முக்கோணவியல் – விரைவான கோட்பாடு

முக்கோணவியல் என்பது “முக்கோணங்களின் அளவீடு” என்று பொருள்படும். ரயில்வே தேர்வுகளுக்கு, நீங்கள் வலது-முக்கோண முக்கோணவியல் மற்றும் மூன்று அடிப்படை விகிதங்கள் மட்டுமே தேவை: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B இங்கு P = செங்குத்து பக்கம், B = அடிப்பக்கம், H = கர்ணம். தலைகீழ் விகிதங்களை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ. நிலையான கோணங்களின் அட்டவணை (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) மற்றும் இரண்டு மந்திர முக்கோணங்கள் (30-60-90 மற்றும் 45-45-90) 80% கேள்விகளைத் தீர்க்க போதுமானது.

இரண்டு முற்றொருமைகள் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு ஷிப்ட்டிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: sin²θ + cos²θ = 1 மற்றும் 1 + tan²θ = sec²θ. நிரப்புக் கோண உறவுகள் (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, போன்றவை) கோணத்தை மிகவும் வசதியான மதிப்பாக மாற்ற உதவுகின்றன. உயரம் & தொலைவு சிக்கல்கள் வெறுமனே “tan θ = உயரம் / தொலைவு” என்ற சூத்திரத்தை இருமுறை பயன்படுத்துவதாகும்; வரைபடத்தை வரையவும், அறியப்படாததைக் குறிக்கவும், நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். இறுதியாக, கேள்வியில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள கால்பகுதி/கோண வரம்பை எப்போதும் சரிபார்க்கவும் — ரயில்வே தாள்கள் sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° அல்லது 150° என்று உங்களைச் சிக்கவைக்க விரும்புகின்றன.

பயிற்சி பலதேர்வு கேள்விகள்

1. sin θ = 3/5 மற்றும் θ குறுங்கோணம் எனில், cos θ சமம்
   A. 4/5
   B. 3/4
   C. 5/4
   D. 1

2. sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° இன் மதிப்பு
   A. 0
   B. 1
   C. √3/2
   D. 1/2

3. tan θ = 1 எனில், θ இன் மதிப்பு டிகிரியில்
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 90°

4. sec²θ – tan²θ சமம்
   A. 0
   B. 1
   C. –1
   D. 2

5. 10 மீ உயரமுள்ள ஒரு கம்பம் 10√3 மீ நீளமுள்ள நிழலை உருவாக்குகிறது. சூரியனின் ஏற்றக் கோணம்
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 90°

6. 5 sin θ = 3 எனில், cosec θ ஆனது
   A. 3/5
   B. 5/3
   C. 4/5
   D. 1

7. cos (90° – θ) சமம்
   A. sin θ
   B. cos θ
   C. tan θ
   D. –sin θ

8. tan 45° + cot 45° இன் மதிப்பு
   A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. √2

9. sin A = cos A மற்றும் 0° < A < 90° எனில், A =
   A. 30°
   B. 45°
   C. 60°
   D. 90°

10. ஒரு கோபுரத்தின் உயரம் 50 மீ. அதன் அடியிலிருந்து 50 மீ தொலைவில் உள்ள ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஏற்றக் கோணம்
    A. 30°
    B. 45°
    C. 60°
    D. 90°

11. x = r sin θ மற்றும் y = r cos θ எனில், x² + y² சமம்
    A. r
    B. r²
    C. 2r
    D. 0

12. 3 sin θ + 4 cos θ இன் பெரும மதிப்பு
    A. 3
    B. 4
    C. 5
    D. 7

13. tan θ + cot θ = 2 எனில், tan²θ + cot²θ சமம்
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

14. 20 மீ நீளமுள்ள ஒரு ஏணி 60° கோணத்தில் ஒரு சுவரில் சாய்ந்துள்ளது. அடையும் உயரம்
    A. 10 மீ
    B. 10√3 மீ
    C. 20 மீ
    D. 20√3 மீ

15. sin θ = cos (3θ – 30°) எனில், θ சமம்
    A. 15°
    B. 30°
    C. 45°
    D. 60°

16. (sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) இன் மதிப்பு
    A. 0
    B. 1
    C. 1/2
    D. 2

17. 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4 எனில், tan θ சமம்
    A. 1/√3
    B. √3
    C. 1
    D. 2

18. 1.5 மீ உயரமுள்ள ஒரு மனிதன் ஒரு கோபுரத்திலிருந்து 30 மீ தொலைவில் நிற்கிறார். மேல்பகுதியை நோக்கிய ஏற்றக் கோணம் 30°. கோபுரத்தின் உயரம் தோராயமாக
    A. 15 மீ
    B. 16.5 மீ
    C. 17.5 மீ
    D. 18.5 மீ

19. sin θ + cosec θ = 2 எனில், sin²θ + cosec²θ சமம்
    A. 0
    B. 1
    C. 2
    D. 4

20. 100 மீ உயரமுள்ள பாலத்திலிருந்து ஒரு படகின் இறக்கக் கோணம் 45°. படகின் கிடைமட்டத் தொலைவு
    A. 50 மீ
    B. 100 மீ
    C. 100√2 மீ
    D. 200 மீ

21. tan A = 5/12 எனில், sin A + cos A சமம்
    A. 17/13
    B. 13/17
    C. 7/13
    D. 13/7

22. sin 120° இன் மதிப்பு
    A. 1/2
    B. √3/2
    C. –1/2
    D. –√3/2

23. cos θ = –1/2 மற்றும் θ மூன்றாம் கால்பகுதியில் அமைந்தால், tan θ சமம்
    A. √3
    B. –√3
    C. 1/√3
    D. –1/√3

24. 3000 மீ உயரத்தில் ஒரு விமானம் மற்றொரு விமானத்தின் நேர் மேலே செங்குத்தாகப் பறக்கிறது. தரையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து அவற்றின் ஏற்றக் கோணங்கள் முறையே 60° மற்றும் 45°. அவற்றுக்கிடையேயான செங்குத்து தொலைவு
    A. 1000 மீ
    B. 1000√3 மீ
    C. 3000(√3 – 1) மீ
    D. 3000(1 – 1/√3) மீ

25. (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 எனில், A + B சமம்
    A. 30°
    B. 45°
    C. 60°
    D. 90°

விடைகள் & விளக்கங்கள்

சரியான விடை: விருப்பம் A. விளக்கம்: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: பொது முற்றொருமை sec²θ – tan²θ = 1.

சரியான விடை: விருப்பம் A. விளக்கம்: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.

சரியான விடை: விருப்பம் A. விளக்கம்: நிரப்புக் கோண வாய்பாடு.

சரியான விடை: விருப்பம் C. விளக்கம்: 1 + 1 = 2.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².

சரியான விடை: விருப்பம் C. விளக்கம்: a sin θ + b cos θ இன் பெரும மதிப்பு = √(a² + b²) = 5.

சரியான விடை: விருப்பம் C. விளக்கம்: இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: உயரம் = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 மீ.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: (½ + ½)/1 = 1.

சரியான விடை: விருப்பம் A. விளக்கம்: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.

சரியான விடை: விருப்பம் C. விளக்கம்: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 மீ (அருகிலுள்ள விருப்பம்).

சரியான விடை: விருப்பம் C. விளக்கம்: வர்க்கப்படுத்த: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 மீ.

சரியான விடை: விருப்பம் A. விளக்கம்: 5-12-13 முக்கோணம் ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ கூட்டுத்தொகை = 17/13.

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.

சரியான விடை: விருப்பம் A. விளக்கம்: மூன்றாம் கால்பகுதியில் tan நேர்மம்; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.

சரியான விடை: விருப்பம் D. விளக்கம்: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ வித்தியாசம் = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).

சரியான விடை: விருப்பம் B. விளக்கம்: விரிவாக்கு: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.

வேக உத்திகள் & கடைசி நிமிடக் குறிப்புகள்

1. பித்தாகரஸ் மும்மைகள்: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 நேரடியாகத் தோன்றும் — வர்க்கமூலக் கணக்கீடுகளைத் தவிர்க்க அவற்றை மனப்பாடம் செய்யுங்கள்.
2. சிறப்புக் கோண அட்டவணை: sin & cos க்கு 0° 30° 45° 60° 90° ஐ ஒருமுறை எழுதுங்கள்; tan என்பது sin/cos ஆகும்.
3. நிரப்பு மாற்று: (90° – θ) ஐப் பார்க்கும்போது, உடனடியாக sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec ஆக மாற்றுங்கள்.
4. பெரும-சிறும வாய்பாடு: a sin θ + b cos θ இன் பெரும மதிப்பு √(a² + b²) மற்றும் சிறும மதிப்பு –√(a² + b²) — வகையிடலைத் தவிர்க்கிறது.
5. உயரம் & தொலைவு: எப்போதும் வரைபடத்தை வரையுங்கள்; பொதுவான பக்கத்தை (பொதுவாக தொலைவு) பகிர்ந்து கொள்ளும் இரண்டு முக்கோணங்களைக் குறிக்கவும். ஒரு tan θ சமன்பாடே போதுமானது; கட்டாயப்படுத்தாவிட்டால் இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டாம்.