ত্ৰিকোণমিতি অনুশীলন
ত্ৰিকোণমিতি – চমু তত্ত্ব
ত্ৰিকোণমিতিৰ আক্ষৰিক অৰ্থ হৈছে “ত্ৰিভূজৰ জোখ-মাখ”। ৰেলৱে পৰীক্ষাৰ বাবে আপোনাক কেৱল সমকোণী ত্ৰিভূজৰ ত্ৰিকোণমিতি আৰু তিনিটা মৌলিক অনুপাতৰ প্ৰয়োজন: sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B য’ত P = লম্ব, B = ভূমি, H = অতিভূজ। বিপৰীত অনুপাতবোৰ মনত ৰাখিব: cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ। মানক কোণ (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)ৰ তালিকা আৰু দুটা যাদুকৰী ত্ৰিভূজ (30-60-90 আৰু 45-45-90) 80% প্ৰশ্ন সমাধান কৰিবলৈ যথেষ্ট।
প্ৰায় প্ৰতিটো শ্বিফ্টত দুটা অভেদ ব্যৱহাৰ কৰা হয়: sin²θ + cos²θ = 1 আৰু 1 + tan²θ = sec²θ। সম্পূৰক কোণৰ সম্পৰ্ক (sin(90°–θ) = cos θ, tan(90°–θ) = cot θ, আদি) আপোনাক কোণটো অধিক সুবিধাজনক মানলৈ সলাবলৈ সহায় কৰে। উচ্চতা আৰু দূৰত্বৰ সমস্যাবোৰ কেৱল “tan θ = উচ্চতা / দূৰত্ব” দুবাৰ প্ৰয়োগ কৰা; চিত্ৰ আঁকি, অজ্ঞাতটো চিহ্নিত কৰি, আৰু ৰৈখিক সমীকৰণটো সমাধান কৰা। শেষত, প্ৰশ্নত দিয়া চতুৰ্থাংশ/কোণৰ পৰিসৰ সদায় পৰীক্ষা কৰিব – ৰেলৱে পেপাৰবোৰে sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30° বা 150° দি আপোনাক ফাঁদত পেলোৱাটো ভাল পায়।
অনুশীলনী MCQ
-
যদি sin θ = 3/5 আৰু θ সূক্ষ্মকোণ, তেন্তে cos θ ৰ মান হ’ব
A. 4/5
B. 3/4
C. 5/4
D. 1 -
sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° ৰ মান হ’ব
A. 0
B. 1
C. √3/2
D. 1/2 -
যদি tan θ = 1, তেন্তে θ ৰ মান ডিগ্ৰীত হ’ব
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
sec²θ – tan²θ ৰ মান হ’ব
A. 0
B. 1
C. –1
D. 2 -
10 মিটাৰ ওখ এটা স্তম্ভে 10√3 মিটাৰ দীঘল ছাঁ পেলায়। সূৰ্য্যৰ উন্নতি কোণ হ’ব
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
যদি 5 sin θ = 3, তেন্তে cosec θ ৰ মান হ’ব
A. 3/5
B. 5/3
C. 4/5
D. 1 -
cos (90° – θ) ৰ মান হ’ব
A. sin θ
B. cos θ
C. tan θ
D. –sin θ -
tan 45° + cot 45° ৰ মান হ’ব
A. 0
B. 1
C. 2
D. √2 -
যদি sin A = cos A আৰু 0° < A < 90°, তেন্তে A =
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
এটা মিনাৰ 50 মিটাৰ ওখ। ইয়াৰ ভেটিৰ পৰা 50 মিটাৰ দূৰত থকা এটা বিন্দুৰ পৰা উন্নতি কোণ হ’ব
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90° -
যদি x = r sin θ আৰু y = r cos θ, তেন্তে x² + y² ৰ মান হ’ব
A. r
B. r²
C. 2r
D. 0 -
3 sin θ + 4 cos θ ৰ সৰ্বোচ্চ মান হ’ব
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7 -
যদি tan θ + cot θ = 2, তেন্তে tan²θ + cot²θ ৰ মান হ’ব
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
20 মিটাৰ দীঘল এটা মিৰিখান দেৱালত 60° কোণ কৰি ৰৈ আছে। ইয়াৰে পোৱা উচ্চতা হ’ব
A. 10 m
B. 10√3 m
C. 20 m
D. 20√3 m -
যদি sin θ = cos (3θ – 30°), তেন্তে θ ৰ মান হ’ব
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60° -
(sin 30° + cos 60°) / (tan 45°) ৰ মান হ’ব
A. 0
B. 1
C. 1/2
D. 2 -
যদি 7 sin²θ + 3 cos²θ = 4, তেন্তে tan θ ৰ মান হ’ব
A. 1/√3
B. √3
C. 1
D. 2 -
1.5 মিটাৰ ওখ এজন মানুহ মিনাৰ এটাৰ পৰা 30 মিটাৰ দূৰত থিয় দি আছে। শীৰ্ষলৈ উন্নতি কোণ 30°। মিনাৰটোৰ উচ্চতা প্ৰায়
A. 15 m
B. 16.5 m
C. 17.5 m
D. 18.5 m -
যদি sin θ + cosec θ = 2, তেন্তে sin²θ + cosec²θ ৰ মান হ’ব
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4 -
100 মিটাৰ ওখ দলং এটাৰ পৰা নাও এখনৰ অবনতি কোণ 45°। নাওখনৰ অনুভূমিক দূৰত্ব হ’ব
A. 50 m
B. 100 m
C. 100√2 m
D. 200 m -
যদি tan A = 5/12, তেন্তে sin A + cos A ৰ মান হ’ব
A. 17/13
B. 13/17
C. 7/13
D. 13/7 -
sin 120° ৰ মান হ’ব
A. 1/2
B. √3/2
C. –1/2
D. –√3/2 -
যদি cos θ = –1/2 আৰু θ তৃতীয় চতুৰ্থাংশত থাকে, তেন্তে tan θ ৰ মান হ’ব
A. √3
B. –√3
C. 1/√3
D. –1/√3 -
3000 মিটাৰ উচ্চতাত এটা বিমান আন এটা বিমানৰ ওপৰেদি উলম্বভাৱে উৰি গ’ল। মাটিৰ এটা বিন্দুৰ পৰা উন্নতি কোণ ক্ৰমে 60° আৰু 45°। সিহঁতৰ মাজৰ উলম্ব দূৰত্ব হ’ব
A. 1000 m
B. 1000√3 m
C. 3000(√3 – 1) m
D. 3000(1 – 1/√3) m -
যদি (1 + tan A)(1 + tan B) = 2, তেন্তে A + B ৰ মান হ’ব
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
উত্তৰ আৰু ব্যাখ্যা
AnswerCorrect: Option A. Explanation: P = 3, H = 5 ⇒ B = 4 ⇒ cos θ = 4/5.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° = ½·½ + (√3/2)(√3/2) = ¼ + ¾ = 1.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: tan θ = 1 ⇒ θ = 45°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: Universal identity sec²θ – tan²θ = 1.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: tan θ = 10/(10√3) = 1/√3 ⇒ θ = 30°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin θ = 3/5 ⇒ cosec θ = 5/3.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: Complementary angle formula.
AnswerCorrect: Option C. Explanation: 1 + 1 = 2.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin A = cos A ⇒ tan A = 1 ⇒ A = 45°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: tan θ = 50/50 = 1 ⇒ θ = 45°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: x² + y² = r²(sin²θ + cos²θ) = r².
AnswerCorrect: Option C. Explanation: Maximum value of a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) = 5.
AnswerCorrect: Option C. Explanation: Square both sides: tan²θ + cot²θ + 2 = 4 ⇒ tan²θ + cot²θ = 2.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: height = 20 sin 60° = 20·√3/2 = 10√3 m.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin θ = cos(3θ – 30°) ⇒ θ + 3θ – 30° = 90° ⇒ 4θ = 120° ⇒ θ = 30°.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: (½ + ½)/1 = 1.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: 7 sin²θ + 3(1 – sin²θ) = 4 ⇒ 4 sin²θ = 1 ⇒ sin θ = ½ ⇒ θ = 30° ⇒ tan θ = 1/√3.
AnswerCorrect: Option C. Explanation: tan 30° = (H – 1.5)/30 ⇒ H – 1.5 = 30/√3 ≈ 17.32 ⇒ H ≈ 18.82 ≈ 17.5 m (closest option).
AnswerCorrect: Option C. Explanation: Square: sin²θ + cosec²θ + 2 = 4 ⇒ sin²θ + cosec²θ = 2.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: tan 45° = 100/d ⇒ d = 100 m.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: 5-12-13 triangle ⇒ sin A = 5/13, cos A = 12/13 ⇒ sum = 17/13.
AnswerCorrect: Option B. Explanation: sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° = √3/2.
AnswerCorrect: Option A. Explanation: third quadrant tan is positive; cos θ = –1/2 ⇒ tan θ = √3.
AnswerCorrect: Option D. Explanation: h₁ = 3000/√3, h₂ = 3000 ⇒ difference = 3000 – 3000/√3 = 3000(1 – 1/√3).
AnswerCorrect: Option B. Explanation: Expand: 1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2 ⇒ tan A + tan B = 1 – tan A tan B ⇒ tan(A+B) = 1 ⇒ A+B = 45°.
দ্ৰুত কৌশল আৰু শেষ মুহূৰ্তৰ টিপছ
- পাইথাগোৰিয়ান ট্ৰিপলেট: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 পোনপটীয়াকৈ দেখা দিয়ে – মূল গণনা এৰাই চলিবলৈ এইবোৰ মুখস্থ কৰক।
- বিশেষ-কোণ তালিকা: sin আৰু cos ৰ বাবে 0° 30° 45° 60° 90° এবাৰ লিখক; tan হৈছে sin/cos।
- সম্পূৰক সলনি: যেতিয়া (90° – θ) দেখিব, তৎক্ষণাত sin ↔ cos, tan ↔ cot, sec ↔ cosec সলনি কৰক।
- সৰ্বোচ্চ-সৰ্বনিম্ন সূত্ৰ: a sin θ + b cos θ ৰ সৰ্বোচ্চ মান √(a² + b²) আৰু সৰ্বনিম্ন মান –√(a² + b²) – ই ডিফাৰেন্সিয়েশ্যন ৰক্ষা কৰে।
- উচ্চতা আৰু দূৰত্ব: সদায় চিত্ৰ আঁকক; এটা সাধাৰণ বাহু (সাধাৰণতে দূৰত্ব) ভাগ কৰা দুটা ত্ৰিভূজ চিহ্নিত কৰক। এটা tan θ সমীকৰণেই যথেষ্ট; বাধ্য নোহোৱালৈকে দ্বিঘাত সমীকৰণ সমাধান নকৰিব।
BETA
