करणी आणि घातांक
मुख्य संकल्पना
| # | संकल्पना | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | करणी | अपरिमेय मूळे जी पूर्ण संख्येमध्ये सोपी करता येत नाहीत (उदा., √2, ³√5). |
| 2 | घातांक | घात किंवा घातांक जे संख्या स्वतःशी किती वेळा गुणिली जाते हे दर्शवतात. |
| 3 | परिमेयीकरण | छेदातील करणी काढून टाकण्याची प्रक्रिया, ज्यासाठी अंश आणि छेद यांचा गुणाकार संयुग्माने केला जातो. |
| 4 | घातांकाचे नियम | नियम: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1. |
| 5 | करण्यांची तुलना | समान क्रमात रूपांतरित करा (मूळांचा लसावि) किंवा तुलनेसाठी दशांश अंदाजे मूल्य काढा. |
| 6 | करण्यांचे सरलीकरण | मूळाच्या आत असलेल्या संख्येचे परिपूर्ण-वर्ग/घन अवयवांमध्ये विभाजन करा आणि त्यांना बाहेर काढा. |
| 7 | दुहेरी घातांक | (aᵐ)ⁿ सारख्या पदावलीचे सरलीकरण aᵐⁿ इतके होते; प्रथम कंस सोडवा. |
| 8 | मिश्र क्रिया | BODMAS नियम लागू राहतो — प्रथम कंस, नंतर घातांक, नंतर गुणाकार/भागाकार सोडवा. |
15 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
- (64)1/2 + (27)1/3 = ?
पर्याय
A. 5
B. 7
C. 11
D. 14
उत्तर: C
उकल: √64 = 8; ³√27 = 3 → 8 + 3 = 11
शॉर्टकट: 30 पर्यंतचे परिपूर्ण वर्ग आणि 15 पर्यंतचे घन लक्षात ठेवा.
टॅग: मूलभूत घातांक + करणी
- (25 × 23) ÷ 26 = ?
पर्याय
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
उत्तर: B
उकल: 25+3-6 = 22 = 4
शॉर्टकट: पाया समान असल्यास घातांक थेट बेरीज/वजाबाकी करा.
टॅग: घातांकाचे नियम
- (0.04)-1/2 चे मूल्य आहे
पर्याय
A. 0.2
B. 5
C. 25
D. 1/5
उत्तर: B
उकल: (4/100)-1/2 = (100/4)1/2 = √25 = 5
शॉर्टकट: घातांक ऋण असल्यास अपूर्णांक उलटा करा.
टॅग: ऋण घातांक
- सरळरूप द्या: 5√3 - 2√12 + √75
पर्याय
A. 4√3
B. 6√3
C. 8√3
D. 10√3
उत्तर: B
उकल: √12 = 2√3; √75 = 5√3 → 5√3 - 4√3 + 5√3 = 6√3
शॉर्टकट: करणी प्रथम सोप्या रूपात लिहा.
टॅग: करणी सरलीकरण
- जर 3x = 81, तर x = ?
पर्याय
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
उत्तर: B
उकल: 81 = 34 ⇒ x = 4
शॉर्टकट: उजवी बाजू समान पायाच्या घात म्हणून लिहा.
टॅग: घातांकीय समीकरण
- परिमेयीकरण करा: 1/(√7 + √2)
पर्याय
A. (√7 - √2)/5
B. (√7 + √2)/5
C. (√7 - √2)/3
D. (√7 + √2)/9
उत्तर: A
उकल: (√7 - √2)/(√7 - √2) ने गुणाकार करा → (7 - 2)/(7 - 2) = 5 → अंश = √7 - √2
शॉर्टकट: (a+b)(a-b) = a²-b² वापरा.
टॅग: परिमेयीकरण
- (16)3/4 × (8)2/3 = ?
पर्याय
A. 16
B. 24
C. 32
D. 48
उत्तर: C
उकल: 163/4 = (24)3/4 = 23 = 8; 82/3 = 22 = 4 → 8 × 4 = 32
शॉर्टकट: सर्व गोष्टी समान मूळ पाया (2) मध्ये रूपांतरित करा.
टॅग: अपूर्णांकी घातांक
- सर्वात मोठे कोणते? √3, ³√4, ⁴√5
पर्याय
A. √3
B. ³√4
C. ⁴√5
D. सर्व समान
उत्तर: A
उकल: प्रत्येकाचा 12 वा घात करा (2,3,4 चा लसावि): 36=729; 44=256; 53=125 → 729 सर्वात मोठे
शॉर्टकट: लसावि घात तुलना.
टॅग: करण्यांची तुलना
- (50 + 70) ÷ 20 = ?
पर्याय
A. 0
B. 1
C. 2
D. अपरिभाषित
उत्तर: C
उकल: 1 + 1 = 2; 2 ÷ 1 = 2
शॉर्टकट: शून्य घातांक असलेली कोणतीही संख्या 1 असते.
टॅग: शून्य घातांक
- जर √x = 0.25, तर x = ?
पर्याय
A. 0.5
B. 0.0625
C. 0.125
D. 0.025
उत्तर: B
उकल: x = (0.25)² = 0.0625
शॉर्टकट: दोन्ही बाजूंचा ताबडतोब वर्ग करा.
टॅग: वर्गमूळ समीकरण
- सरळरूप द्या: (2√5)2
पर्याय
A. 10
B. 20
C. 40
D. 100
उत्तर: B
उकल: 22 × (√5)2 = 4 × 5 = 20
शॉर्टकट: सहगुणक आणि करणीचा स्वतंत्रपणे वर्ग करा.
टॅग: करणीचा वर्ग
- (0.2)3 × (0.04)-2 = ?
पर्याय
A. 5
B. 25
C. 125
D. 625
उत्तर: C
उकल: (1/5)3 × (1/25)-2 = 1/125 × 625 = 5 → 625/125 = 5 (अरेरे!)
दुरुस्ती: (0.04)-2 = (25)2 = 625; (0.2)3 = 0.008 → 0.008 × 625 = 5
उत्तर: A
शॉर्टकट: दशांश प्रथम अपूर्णांकात रूपांतरित करा.
टॅग: ऋण घातांक
- ³√0.000001 = ?
पर्याय
A. 0.01
B. 0.001
C. 0.0001
D. 0.1
उत्तर: A
उकल: 0.000001 = 10-6 → (10-6)1/3 = 10-2 = 0.01
शॉर्टकट: 10-6 हे (10-2)3 म्हणून ओळखा.
टॅग: घनमूळ
- जर 2x-1 + 2x+1 = 160, तर x = ?
पर्याय
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
उत्तर: B
उकल: 2x-1(1 + 4) = 160 → 5·2x-1 = 160 → 2x-1 = 32 → x-1 = 5 → x = 6
शॉर्टकट: सामाईक लहान घातांकाचा अवयव काढा.
टॅग: घातांकीय समीकरण
- ³√5 चा परिमेयीकरण घटक आहे
पर्याय
A. ³√5
B. ³√25
C. ³√125
D. ³√1
उत्तर: B
उकल: ³√5 × ³√25 = ³√125 = 5 (परिमेय)
शॉर्टकट: घातांकांची बेरीज 3 (मूळाचा क्रम) असणे आवश्यक आहे.
टॅग: परिमेयीकरण घटक
गतीचे टोटके
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| करण्यांची तुलना | लसावि घातापर्यंत वाढवा | ³√4 vs √3 → 12 वा घात → 44=256 vs 36=729 → √3 जिंकते |
| दशांश ऋण घातांक | उलटा करा आणि धनात्मक करा | (0.04)-1/2 → (100/4)1/2 = 5 |
| 0.1, 0.01, 0.001 चे घात | 10⁻ⁿ म्हणून लिहा | (0.001)1/3 = (10⁻³)1/3 = 10⁻¹ = 0.1 |
| घातांकीय पदांची बेरीज | लहान पदाचा अवयव काढा | 3x + 3x+2 = 3x(1+9) = 10·3x |
| घाताचा शेवटचा अंक | शेवटच्या अंकाचा चक्र | 783 → 7,9,3,1 चक्र → 83 mod 4 = 3 → शेवटचा अंक 3 |
द्रुत पुनरावलोकन
| मुद्दा | तपशील |
|---|---|
| 1 | √a × √a = a; √a × √b = √(ab) |
| 2 | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; भिन्न पायाचे घातांक कधीही बेरीज करू नका |
| 3 | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; घाताचा घात → घातांकांचा गुणाकार |
| 4 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ; उलटा करा आणि चिन्ह बदलते |
| 5 | a⁰ = 1 जर a ≠ 0 असेल |
| 6 | करण्यांची तुलना करण्यासाठी, समान मूळ क्रमात आणा (लसावि) |
| 7 | संयुग्म (a±√b) वापरून छेदांचे परिमेयीकरण करा |
| 8 | परिपूर्ण-वर्ग अवयव बाहेर काढून करणी सोपी करा |
| 9 | ³√a × ³√a² = a (परिमेयीकरण घटक जोडी) |
| 10 | BODMAS नियम अजूनही लागू — घातांकापूर्वी कंस |
BETA
