त्रिकोणमिती सराव
त्रिकोणमिती – झटपट सिद्धांत
त्रिकोणमितीचा शब्दशः अर्थ “त्रिकोणांचे मापन” असा होतो. रेल्वे परीक्षांसाठी तुम्हाला फक्त काटकोन त्रिकोणाची त्रिकोणमिती आणि तीन मूलभूत गुणोत्तरे लागतील: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B जिथे P = लंब, B = पाया, H = कर्ण. व्यस्त गुणोत्तरे लक्षात ठेवा: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ. मानक कोनांची (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) सारणी आणि दोन जादुई त्रिकोण (30-60-90 आणि 45-45-90) हे 80% प्रश्न सोडवण्यासाठी पुरेसे आहेत.
दोन ओळख जवळजवळ प्रत्येक शिफ्टमध्ये वापरल्या जातात: sin²θ + cos²θ = 1 आणि 1 + tan²θ = sec²θ. कोटिकोन संबंध (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, इ.) तुम्हाला कोन अधिक सोयीस्कर मूल्यात बदलण्यास मदत करतात. उंची आणि अंतराचे प्रश्न हे फक्त “tan θ = उंची / अंतर” हे दोनदा लागू केलेले असतात; आकृती काढा, अज्ञात चिन्हांकित करा आणि रेषीय समीकरण सोडवा. शेवटी, प्रश्नात दिलेला चतुर्थांश/कोन श्रेणी नेहमी तपासा — रेल्वे पेपर्स तुम्हाला sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° किंवा 150° अशा सापळ्यात अडकवायला आवडतात.
सराव बहुपर्यायी प्रश्न (MCQs)
-
जर sin θ = 3/5 आणि θ लघुकोन असेल, तर cos θ बरोबर
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ची किंमत आहे
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
जर tan θ = 1 असेल, तर अंशांमध्ये θ बरोबर
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ बरोबर
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 मीटर उंच खांबाची सावली 10√3 मीटर लांब आहे. तर सूर्याचा उन्नतांश कोन आहे
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
जर 5 sin θ = 3 असेल, तर cosec θ बरोबर
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) बरोबर
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° ची किंमत आहे
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
जर sin A = cos A आणि 0° < A < 90° असेल, तर A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
एक मनोरा 50 मीटर उंच आहे. त्याच्या पायथ्यापासून 50 मीटर दूर असलेल्या बिंदूपासूनचा उन्नतांश कोन आहे
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
जर x = r sin θ आणि y = r cos θ असेल, तर x² + y² बरोबर
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ ची कमाल किंमत आहे
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
जर tan θ + cot θ = 2 असेल, तर tan²θ + cot²θ बरोबर
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
एक 20 मीटर लांब शिडी भिंतीवर जमिनीपासून 60° कोन करून टेकलेली आहे. तर गाठलेली उंची आहे
A. 10 मीटर
B. 10√3 मीटर
C. 20 मीटर
D. 20√3 मीटर -
जर sin θ = cos (3θ – 30°) असेल, तर θ बरोबर
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) ची किंमत आहे
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
जर 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 असेल, तर tan θ बरोबर
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
एक 1.5 मीटर उंच माणूस एका मनोऱ्यापासून 30 मीटर दूर उभा आहे. मनोऱ्याच्या शिखराचा उन्नतांश कोन 30° आहे. तर मनोऱ्याची उंची अंदाजे आहे
A. 15 मीटर
B. 16.5 मीटर
C. 17.5 मीटर
D. 18.5 मीटर -
जर sin θ + cosec θ = 2 असेल, तर sin²θ + cosec²θ बरोबर
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 मीटर उंच पुलावरून एका बोटीचा अवनतांश कोन 45° आहे. तर बोटीचे क्षैतिज अंतर आहे
A. 50 मीटर
B. 100 मीटर
C. 100√2 मीटर
D. 200 मीटर -
जर tan A = 5/12 असेल, तर sin A + cos A बरोबर
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° ची किंमत आहे
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
जर cos θ = –1/2 आणि θ तिसऱ्या चतुर्थांशात असेल, तर tan θ बरोबर
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 मीटर उंचीवरून एक विमान दुसऱ्या विमानाच्या अगदी वरून उभ्या रेषेत जाते. जमिनीवरील एका बिंदूपासून त्यांचे उन्नतांश कोन अनुक्रमे 60° आणि 45° आहेत. तर त्यांच्यातील उभे अंतर आहे
A. 1000 मीटर
B. 1000√3 मीटर
C. 3000(√3 – 1) मीटर
D. 3000(1 – 1/√3) मीटर -
जर (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 असेल, तर A + B बरोबर
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
उत्तरे आणि स्पष्टीकरणे
योग्य उत्तर: पर्याय A. स्पष्टीकरण: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: सार्वत्रिक ओळख sec²θ – tan²θ = 1.
योग्य उत्तर: पर्याय A. स्पष्टीकरण: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
योग्य उत्तर: पर्याय A. स्पष्टीकरण: कोटिकोन सूत्र.
योग्य उत्तर: पर्याय C. स्पष्टीकरण: 1 + 1 = 2.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
योग्य उत्तर: पर्याय C. स्पष्टीकरण: a sin θ + b cos θ ची कमाल किंमत = √(a² + b²) = 5.
योग्य उत्तर: पर्याय C. स्पष्टीकरण: दोन्ही बाजूंचा वर्ग करा: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: उंची = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 मीटर.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: (½ + ½)/1 = 1.
योग्य उत्तर: पर्याय A. स्पष्टीकरण: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
योग्य उत्तर: पर्याय C. स्पष्टीकरण: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 मीटर (जवळचा पर्याय).
योग्य उत्तर: पर्याय C. स्पष्टीकरण: वर्ग करा: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 मीटर.
योग्य उत्तर: पर्याय A. स्पष्टीकरण: 5-12-13 त्रिकोण ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ बेरीज = 17/13.
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
योग्य उत्तर: पर्याय A. स्पष्टीकरण: तिसऱ्या चतुर्थांशात tan धन असतो; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
योग्य उत्तर: पर्याय D. स्पष्टीकरण: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ फरक = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
योग्य उत्तर: पर्याय B. स्पष्टीकरण: विस्तार करा: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
गतीचे ट्रिक्स आणि शेवटच्या क्षणाचे टिप्स
- पायथागोरस त्रिकूट: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 हे थेट येतात — मूळ काढणे टाळण्यासाठी ते लक्षात ठेवा.
- विशेष-कोन सारणी: sin आणि cos साठी 0° 30° 45° 60° 90° एकदा लिहा; tan = sin/cos.
- कोटिकोन स्विच: जेव्हा (90° – θ) दिसेल, तेव्हा ताबडतोब sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec असे बदला.
- कमाल-किमान सूत्र: a sin θ + b cos θ ची कमाल √(a² + b²) आणि किमान –√(a² + b²) असते — भेदक काढणे वाचवते.
- उंची आणि अंतर: नेहमी आकृती काढा; एक समान बाजू (सहसा अंतर) शेअर करणारे दोन त्रिकोण चिन्हांकित करा. एक tan θ समीकरण पुरेसे आहे; जोपर्यंत भाग पाडले नाही तोपर्यंत द्विघाती समीकरण सोडवू नका.
BETA
