त्रिकोणमिति अभ्यास
त्रिकोणमिति – संक्षिप्त सिद्धांत
त्रिकोणमिति का शाब्दिक अर्थ है “त्रिभुजों की मापन”। रेलवे परीक्षाओं के लिए आपको केवल समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति और तीन मूल अनुपातों की जरूरत है: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B जहाँ P = लम्ब, B = आधार, H = कर्ण। पारस्परिक अनुपात याद रखें: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ। मानक कोणों की सारणी (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) और दो जादुई त्रिभुज (30-60-90 और 45-45-90) 80 % प्रश्नों को हल करने के लिए पर्याप्त हैं।
दो सर्वसमिकाएँ लगभग हर शिफ्ट में प्रयोग होती हैं: sin²θ + cos²θ = 1 और 1 + tan²θ = sec²θ। पूरक कोण संबंध (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, आदि) आपको कोण को अधिक सुविधाजनक मान में बदलने में मदद करते हैं। ऊँचाई और दूरी के प्रश्न केवल “tan θ = ऊँचाई / दूरी” को दो बार लगाने हैं; आरेख खींचें, अज्ञात को चिह्नित करें, और रैखिक समीकरण हल करें। अंत में, हमेशा प्रश्न में दिए गए चतुर्थांश/कोण परिसर की जाँच करें—रेलवे पेपर आपको sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° या 150° के साथ फँसाना पसंद करते हैं।
अभ्यास MCQs
-
यदि sin θ = 3/5 और θ न्यूनकोण है, तो cos θ बराबर है
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° का मान है
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
यदि tan θ = 1, तो θ डिग्री में है
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ बराबर है
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
एक 10 मीटर ऊँचा खंभा 10√3 मीटर लंबी छाया डालता है। सूर्य का उन्नयन कोण है
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
यदि 5 sin θ = 3, तो cosec θ है
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) बराबर है
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° का मान है
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
यदि sin A = cos A और 0° < A < 90°, तो A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
एक मीनार 50 मीटर ऊँची है। उसके पाद से 50 मीटर दूर बिंदु से उन्नयन कोण है
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
यदि x = r sin θ और y = r cos θ, तो x² + y² बराबर है
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ का अधिकतम मान है
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
यदि tan θ + cot θ = 2, तो tan²θ + cot²θ बराबर है
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
एक 20 मीटर लंबी सीढ़ी जमीन से 60° कोण पर दीवार के सहारे टिकी है। पहुँची ऊँचाई है
A. 10 m
B. 10√3 m
C. 20 m
D. 20√3 m -
यदि sin θ = cos (3θ – 30°), तो θ बराबर है
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) का मान है
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
यदि 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4, तो tan θ बराबर है
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 मीटर लंबा एक व्यक्ति मीनार से 30 मीटर दूर खड़ा है। शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई लगभग है
A. 15 m
B. 16.5 m
C. 17.5 m
D. 18.5 m -
यदि sin θ + cosec θ = 2, तो sin²θ + cosec²θ बराबर है
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 मी ऊँचे पुल से नाव का अवनमन कोण 45° है। नाव की क्षैतिज दूरी है
A. 50 मी
B. 100 मी
C. 100√2 मी
D. 200 मी -
यदि tan A = 5/12, तो sin A + cos A बराबर है
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° का मान है
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
यदि cos θ = –1/2 और θ तीसरे चतुर्थांश में है, तो tan θ बराबर है
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 मी ऊँचाई पर एक विमान दूसरे विमान के ठीक ऊपर लंबवत गुजरता है। जमीन के एक बिंदु से उनके उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 45° हैं। उनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है
A. 1000 मी
B. 1000√3 मी
C. 3000(√3 – 1) मी
D. 3000(1 – 1/√3) मी -
यदि (1 + tan A)(1 + tan B) = 2, तो A + B बराबर है
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
उत्तर एवं व्याख्याएँ
उत्तर
सही: विकल्प A. व्याख्या: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: सार्वभौमिक सर्वसमिका sec²θ – tan²θ = 1.उत्तर
सही: विकल्प A. व्याख्या: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.उत्तर
सही: विकल्प A. व्याख्या: पूरक कोण सूत्र.उत्तर
सही: विकल्प C. व्याख्या: 1 + 1 = 2.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².उत्तर
सही: विकल्प C. व्याख्या: a sin θ + b cos θ का अधिकतम मान = √(a² + b²) = 5.उत्तर
सही: विकल्प C. व्याख्या: दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: ऊँचाई = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: (½ + ½)/1 = 1.उत्तर
सही: विकल्प A. व्याख्या: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.१८.
उत्तर
सही: विकल्प C. व्याख्या: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 m (निकटतम विकल्प)।१९.
उत्तर
सही: विकल्प C. व्याख्या: वर्ग: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2।२०.
उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 m।२१.
उत्तर
सही: विकल्प A. व्याख्या: 5-12-13 त्रिभुज ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ योग = 17/13।२२.
उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2।२३.
उत्तर
सही: विकल्प A. व्याख्या: तीसरे चतुर्थांश में tan धनात्मक होता है; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3।२४.
उत्तर
सही: विकल्प D. व्याख्या: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ अंतर = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3)।२५.
उत्तर
सही: विकल्प B. व्याख्या: विस्तार: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°।स्पीड ट्रिक्स और अंतिम समय के टिप्स
- पाइथागोरियन ट्रिपल्स: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 सीधे दिखाई देते हैं—इन्हें याद कर लें ताकि वर्गमूल की गणना से बचा जा सके।
- विशेष-कोण सारणी: sin और cos के लिए 0° 30° 45° 60° 90° एक बार लिखें; tan = sin/cos है।
- पूरक स्विच: जब भी (90° – θ) दिखे, तुरंत sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec बदल दें।
- अधिकतम-न्यूनतम सूत्र: a sin θ + b cos θ का अधिकतम √(a² + b²) और न्यूनतम –√(a² + b²) होता है—अवकलन बच जाता है।
- ऊँचाई और दूरी: हमेशा आरेख खींचें; एक साझा भुजा वाले दो त्रिभुज चिह्नित करें (आमतौर पर दूरी)। एक tan θ समीकरण ही काफी है; जबरदस्ती न हो तो द्विघात न सुलझाएँ।
BETA
