ਟ੍ਰਾਈਗੋਨੋਮੈਟਰੀ – ਤੇਜ਼ ਸਿਧਾਂਤ

ਟ੍ਰਾਈਗੋਨੋਮੈਟਰੀ ਦਾ ਸ਼ਾਬਦਿਕ ਅਰਥ ਹੈ “ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਮਾਪ”। ਰੇਲਵੇ ਪ੍ਰੀਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਿਰਫ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਟ੍ਰਾਈਗੋਨੋਮੈਟਰੀ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਬੁਨਿਆਦੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B ਜਿੱਥੇ P = ਲੰਬ, B = ਆਧਾਰ, H = ਕਰਣ। ਉਲਟ ਅਨੁਪਾਤ ਯਾਦ ਰੱਖੋ: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ। ਮਾਨਕ ਕੋਣਾਂ (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ਦੀ ਸਾਰਣੀ ਅਤੇ ਦੋ ਜਾਦੂਈ ਤਿਕੋਣ (30-60-90 ਅਤੇ 45-45-90) 80% ਪ੍ਰਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫ਼ੀ ਹਨ।

ਦੋ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਲਗਭਗ ਹਰ ਸ਼ਿਫਟ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ: sin²θ + cos²θ = 1 ਅਤੇ 1 + tan²θ = sec²θ। ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਸੰਬੰਧ (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, ਆਦਿ) ਤੁਹਾਨੂੰ ਕੋਣ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਬਦਲਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਿਰਫ “tan θ = ਉਚਾਈ / ਦੂਰੀ” ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ; ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ, ਅਣਜਾਣ ਨੂੰ ਲੇਬਲ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਚਤੁਰਭੁਜ/ਕੋਣ ਸੀਮਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ—ਰੇਲਵੇ ਪੇਪਰ ਤੁਹਾਨੂੰ sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° ਜਾਂ 150° ਨਾਲ ਫਸਾਉਣਾ ਪਸੰਦ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਅਭਿਆਸ ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ

1. ਜੇਕਰ sin θ = 3/5 ਅਤੇ θ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ, ਤਾਂ cos θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
   A. 4/5
   B. 3/4
   C. 5/4
   D. 1

2. sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
   A. 0
   B. 1
   C. √3/2
   D. 1/2

3. ਜੇਕਰ tan θ = 1 ਹੈ, ਤਾਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਵਿੱਚ θ ਹੈ
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 90°

4. sec²θ – tan²θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
   A. 0
   B. 1
   C. –1
   D. 2

5. 10 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਖੰਭੇ ਦੀ ਪਰਛਾਂਵ 10√3 ਮੀਟਰ ਲੰਬੀ ਹੈ। ਸੂਰਜ ਦਾ ਉਨ्नਤੀ ਕੋਣ ਹੈ
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 90°

6. ਜੇਕਰ 5 sin θ = 3 ਹੈ, ਤਾਂ cosec θ ਹੈ
   A. 3/5
   B. 5/3
   C. 4/5
   D. 1

7. cos (90° – θ) ਬਰਾਬਰ ਹੈ
   A. sin θ
   B. cos θ
   C. tan θ
   D. –sin θ

8. tan 45° + cot 45° ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
   A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. √2

9. ਜੇਕਰ sin A = cos A ਅਤੇ 0° < A < 90° ਹੈ, ਤਾਂ A =
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 90°

10. ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ 50 ਮੀਟਰ ਉੱਚੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਪੈਰ ਤੋਂ 50 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਉਨਨਤੀ ਕੋਣ ਹੈ
    A. 30°
    B. 45°
    C. 60°
    D. 90°

11. ਜੇਕਰ x = r sin θ ਅਤੇ y = r cos θ ਹੈ, ਤਾਂ x² + y² ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. r
    B. r²
    C. 2r
    D. 0

12. 3 sin θ + 4 cos θ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ਹੈ
    A. 3
    B. 4
    C. 5
    D. 7

13. ਜੇਕਰ tan θ + cot θ = 2 ਹੈ, ਤਾਂ tan²θ + cot²θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

14. 20 ਮੀਟਰ ਲੰਬੀ ਸੀਢੀ ਜ਼ਮੀਨ ਨਾਲ 60° ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਈ ਇੱਕ ਕੰਧ ਨਾਲ ਟਿਕੀ ਹੈ। ਪਹੁੰਚੀ ਗਈ ਉਚਾਈ ਹੈ
    A. 10 ਮੀਟਰ
    B. 10√3 ਮੀਟਰ
    C. 20 ਮੀਟਰ
    D. 20√3 ਮੀਟਰ

15. ਜੇਕਰ sin θ = cos (3θ – 30°) ਹੈ, ਤਾਂ θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 15°
    B. 30°
    C. 45°
    D. 60°

16. (sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
    A. 0
    B. 1
    C. 1/2
    D. 2

17. ਜੇਕਰ 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 ਹੈ, ਤਾਂ tan θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 1/√3
    B. √3
    C. 1
    D. 2

18. 1.5 ਮੀਟਰ ਲੰਬਾ ਆਦਮੀ ਇੱਕ ਮੀਨਾਰ ਤੋਂ 30 ਮੀਟਰ ਦੂਰ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਤੱਕ ਉਨਨਤੀ ਕੋਣ 30° ਹੈ। ਮੀਨਾਰ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਗਭਗ ਹੈ
    A. 15 ਮੀਟਰ
    B. 16.5 ਮੀਟਰ
    C. 17.5 ਮੀਟਰ
    D. 18.5 ਮੀਟਰ

19. ਜੇਕਰ sin θ + cosec θ = 2 ਹੈ, ਤਾਂ sin²θ + cosec²θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

20. 100 ਮੀਟਰ ਉੱਚੇ ਪੁਲ ਤੋਂ ਇੱਕ ਕਿਸ਼ਤੀ ਦਾ ਅਵਨਤੀ ਕੋਣ 45° ਹੈ। ਕਿਸ਼ਤੀ ਦੀ ਖਿਤਿਜੀ ਦੂਰੀ ਹੈ
    A. 50 ਮੀਟਰ
    B. 100 ਮੀਟਰ
    C. 100√2 ਮੀਟਰ
    D. 200 ਮੀਟਰ

21. ਜੇਕਰ tan A = 5/12 ਹੈ, ਤਾਂ sin A + cos A ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 17/13
    B. 13/17
    C. 7/13
    D. 13/7

22. sin 120° ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੈ
    A. 1/2
    B. √3/2
    C. –1/2
    D. –√3/2

23. ਜੇਕਰ cos θ = –1/2 ਹੈ ਅਤੇ θ ਤੀਜੇ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ tan θ ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. √3
    B. –√3
    C. 1/√3
    D. –1/√3

24. 3000 ਮੀਟਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਜਹਾਜ਼ ਦੂਜੇ ਜਹਾਜ਼ ਦੇ ਠੀਕ ਉੱਪਰੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਮੀਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਉਨਨਤੀ ਕੋਣ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 60° ਅਤੇ 45° ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਲੰਬਕਾਰੀ ਦੂਰੀ ਹੈ
    A. 1000 ਮੀਟਰ
    B. 1000√3 ਮੀਟਰ
    C. 3000(√3 – 1) ਮੀਟਰ
    D. 3000(1 – 1/√3) ਮੀਟਰ

25. ਜੇਕਰ (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 ਹੈ, ਤਾਂ A + B ਬਰਾਬਰ ਹੈ
    A. 30°
    B. 45°
    C. 60°
    D. 90°

ਉੱਤਰ ਅਤੇ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. ਵਿਆਖਿਆ: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: ਸਰਵਵਿਆਪਕ ਸਮਾਨਤਾ sec²θ – tan²θ = 1.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. ਵਿਆਖਿਆ: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. ਵਿਆਖਿਆ: ਪੂਰਕ ਕੋਣ ਸੂਤਰ.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ C. ਵਿਆਖਿਆ: 1 + 1 = 2.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ C. ਵਿਆਖਿਆ: a sin θ + b cos θ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ = √(a² + b²) = 5.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ C. ਵਿਆਖਿਆ: ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰੋ: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: ਉਚਾਈ = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 ਮੀਟਰ.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: (½ + ½)/1 = 1.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. ਵਿਆਖਿਆ: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ C. ਵਿਆਖਿਆ: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 ਮੀਟਰ (ਸਭ ਤੋਂ ਨੇੜਲਾ ਵਿਕਲਪ).

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ C. ਵਿਆਖਿਆ: ਵਰਗ ਕਰੋ: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 ਮੀਟਰ.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. ਵਿਆਖਿਆ: 5-12-13 ਤਿਕੋਣ ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ ਜੋੜ = 17/13.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ A. ਵਿਆਖਿਆ: ਤੀਜਾ ਚਤੁਰਭੁਜ tan ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ D. ਵਿਆਖਿਆ: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ ਅੰਤਰ = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).

ਸਹੀ ਉੱਤਰ: ਵਿਕਲਪ B. ਵਿਆਖਿਆ: ਫੈਲਾਓ: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.

ਸਪੀਡ ਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਆਖਰੀ ਮਿੰਟ ਦੀਆਂ ਸਲਾਹਾਂ

1. ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਤ੍ਰਿਕ: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ—ਜੜ੍ਹ ਗਣਨਾਵਾਂ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਯਾਦ ਰੱਖੋ।
2. ਖਾਸ-ਕੋਣ ਸਾਰਣੀ: sin & cos ਲਈ 0° 30° 45° 60° 90° ਇੱਕ ਵਾਰ ਲਿਖੋ; tan, sin/cos ਹੈ।
3. ਪੂਰਕ ਬਦਲੋ: ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ (90° – θ) ਦੇਖੋ, ਤੁਰੰਤ sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec ਬਦਲੋ।
4. ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ-ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਸੂਤਰ: a sin θ + b cos θ ਦਾ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ √(a² + b²) ਅਤੇ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ –√(a² + b²) ਹੁੰਦਾ ਹੈ—ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਬਚਾਉਂਦਾ ਹੈ।
5. ਉਚਾਈ ਅਤੇ ਦੂਰੀ: ਹਮੇਸ਼ਾ ਚਿੱਤਰ ਬਣਾਓ; ਦੋ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਆਮ ਭੁਜਾ (ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੂਰੀ) ਸਾਂਝੀ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ tan θ ਸਮੀਕਰਨ ਕਾਫ਼ੀ ਹੈ; ਜਦ ਤੱਕ ਮਜਬੂਰ ਨਾ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾ ਹੱਲ ਕਰੋ।