సర్డ్స్ & ఇండిసెస్
కీలక అంశాలు
| # | అంశం | వివరణ |
|---|---|---|
| 1 | సర్డ్స్ | ఒక పూర్ణ సంఖ్యగా సరళీకరించలేని అకరణీయ మూలాలు (ఉదా., √2, ³√5). |
| 2 | ఇండిసెస్ | ఒక సంఖ్యను తనతో ఎన్నిసార్లు గుణించబడిందో సూచించే ఘాతాలు లేదా ఘాతాంకాలు. |
| 3 | హేతుబద్ధీకరణ | లవం మరియు హారం రెండింటినీ సంయుగ్మం (conjugate)తో గుణించడం ద్వారా హారం నుండి సర్డ్ను తొలగించే ప్రక్రియ. |
| 4 | ఘాతాంకాల నియమాలు | నియమాలు: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1. |
| 5 | సర్డ్లను పోల్చడం | ఒకే క్రమంలోకి మార్చండి (మూలాల LCM) లేదా పోల్చడానికి దశాంశ సమీపీకరణ. |
| 6 | సర్డ్లను సరళీకరించడం | మూలం లోపలి సంఖ్యను పరిపూర్ణ-వర్గ/ఘన కారణాంకాలుగా కారకం చేసి వాటిని బయటకు తీయండి. |
| 7 | ద్వంద్వ ఘాతాంకాలు | (aᵐ)ⁿ వంటి సమాసం aᵐⁿగా సరళీకరించబడుతుంది; ముందు బ్రాకెట్ను నిర్వహించండి. |
| 8 | మిశ్రమ కార్యకలాపాలు | BODMAS ఇప్పటికీ వర్తిస్తుంది—ముందు బ్రాకెట్లు, తర్వాత ఘాతాంకాలు, ఆపై గుణకారం/భాగహారం సరళీకరించండి. |
15 ప్రాక్టీస్ బహుళైచ్ఛిక ప్రశ్నలు
- (64)1/2 + (27)1/3 = ?
ఎంపికలు
A. 5
B. 7
C. 11
D. 14
సమాధానం: C
పరిష్కారం: √64 = 8; ³√27 = 3 → 8 + 3 = 11
శార్ట్కట్: 30 వరకు పరిపూర్ణ వర్గాలు మరియు 15 వరకు ఘనాలను గుర్తుంచుకోండి.
ట్యాగ్: ప్రాథమిక ఘాతాంకాలు + సర్డ్స్
- (25 × 23) ÷ 26 = ?
ఎంపికలు
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
సమాధానం: B
పరిష్కారం: 25+3-6 = 22 = 4
శార్ట్కట్: భూములు ఒకేలా ఉన్నప్పుడు ఘాతాంకాలను నేరుగా కూడండి/తీసివేయండి.
ట్యాగ్: ఘాతాంకాల నియమాలు
- (0.04)-1/2 విలువ
ఎంపికలు
A. 0.2
B. 5
C. 25
D. 1/5
సమాధానం: B
పరిష్కారం: (4/100)-1/2 = (100/4)1/2 = √25 = 5
శార్ట్కట్: ఘాతాంకం ఋణాత్మకంగా ఉన్నప్పుడు భిన్నాన్ని తిప్పండి.
ట్యాగ్: ఋణాత్మక ఘాతాంకం
- సరళీకరించండి: 5√3 - 2√12 + √75
ఎంపికలు
A. 4√3
B. 6√3
C. 8√3
D. 10√3
సమాధానం: B
పరిష్కారం: √12 = 2√3; √75 = 5√3 → 5√3 - 4√3 + 5√3 = 6√3
శార్ట్కట్: ముందు సర్డ్లను సరళ రూపంలోకి విడదీయండి.
ట్యాగ్: సర్డ్ సరళీకరణ
- 3x = 81 అయితే, x = ?
ఎంపికలు
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
సమాధానం: B
పరిష్కారం: 81 = 34 ⇒ x = 4
శార్ట్కట్: RHS ను ఒకే భూమి యొక్క ఘాతంగా వ్యక్తపరచండి.
ట్యాగ్: ఘాతాంక సమీకరణం
- హేతుబద్ధీకరించండి: 1/(√7 + √2)
ఎంపికలు
A. (√7 - √2)/5
B. (√7 + √2)/5
C. (√7 - √2)/3
D. (√7 + √2)/9
సమాధానం: A
పరిష్కారం: (√7 - √2)/(√7 - √2) తో గుణించండి → (7 - 2)/(7 - 2) = 5 → లవం = √7 - √2
శార్ట్కట్: (a+b)(a-b) = a²-b² ని ఉపయోగించండి.
ట్యాగ్: హేతుబద్ధీకరణ
- (16)3/4 × (8)2/3 = ?
ఎంపికలు
A. 16
B. 24
C. 32
D. 48
సమాధానం: C
పరిష్కారం: 163/4 = (24)3/4 = 23 = 8; 82/3 = 22 = 4 → 8 × 4 = 32
శార్ట్కట్: ప్రతిదీ ఒకే ప్రధాన భూమికి (2) మార్చండి.
ట్యాగ్: భిన్న ఘాతాంకాలు
- ఏది గరిష్ఠం? √3, ³√4, ⁴√5
ఎంపికలు
A. √3
B. ³√4
C. ⁴√5
D. అన్నీ సమానం
సమాధానం: A
పరిష్కారం: ప్రతిదాన్ని 12వ ఘాతానికి ఎత్తండి (2,3,4 ల LCM): 36=729; 44=256; 53=125 → 729 అతిపెద్దది
శార్ట్కట్: LCM ఘాత పోలిక.
ట్యాగ్: సర్డ్లను పోల్చడం
- (50 + 70) ÷ 20 = ?
ఎంపికలు
A. 0
B. 1
C. 2
D. నిర్వచించబడలేదు
సమాధానం: C
పరిష్కారం: 1 + 1 = 2; 2 ÷ 1 = 2
శార్ట్కట్: ఏదైనా సంఖ్య 0 ఘాతానికి 1 అవుతుంది.
ట్యాగ్: సున్నా ఘాతాంకం
- √x = 0.25 అయితే, x = ?
ఎంపికలు
A. 0.5
B. 0.0625
C. 0.125
D. 0.025
సమాధానం: B
పరిష్కారం: x = (0.25)² = 0.0625
శార్ట్కట్: రెండు వైపులా వెంటనే వర్గం చేయండి.
ట్యాగ్: వర్గమూల సమీకరణం
- సరళీకరించండి: (2√5)2
ఎంపికలు
A. 10
B. 20
C. 40
D. 100
సమాధానం: B
పరిష్కారం: 22 × (√5)2 = 4 × 5 = 20
శార్ట్కట్: గుణకం మరియు సర్డ్ను విడిగా వర్గం చేయండి.
ట్యాగ్: సర్డ్ను వర్గం చేయడం
- (0.2)3 × (0.04)-2 = ?
ఎంపికలు
A. 5
B. 25
C. 125
D. 625
సమాధానం: C
పరిష్కారం: (1/5)3 × (1/25)-2 = 1/125 × 625 = 5 → 625/125 = 5 (అయ్యో!)
తిరుతు: (0.04)-2 = (25)2 = 625; (0.2)3 = 0.008 → 0.008 × 625 = 5
సమాధానం: A
శార్ట్కట్: ముందు దశాంశాలను భిన్నాలుగా మార్చండి.
ట్యాగ్: ఋణాత్మక ఘాతాంకం
- ³√0.000001 = ?
ఎంపికలు
A. 0.01
B. 0.001
C. 0.0001
D. 0.1
సమాధానం: A
పరిష్కారం: 0.000001 = 10-6 → (10-6)1/3 = 10-2 = 0.01
శార్ట్కట్: 10-6 ను (10-2)3గా గుర్తించండి.
ట్యాగ్: ఘనమూలం
- 2x-1 + 2x+1 = 160 అయితే, x = ?
ఎంపికలు
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
సమాధానం: B
పరిష్కారం: 2x-1(1 + 4) = 160 → 5·2x-1 = 160 → 2x-1 = 32 → x-1 = 5 → x = 6
శార్ట్కట్: చిన్న ఘాతాంకం యొక్క సామాన్య కారణాంకం.
ట్యాగ్: ఘాతాంక సమీకరణం
- ³√5 యొక్క హేతుబద్ధీకరణ కారణాంకం
ఎంపికలు
A. ³√5
B. ³√25
C. ³√125
D. ³√1
సమాధానం: B
పరిష్కారం: ³√5 × ³√25 = ³√125 = 5 (హేతుబద్ధం)
శార్ట్కట్: మూలం యొక్క క్రమం 3కి ఘాతాంకాల మొత్తం అవసరం.
ట్యాగ్: హేతుబద్ధీకరణ కారణాంకం
వేగ ట్రిక్స్
| పరిస్థితి | శార్ట్కట్ | ఉదాహరణ |
|---|---|---|
| సర్డ్లను పోల్చడం | LCM ఘాతానికి ఎత్తండి | ³√4 vs √3 → 12వ ఘాతం → 44=256 vs 36=729 → √3 గెలుస్తుంది |
| దశాంశ ఋణాత్మక ఘాతాంకం | తిప్పి ధనాత్మకం చేయండి | (0.04)-1/2 → (100/4)1/2 = 5 |
| 0.1, 0.01, 0.001 ఘాతాలు | 10⁻ⁿ గా రాయండి | (0.001)1/3 = (10⁻³)1/3 = 10⁻¹ = 0.1 |
| ఘాతాంకాల మొత్తం | చిన్న పదం యొక్క కారణాంకం | 3x + 3x+2 = 3x(1+9) = 10·3x |
| ఘాతం యొక్క చివరి అంకె | చివరి అంకె చక్రం | 783 → 7,9,3,1 చక్రం → 83 mod 4 = 3 → చివరి అంకె 3 |
త్వరిత రివిజన్
| పాయింట్ | వివరణ |
|---|---|
| 1 | √a × √a = a; √a × √b = √(ab) |
| 2 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; భిన్నమైన భూముల ఘాతాంకాలను ఎప్పుడూ కూడరాదు |
| 3 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; ఘాతం యొక్క ఘాతం → ఘాతాంకాలను గుణించండి |
| 4 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ; తిప్పండి మరియు గుర్తు మార్పు |
| 5 | a⁰ = 1 ఏదైనా a ≠ 0 కోసం |
| 6 | సర్డ్లను పోల్చడానికి, ఒకే మూల క్రమంలోకి తీసుకురండి (LCM) |
| 7 | సంయుగ్మం (a±√b) ఉపయోగించి హారాలను హేతుబద్ధీకరించండి |
| 8 | పరిపూర్ణ-వర్గ కారణాంకాలను బయటకు తీయడం ద్వారా సర్డ్లను సరళీకరించండి |
| 9 | ³√a × ³√a² = a (హేతుబద్ధీకరణ కారణాంకం జత) |
| 10 | BODMAS నియమం ఇప్పటికీ పాలిస్తుంది—ముందు బ్రాకెట్లు, ఆపై ఘాతాంకాలు |
BETA
