଅଭ୍ୟାସ MCQs
-
ଯଦି sin θ = 3/5 ଏବଂ θ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣ, ତେବେ cos θ ସମାନ
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
ଯଦି tan θ = 1, ତେବେ ଡିଗ୍ରୀରେ θ ହେଉଛି
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ ସମାନ
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଏକ ଖୁଣ୍ଟ 10√3 ମିଟର ଲମ୍ବା ଛାୟା ସୃଷ୍ଟି କରେ। ସୂର୍ଯ୍ୟର ଉନ୍ନତି କୋଣ ହେଉଛି
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
ଯଦି 5 sin θ = 3, ତେବେ cosec θ ହେଉଛି
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) ସମାନ
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
ଯଦି sin A = cos A ଏବଂ 0° < A < 90°, ତେବେ A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
ଏକ ମିନାର 50 ମିଟର ଉଚ୍ଚ। ଏହାର ପାଦଠାରୁ 50 ମିଟର ଦୂରରେ ଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଉନ୍ନତି କୋଣ ହେଉଛି
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
ଯଦି x = r sin θ ଏବଂ y = r cos θ, ତେବେ x² + y² ସମାନ
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ ର ସର୍ବାଧିକ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
ଯଦି tan θ + cot θ = 2, ତେବେ tan²θ + cot²θ ସମାନ
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
20 ମିଟର ଲମ୍ବା ଏକ ମିଣ୍ଡ 60° କୋଣରେ ଭୂମି ସହିତ ଏକ କାନ୍ଥରେ ଆଉଜି ରହିଛି। ପ୍ରାପ୍ତ ଉଚ୍ଚତା ହେଉଛି
A. 10 m
B. 10√3 m
C. 20 m
D. 20√3 m -
ଯଦି sin θ = cos (3θ – 30°), ତେବେ θ ସମାନ
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
ଯଦି 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4, ତେବେ tan θ ସମାନ
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଜଣେ ଲୋକ ଏକ ମିନାରରୁ 30 ମିଟର ଦୂରରେ ଠିଆ ହୋଇଛି। ଶୀର୍ଷ ପ୍ରତି ଉନ୍ନତି କୋଣ 30°। ମିନାରର ଉଚ୍ଚତା ପ୍ରାୟ
A. 15 m
B. 16.5 m
C. 17.5 m
D. 18.5 m -
ଯଦି sin θ + cosec θ = 2, ତେବେ sin²θ + cosec²θ ସମାନ
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 ମିଟର ଉଚ୍ଚ ଏକ ସେତୁରୁ ଏକ ଡଙ୍ଗାର ଅବନତି କୋଣ 45°। ଡଙ୍ଗାର ଭୂସମାନ୍ତର ଦୂରତା ହେଉଛି
A. 50 m
B. 100 m
C. 100√2 m
D. 200 m -
ଯଦି tan A = 5/12, ତେବେ sin A + cos A ସମାନ
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° ର ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
ଯଦି cos θ = –1/2 ଏବଂ θ ତୃତୀୟ ଚତୁର୍ଥାଂଶରେ ଅବସ୍ଥିତ, ତେବେ tan θ ସମାନ
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 ମିଟର ଉଚ୍ଚତାରେ ଏକ ବିମାନ ଅନ୍ୟ ଏକ ବିମାନର ଠିକ୍ ଉପରେ ଭୂଲମ୍ବ ଭାବରେ ଉଡ଼ିଯାଏ। ଭୂମିର ଏକ ବିନ୍ଦୁରୁ ଉନ୍ନତି କୋଣଗୁଡିକ ଯଥାକ୍ରମେ 60° ଏବଂ 45°। ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଭୂଲମ୍ବ ଦୂରତା ହେଉଛି
A. 1000 m
B. 1000√3 m
C. 3000(√3 – 1) m
D. 3000(1 – 1/√3) m -
ଯଦି (1 + tan A)(1 + tan B) = 2, ତେବେ A + B ସମାନ
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
ଉତ୍ତର ଓ ସମାଧାନ
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ A. ସମାଧାନ: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: ସାର୍ବତ୍ରିକ ଅଭେଦ sec²θ – tan²θ = 1.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ A. ସମାଧାନ: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ A. ସମାଧାନ: ପୂରକ କୋଣ ସୂତ୍ର।
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ C. ସମାଧାନ: 1 + 1 = 2.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ C. ସମାଧାନ: a sin θ + b cos θ ର ସର୍ବାଧିକ ମୂଲ୍ୟ = √(a² + b²) = 5.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ C. ସମାଧାନ: ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ ବର୍ଗ କରନ୍ତୁ: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: ଉଚ୍ଚତା = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: (½ + ½)/1 = 1.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ A. ସମାଧାନ: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ C. ସମାଧାନ: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 m (ନିକଟତମ ବିକଳ୍ପ).
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ C. ସମାଧାନ: ବର୍ଗ କରନ୍ତୁ: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 m.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ A. ସମାଧାନ: 5-12-13 ତ୍ରିଭୁଜ ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ ଯୋଗଫଳ = 17/13.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ A. ସମାଧାନ: ତୃତୀୟ ଚତୁର୍ଥାଂଶରେ tan ଧନାତ୍ମକ; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ D. ସମାଧାନ: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ ପାର୍ଥକ୍ୟ = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର: ବିକଳ୍ପ B. ସମାଧାନ: ବିସ୍ତାର କରନ୍ତୁ: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
ଦ୍ରୁତ କୌଶଳ ଓ ଶେଷ ମୁହୂର୍ତ୍ତର ଉପଦେଶ
- ପାଇଥାଗୋରିଆନ୍ ତ୍ରୟୀ: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ସିଧାସଳଖ ଦେଖାଯାଏ—ମୂଳ ଗଣନା ଏଡାଇବା ପାଇଁ ସେଗୁଡିକ ମନେରଖନ୍ତୁ।
- ବିଶେଷ-କୋଣ ସାରଣୀ: sin ଓ cos ପାଇଁ 0° 30° 45° 60° 90° ଲେଖନ୍ତୁ; tan ହେଉଛି sin/cos।
- ପୂରକ ସୁଇଚ୍: ଯେତେବେଳେ ଆପଣ (90° – θ) ଦେଖନ୍ତି, ତୁରନ୍ତ sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec ସୁଇଚ୍ କରନ୍ତୁ।
- ସର୍ବାଧିକ-ନ୍ୟୁନତମ ସୂତ୍ର: a sin θ + b cos θ ର ସର୍ବାଧିକ √(a² + b²) ଏବଂ ନ୍ୟୁନତମ –√(a² + b²)—ଅବକଳନ ବଞ୍ଚାଏ।
- ଉଚ୍ଚତା ଓ ଦୂରତା: ସର୍ବଦା ଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରନ୍ତୁ; ଏକ ସାଧାରଣ ବାହୁ (ସାଧାରଣତଃ ଦୂରତା) ବାଣ୍ଟୁଥିବା ଦୁଇଟି ତ୍ରିଭୁଜ ଚିହ୍ନିତ କରନ୍ତୁ। ଗୋଟିଏ tan θ ସମୀକରଣ ଯଥେଷ୍ଟ; ବାଧ୍ୟ ନ ହେଲେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ନାହିଁ।
BETA
