ત્રિકોણમિતિ પ્રેક્ટિસ
ત્રિકોણમિતિ – ઝડપી સિદ્ધાંત
ત્રિકોણમિતિનો શાબ્દિક અર્થ “ત્રિકોણોનું માપન” છે. રેલવે પરીક્ષાઓ માટે તમારે માત્ર કાટકોણ ત્રિકોણ ત્રિકોણમિતિ અને ત્રણ મૂળભૂત ગુણોત્તરની જરૂર છે: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B જ્યાં P = લંબ, B = પાયો, H = કર્ણ. વ્યસ્ત ગુણોત્તર યાદ રાખો: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ. પ્રમાણભૂત ખૂણાઓ (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) નું કોષ્ટક અને બે જાદુઈ ત્રિકોણો (30-60-90 અને 45-45-90) 80% પ્રશ્નો ઉકેલવા માટે પૂરતા છે.
બે સર્વસમીકરણો લગભગ દરેક શિફ્ટમાં વપરાય છે: sin²θ + cos²θ = 1 અને 1 + tan²θ = sec²θ. પૂરક ખૂણાના સંબંધો (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, વગેરે) તમને ખૂણાને વધુ અનુકૂળ મૂલ્યમાં બદલવામાં મદદ કરે છે. ઊંચાઈ અને અંતરની સમસ્યાઓ મૂળભૂત રીતે “tan θ = ઊંચાઈ / અંતર” નો બે વાર ઉપયોગ છે; આકૃતિ દોરો, અજ્ઞાતને ચિહ્નિત કરો અને રેખીય સમીકરણ ઉકેલો. છેલ્લે, પ્રશ્નમાં આપેલ ચતુર્થાંશ/ખૂણાની રેન્જ હંમેશા તપાસો—રેલવે પેપર્સ sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° અથવા 150° સાથે તમને ફસાવવાનું પસંદ કરે છે.
પ્રેક્ટિસ MCQs
-
જો sin θ = 3/5 અને θ લઘુકોણ હોય, તો cos θ બરાબર
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° નું મૂલ્ય છે
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
જો tan θ = 1 હોય, તો ડિગ્રીમાં θ છે
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ બરાબર છે
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 મીટર ઊંચો થાંભલો 10√3 મીટર લાંબો પડછાયો પાડે છે. સૂર્યનો ઉન્નતાંશ ખૂણો છે
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
જો 5 sin θ = 3 હોય, તો cosec θ છે
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) બરાબર છે
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° નું મૂલ્ય છે
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
જો sin A = cos A અને 0° < A < 90° હોય, તો A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
એક ટાવર 50 મીટર ઊંચો છે. તેના પાયાથી 50 મીટર દૂરના બિંદુથી ઉન્નતાંશ ખૂણો છે
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
જો x = r sin θ અને y = r cos θ હોય, તો x² + y² બરાબર છે
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ નું મહત્તમ મૂલ્ય છે
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
જો tan θ + cot θ = 2 હોય, તો tan²θ + cot²θ બરાબર છે
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
20 મીટર લાંબી એક શિડી જમીન સાથે 60° નો ખૂણો બનાવી દીવાલ પર ટેકવાયેલી છે. પહોંચેલી ઊંચાઈ છે
A. 10 m
B. 10√3 m
C. 20 m
D. 20√3 m -
જો sin θ = cos (3θ – 30°) હોય, તો θ બરાબર છે
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) નું મૂલ્ય છે
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
જો 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 હોય, તો tan θ બરાબર છે
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 મીટર ઊંચો એક માણસ ટાવરથી 30 મીટર દૂર ઊભો છે. ટોચ સુધીનો ઉન્નતાંશ ખૂણો 30° છે. ટાવરની ઊંચાઈ અંદાજે છે
A. 15 m
B. 16.5 m
C. 17.5 m
D. 18.5 m -
જો sin θ + cosec θ = 2 હોય, તો sin²θ + cosec²θ બરાબર છે
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 મીટર ઊંચા પુલ પરથી એક હોડીનો અવનતાંશ ખૂણો 45° છે. હોડીનું આડું અંતર છે
A. 50 m
B. 100 m
C. 100√2 m
D. 200 m -
જો tan A = 5/12 હોય, તો sin A + cos A બરાબર છે
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° નું મૂલ્ય છે
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
જો cos θ = –1/2 હોય અને θ ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં હોય, તો tan θ બરાબર છે
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 મીટરની ઊંચાઈએ એક વિમાન બીજા વિમાનની ઉપર ઊભી રીતે પસાર થાય છે. જમીન પરના એક બિંદુથી ઉન્નતાંશ ખૂણા અનુક્રમે 60° અને 45° છે. તેમની વચ્ચેનું ઊભું અંતર છે
A. 1000 m
B. 1000√3 m
C. 3000(√3 – 1) m
D. 3000(1 – 1/√3) m -
જો (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 હોય, તો A + B બરાબર છે
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
જવાબો અને સમજૂતી
AnswerCorrect: Option A. Explanation: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: સાર્વત્રિક સર્વસમીકરણ sec²θ – tan²θ = 1.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: પૂરક ખૂણા સૂત્ર.
AnswerCorrect: Option C. Explanation: 1 + 1 = 2.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
AnswerCorrect: Option C. Explanation: a sin θ + b cos θ નું મહત્તમ મૂલ્ય = √(a² + b²) = 5.
AnswerCorrect: Option C. Explanation: બંને બાજુ વર્ગ કરો: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: ઊંચાઈ = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: (½ + ½)/1 = 1.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
AnswerCorrect: Option C. Explanation: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 m (નજીકનો વિકલ્પ).
AnswerCorrect: Option C. Explanation: વર્ગ કરો: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 m.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: 5-12-13 ત્રિકોણ ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ સરવાળો = 17/13.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: ત્રીજા ચતુર્થાંશમાં tan ધન છે; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
AnswerCorrect: Option D. Explanation: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ તફાવત = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
AnswerCorrect: Option B. Explanation: વિસ્તૃત કરો: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
સ્પીડ ટ્રિક્સ અને છેલ્લી મિનિટની ટીપ્સ
- પાયથાગોરસ ત્રિપુટીઓ: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 સીધા જ આવે છે—મૂળની ગણતરી ટાળવા તે યાદ રાખો.
- વિશિષ્ટ-ખૂણા કોષ્ટક: sin અને cos માટે 0° 30° 45° 60° 90° એકવાર લખો; tan એ sin/cos છે.
- પૂરક સ્વીચ: જ્યારે (90° – θ) જુઓ, તરત જ sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec બદલો.
- મહત્તમ-ન્યૂનતમ સૂત્ર: a sin θ + b cos θ નું મહત્તમ √(a² + b²) અને ન્યૂનતમ –√(a² + b²) છે—ડિફરેન્શિએશન બચાવે છે.
- ઊંચાઈ અને અંતર: હંમેશા આકૃતિ દોરો; એક સામાન્ય બાજુ (સામાન્ય રીતે અંતર) શેર કરતા બે ત્રિકોણો ચિહ્નિત કરો. એક tan θ સમીકરણ પૂરતું છે; જ્યાં સુધી ફરજ પડે ત્યાં સુધી દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલશો નહીં.
BETA
