ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಅಭ್ಯಾಸ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ – ತ್ವರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತ
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯು ಅಕ್ಷರಶಃ “ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಮಾಪನ” ಎಂದರ್ಥ. ರೈಲ್ವೇ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಿಗೆ ನಿಮಗೆ ಬಲ-ತ್ರಿಕೋನ ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೂರು ಮೂಲಭೂತ ಅನುಪಾತಗಳು ಮಾತ್ರ ಬೇಕು: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B ಇಲ್ಲಿ P = ಲಂಬ, B = ಪಾದ, H = ಕರ್ಣ. ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ. ಪ್ರಮಾಣಿತ ಕೋನಗಳ (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ಕೋಷ್ಟಕ ಮತ್ತು ಎರಡು ಮಾಂತ್ರಿಕ ತ್ರಿಕೋನಗಳು (30-60-90 ಮತ್ತು 45-45-90) 80% ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು.
ಎರಡು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಶಿಫ್ಟ್ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: sin²θ + cos²θ = 1 ಮತ್ತು 1 + tan²θ = sec²θ. ಪೂರಕ ಕೋನ ಸಂಬಂಧಗಳು (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, ಇತ್ಯಾದಿ.) ಕೋನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ. ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದೂರದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಕೇವಲ “tan θ = ಎತ್ತರ / ದೂರ” ಎರಡು ಬಾರಿ ಅನ್ವಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ; ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ಅಜ್ಞಾತವನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ ಮತ್ತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಪ್ರಶ್ನೆಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜ/ಕೋನ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಯಾವಾಗಲೂ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ—ರೈಲ್ವೇ ಪೇಪರ್ಗಳು sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° ಅಥವಾ 150° ನೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಬಲೆಗೆ ಬೀಳಿಸಲು ಇಷ್ಟಪಡುತ್ತವೆ.
ಅಭ್ಯಾಸ ಬಹುಯೋಜ್ಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು
-
sin θ = 3/5 ಮತ್ತು θ ಲಘುಕೋನವಾಗಿದ್ದರೆ, cos θ ಸಮಾನ
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ನ ಮೌಲ್ಯ
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
tan θ = 1 ಆದರೆ, ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ θ
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ ಸಮಾನ
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 ಮೀ ಎತ್ತರದ ಕಂಬವು 10√3 ಮೀ ಉದ್ದದ ನೆರಳನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ. ಸೂರ್ಯನ ಉನ್ನತ ಕೋನ
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
5 sin θ = 3 ಆದರೆ, cosec θ
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) ಸಮಾನ
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° ನ ಮೌಲ್ಯ
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
sin A = cos A ಮತ್ತು 0° < A < 90° ಆದರೆ, A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
ಗೋಪುರವೊಂದರ ಎತ್ತರ 50 ಮೀ. ಅದರ ಪಾದದಿಂದ 50 ಮೀ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಉನ್ನತ ಕೋನ
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
x = r sin θ ಮತ್ತು y = r cos θ ಆದರೆ, x² + y² ಸಮಾನ
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
tan θ + cot θ = 2 ಆದರೆ, tan²θ + cot²θ ಸಮಾನ
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
20 ಮೀ ಉದ್ದದ ಏಣಿಯೊಂದು ನೆಲದೊಂದಿಗೆ 60° ಕೋನದಲ್ಲಿ ಗೋಡೆಗೆ ಒರಗಿದೆ. ತಲುಪಿದ ಎತ್ತರ
A. 10 ಮೀ
B. 10√3 ಮೀ
C. 20 ಮೀ
D. 20√3 ಮೀ -
sin θ = cos (3θ – 30°) ಆದರೆ, θ ಸಮಾನ
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) ನ ಮೌಲ್ಯ
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 ಆದರೆ, tan θ ಸಮಾನ
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 ಮೀ ಎತ್ತರದ ವ್ಯಕ್ತಿಯೊಬ್ಬರು ಗೋಪುರದಿಂದ 30 ಮೀ ದೂರದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿದ್ದಾರೆ. ಮೇಲ್ಭಾಗಕ್ಕೆ ಉನ್ನತ ಕೋನ 30°. ಗೋಪುರದ ಎತ್ತರ ಸುಮಾರು
A. 15 ಮೀ
B. 16.5 ಮೀ
C. 17.5 ಮೀ
D. 18.5 ಮೀ -
sin θ + cosec θ = 2 ಆದರೆ, sin²θ + cosec²θ ಸಮಾನ
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 ಮೀ ಎತ್ತರದ ಸೇತುವೆಯಿಂದ ಒಂದು ದೋಣಿಯ ಅವನತ ಕೋನ 45°. ದೋಣಿಯ ಸಮತಲ ದೂರ
A. 50 ಮೀ
B. 100 ಮೀ
C. 100√2 ಮೀ
D. 200 ಮೀ -
tan A = 5/12 ಆದರೆ, sin A + cos A ಸಮಾನ
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° ನ ಮೌಲ್ಯ
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
cos θ = –1/2 ಮತ್ತು θ ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, tan θ ಸಮಾನ
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 ಮೀ ಎತ್ತರದಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಮಾನವು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಮಾನದ ಮೇಲೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ನೆಲದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಉನ್ನತ ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 60° ಮತ್ತು 45°. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಲಂಬ ದೂರ
A. 1000 ಮೀ
B. 1000√3 ಮೀ
C. 3000(√3 – 1) ಮೀ
D. 3000(1 – 1/√3) ಮೀ -
(1 + tan A)(1 + tan B) = 2 ಆದರೆ, A + B ಸಮಾನ
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
ಉತ್ತರಗಳು ಮತ್ತು ವಿವರಣೆಗಳು
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. ವಿವರಣೆ: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸಮಾನತೆ sec²θ – tan²θ = 1.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. ವಿವರಣೆ: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. ವಿವರಣೆ: ಪೂರಕ ಕೋನ ಸೂತ್ರ.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ C. ವಿವರಣೆ: 1 + 1 = 2.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ C. ವಿವರಣೆ: a sin θ + b cos θ ನ ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ = √(a² + b²) = 5.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ C. ವಿವರಣೆ: ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವರ್ಗ ಮಾಡಿ: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: ಎತ್ತರ = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 ಮೀ.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: (½ + ½)/1 = 1.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. ವಿವರಣೆ: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ C. ವಿವರಣೆ: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 ಮೀ (ಹತ್ತಿರದ ಆಯ್ಕೆ).
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ C. ವಿವರಣೆ: ವರ್ಗ ಮಾಡಿ: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 ಮೀ.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. ವಿವರಣೆ: 5-12-13 ತ್ರಿಕೋನ ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ ಮೊತ್ತ = 17/13.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ A. ವಿವರಣೆ: ಮೂರನೇ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ tan ಧನಾತ್ಮಕ; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ D. ವಿವರಣೆ: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ ವ್ಯತ್ಯಾಸ = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರ: ಆಯ್ಕೆ B. ವಿವರಣೆ: ವಿಸ್ತರಿಸಿ: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
ವೇಗದ ತಂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ನಿಮಿಷದ ಸಲಹೆಗಳು
- ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ತ್ರಿಪದಿಗಳು: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 ನೇರವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ—ಮೂಲ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ತಪ್ಪಿಸಲು ಅವುಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ.
- ವಿಶೇಷ-ಕೋನ ಕೋಷ್ಟಕ: sin & cos ಗಾಗಿ 0° 30° 45° 60° 90° ಅನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಬರೆಯಿರಿ; tan ಎಂದರೆ sin/cos.
- ಪೂರಕ ಬದಲಾವಣೆ: ನೀವು (90° – θ) ನೋಡಿದಾಗ, ತಕ್ಷಣವೇ sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec ಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ.
- ಗರಿಷ್ಠ-ಕನಿಷ್ಠ ಸೂತ್ರ: a sin θ + b cos θ ಗೆ ಗರಿಷ್ಠ √(a² + b²) ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ –√(a² + b²) ಇರುತ್ತದೆ—ಅವಕಲನವನ್ನು ಉಳಿಸುತ್ತದೆ.
- ಎತ್ತರ ಮತ್ತು ದೂರ: ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ; ಸಾಮಾನ್ಯ ಬದಿಯನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುವ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ದೂರ). ಒಂದು tan θ ಸಮೀಕರಣವು ಸಾಕು; ಬಲವಂತವಾಗಿ ಹೇಳದ ಹೊರತು ವರ್ಗ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಡಿ.
BETA
