ত্রিকোণমিতি অনুশীলন
ত্রিকোণমিতি – সংক্ষিপ্ত তত্ত্ব
ত্রিকোণমিতির আক্ষরিক অর্থ “ত্রিভুজের পরিমাপ”। রেলওয়ে পরীক্ষার জন্য আপনার কেবল সমকোণী ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতি এবং তিনটি মৌলিক অনুপাতের প্রয়োজন: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B যেখানে P = লম্ব, B = ভূমি, H = অতিভুজ। বিপরীত অনুপাতগুলি মনে রাখুন: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ। প্রমাণ কোণের সারণী (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) এবং দুটি জাদুকরী ত্রিভুজ (30-60-90 এবং 45-45-90) 80% প্রশ্ন সমাধানের জন্য যথেষ্ট।
প্রায় প্রতিটি শিফটে দুটি অভেদ ব্যবহৃত হয়: sin²θ + cos²θ = 1 এবং 1 + tan²θ = sec²θ। পূরক কোণের সম্পর্কগুলি (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, ইত্যাদি) আপনাকে কোণটিকে আরও সুবিধাজনক মানে পরিবর্তন করতে সাহায্য করে। উচ্চতা ও দূরত্বের সমস্যাগুলি কেবল “tan θ = উচ্চতা / দূরত্ব” প্রয়োগ করা হয় দুইবার; চিত্রটি আঁকুন, অজ্ঞাতটিকে লেবেল করুন এবং রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করুন। সর্বশেষে, প্রশ্নে প্রদত্ত চতুর্ভুজ/কোণের পরিসীমা সর্বদা পরীক্ষা করুন—রেলওয়ে প্রশ্নপত্র আপনাকে sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° বা 150° দিয়ে ফাঁদে ফেলতে ভালোবাসে।
অনুশীলন এমসিকিউ
-
যদি sin θ = 3/5 এবং θ সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে cos θ সমান
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° এর মান হল
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
যদি tan θ = 1 হয়, তবে θ ডিগ্রিতে হল
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ সমান
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
একটি 10 মিটার উঁচু খুঁটি 10√3 মিটার দীর্ঘ ছায়া সৃষ্টি করে। সূর্যের উন্নতি কোণ হল
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
যদি 5 sin θ = 3 হয়, তবে cosec θ হল
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) সমান
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° এর মান হল
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
যদি sin A = cos A এবং 0° < A < 90° হয়, তবে A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
একটি মিনার 50 মিটার উঁচু। এর পাদদেশ থেকে 50 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে উন্নতি কোণ হল
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
যদি x = r sin θ এবং y = r cos θ হয়, তবে x² + y² সমান
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ এর সর্বোচ্চ মান হল
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
যদি tan θ + cot θ = 2 হয়, তবে tan²θ + cot²θ সমান
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
একটি 20 মিটার লম্বা মই মাটিতে 60° কোণে একটি দেয়ালে হেলানো আছে। মইয়ের শীর্ষে পৌঁছানো উচ্চতা হল
A. 10 মি
B. 10√3 মি
C. 20 মি
D. 20√3 মি -
যদি sin θ = cos (3θ – 30°) হয়, তবে θ সমান
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) এর মান হল
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
যদি 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 হয়, তবে tan θ সমান
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
একজন 1.5 মিটার লম্বা মানুষ একটি মিনার থেকে 30 মিটার দূরে দাঁড়িয়ে আছে। শীর্ষের উন্নতি কোণ 30°। মিনারের উচ্চতা আনুমানিক
A. 15 মি
B. 16.5 মি
C. 17.5 মি
D. 18.5 মি -
যদি sin θ + cosec θ = 2 হয়, তবে sin²θ + cosec²θ সমান
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
একটি 100 মিটার উঁচু সেতু থেকে একটি নৌকার অবনতি কোণ 45°। নৌকার অনুভূমিক দূরত্ব হল
A. 50 মি
B. 100 মি
C. 100√2 মি
D. 200 মি -
যদি tan A = 5/12 হয়, তবে sin A + cos A সমান
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° এর মান হল
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
যদি cos θ = –1/2 হয় এবং θ তৃতীয় চতুর্ভুজে অবস্থিত হয়, তবে tan θ সমান
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 মিটার উচ্চতায় একটি বিমান অন্য একটি বিমানের উল্লম্বভাবে উপরে দিয়ে যায়। ভূমির একটি বিন্দু থেকে উন্নতি কোণ যথাক্রমে 60° এবং 45°। তাদের মধ্যে উল্লম্ব দূরত্ব হল
A. 1000 মি
B. 1000√3 মি
C. 3000(√3 – 1) মি
D. 3000(1 – 1/√3) মি -
যদি (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 হয়, তবে A + B সমান
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর: বিকল্প A. ব্যাখ্যা: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: সর্বজনীন অভেদ sec²θ – tan²θ = 1.
সঠিক উত্তর: বিকল্প A. ব্যাখ্যা: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
সঠিক উত্তর: বিকল্প A. ব্যাখ্যা: পূরক কোণের সূত্র।
সঠিক উত্তর: বিকল্প C. ব্যাখ্যা: 1 + 1 = 2.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
সঠিক উত্তর: বিকল্প C. ব্যাখ্যা: a sin θ + b cos θ এর সর্বোচ্চ মান = √(a² + b²) = 5.
সঠিক উত্তর: বিকল্প C. ব্যাখ্যা: উভয় পাশে বর্গ করুন: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: উচ্চতা = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 মি.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: (½ + ½)/1 = 1.
সঠিক উত্তর: বিকল্প A. ব্যাখ্যা: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
সঠিক উত্তর: বিকল্প C. ব্যাখ্যা: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 মি (নিকটতম বিকল্প).
সঠিক উত্তর: বিকল্প C. ব্যাখ্যা: বর্গ করুন: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 মি.
সঠিক উত্তর: বিকল্প A. ব্যাখ্যা: 5-12-13 ত্রিভুজ ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ যোগফল = 17/13.
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
সঠিক উত্তর: বিকল্প A. ব্যাখ্যা: তৃতীয় চতুর্ভুজে tan ধনাত্মক; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
সঠিক উত্তর: বিকল্প D. ব্যাখ্যা: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ পার্থক্য = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
সঠিক উত্তর: বিকল্প B. ব্যাখ্যা: বিস্তার করুন: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
দ্রুত কৌশল ও শেষ মুহূর্তের পরামর্শ
- পিথাগোরীয় ত্রয়ী: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 সরাসরি আসে—মূলের গণনা এড়াতে এগুলি মুখস্থ করুন।
- বিশেষ কোণের সারণী: sin ও cos এর জন্য 0° 30° 45° 60° 90° একবার লিখুন; tan হল sin/cos।
- পূরক পরিবর্তন: যখন (90° – θ) দেখবেন, অবিলম্বে sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec পরিবর্তন করুন।
- সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন সূত্র: a sin θ + b cos θ এর সর্বোচ্চ √(a² + b²) এবং সর্বনিম্ন –√(a² + b²)—অন্তরীকরণ বাঁচায়।
- উচ্চতা ও দূরত্ব: সর্বদা চিত্র আঁকুন; একটি সাধারণ বাহু (সাধারণত দূরত্ব) ভাগ করে নেওয়া দুটি ত্রিভুজ চিহ্নিত করুন। একটি tan θ সমীকরণই যথেষ্ট; বাধ্য না হলে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করবেন না।
BETA
