SATHEE: करणी एवं घातांक

करणी एवं घातांक

मुख्य अवधारणाएँ

#	अवधारणा	व्याख्या
1	करणी (Surds)	अपरिमेय मूल जिन्हें पूर्ण संख्या में सरल नहीं किया जा सकता (जैसे, √2, ³√5)।
2	घातांक (Indices)	घात या घातांक जो दर्शाते हैं कि एक संख्या को स्वयं से कितनी बार गुणा किया गया है।
3	परिमेयकरण (Rationalisation)	हर से करणी को हटाने की प्रक्रिया, अंश और हर को संयुग्मी से गुणा करके।
4	घातांक के नियम (Laws of Indices)	नियम: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, a⁻ⁿ = 1/aⁿ, a⁰ = 1।
5	करणियों की तुलना (Comparing Surds)	तुलना करने के लिए समान क्रम में बदलें (मूलों का लघुत्तम समापवर्त्य) या दशमलव सन्निकटन का उपयोग करें।
6	करणियों का सरलीकरण (Simplifying Surds)	मूल के अंदर की संख्या को पूर्ण-वर्ग/घन गुणनखंडों में विभाजित करें और उन्हें बाहर निकालें।
7	द्वि-घातांक (Double Indices)	(aᵐ)ⁿ जैसे व्यंजक aᵐⁿ में सरल होते हैं; पहले कोष्ठक को हल करें।
8	मिश्रित संक्रियाएँ (Mixed Operations)	BODMAS (कोष्ठक, का, भाग, गुणा, जोड़, घटाव) अभी भी लागू होता है—पहले कोष्ठक, फिर घातांक, फिर गुणा/भाग सरल करें।

15 अभ्यास बहुविकल्पीय प्रश्न

(64)^1/2 + (27)^1/3 = ? विकल्प
A. 5
B. 7
C. 11
D. 14

उत्तर: C
हल: √64 = 8; ³√27 = 3 → 8 + 3 = 11
शॉर्टकट: 30 तक के पूर्ण वर्ग और 15 तक के घन याद रखें।
टैग: मूल घातांक + करणी

(2⁵ × 2³) ÷ 2⁶ = ? विकल्प
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

उत्तर: B
हल: 2^5+3-6 = 2² = 4
शॉर्टकट: जब आधार समान हों तो घातांकों को सीधे जोड़ें/घटाएं।
टैग: घातांक के नियम

(0.04)^-1/2 का मान है विकल्प
A. 0.2
B. 5
C. 25
D. 1/5

उत्तर: B
हल: (4/100)^-1/2 = (100/4)^1/2 = √25 = 5
शॉर्टकट: जब घातांक ऋणात्मक हो तो भिन्न को पलटें।
टैग: ऋणात्मक घातांक

सरल कीजिए: 5√3 - 2√12 + √75 विकल्प
A. 4√3
B. 6√3
C. 8√3
D. 10√3

उत्तर: B
हल: √12 = 2√3; √75 = 5√3 → 5√3 - 4√3 + 5√3 = 6√3
शॉर्टकट: पहले करणियों को सरलतम रूप में बदलें।
टैग: करणी सरलीकरण

यदि 3^x = 81, तो x = ? विकल्प
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

उत्तर: B
हल: 81 = 3⁴ ⇒ x = 4
शॉर्टकट: दायाँ पक्ष (RHS) को समान आधार की घात के रूप में व्यक्त करें।
टैग: घातांकीय समीकरण

परिमेयकरण कीजिए: 1/(√7 + √2) विकल्प
A. (√7 - √2)/5
B. (√7 + √2)/5
C. (√7 - √2)/3
D. (√7 + √2)/9

उत्तर: A
हल: (√7 - √2)/(√7 - √2) से गुणा करें → (7 - 2)/(7 - 2) = 5 → अंश = √7 - √2
शॉर्टकट: (a+b)(a-b) = a²-b² का उपयोग करें।
टैग: परिमेयकरण

(16)^3/4 × (8)^2/3 = ? विकल्प
A. 16
B. 24
C. 32
D. 48

उत्तर: C
हल: 16^3/4 = (2⁴)^3/4 = 2³ = 8; 8^2/3 = 2² = 4 → 8 × 4 = 32
शॉर्टकट: सभी को समान अभाज्य आधार (2) में बदलें।
टैग: भिन्नात्मक घातांक

कौन सबसे बड़ा है? √3, ³√4, ⁴√5 विकल्प
A. √3
B. ³√4
C. ⁴√5
D. सभी समान

उत्तर: A
हल: प्रत्येक को 12वीं घात तक बढ़ाएं (2,3,4 का लघुत्तम समापवर्त्य): 3⁶=729; 4⁴=256; 5³=125 → 729 सबसे बड़ा
शॉर्टकट: लघुत्तम समापवर्त्य घात तुलना।
टैग: करणियों की तुलना

(5⁰ + 7⁰) ÷ 2⁰ = ? विकल्प
A. 0
B. 1
C. 2
D. अपरिभाषित

उत्तर: C
हल: 1 + 1 = 2; 2 ÷ 1 = 2
शॉर्टकट: किसी भी संख्या की शून्य घात 1 होती है।
टैग: शून्य घातांक

यदि √x = 0.25, तो x = ? विकल्प
A. 0.5
B. 0.0625
C. 0.125
D. 0.025

उत्तर: B
हल: x = (0.25)² = 0.0625
शॉर्टकट: दोनों पक्षों का तुरंत वर्ग करें।
टैग: वर्गमूल समीकरण

सरल कीजिए: (2√5)² विकल्प
A. 10
B. 20
C. 40
D. 100

उत्तर: B
हल: 2² × (√5)² = 4 × 5 = 20
शॉर्टकट: गुणांक और करणी का अलग-अलग वर्ग करें।
टैग: करणी का वर्ग

(0.2)³ × (0.04)^-2 = ? विकल्प
A. 5
B. 25
C. 125
D. 625

उत्तर: C
हल: (1/5)³ × (1/25)^-2 = 1/125 × 625 = 5 → 625/125 = 5 (उफ़!)
सुधार: (0.04)^-2 = (25)² = 625; (0.2)³ = 0.008 → 0.008 × 625 = 5
उत्तर: A
शॉर्टकट: पहले दशमलव को भिन्न में बदलें।
टैग: ऋणात्मक घातांक

³√0.000001 = ? विकल्प
A. 0.01
B. 0.001
C. 0.0001
D. 0.1

उत्तर: A
हल: 0.000001 = 10^-6 → (10^-6)^1/3 = 10^-2 = 0.01
शॉर्टकट: 10^-6 को (10^-2)³ के रूप में पहचानें।
टैग: घनमूल

यदि 2^x-1 + 2^x+1 = 160, तो x = ? विकल्प
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

उत्तर: B
हल: 2^x-1(1 + 4) = 160 → 5·2^x-1 = 160 → 2^x-1 = 32 → x-1 = 5 → x = 6
शॉर्टकट: सबसे छोटे घातांक वाले पद को सामान्य गुणनखंड के रूप में लें।
टैग: घातांकीय समीकरण

³√5 का परिमेयकरण गुणनखंड है विकल्प
A. ³√5
B. ³√25
C. ³√125
D. ³√1

उत्तर: B
हल: ³√5 × ³√25 = ³√125 = 5 (परिमेय)
शॉर्टकट: घातांकों का योग मूल के क्रम (3) के बराबर होना चाहिए।
टैग: परिमेयकरण गुणनखंड

गति तकनीकें

स्थिति	शॉर्टकट	उदाहरण
करणियों की तुलना	लघुत्तम समापवर्त्य घात तक बढ़ाएं	³√4 बनाम √3 → 12वीं घात → 4⁴=256 बनाम 3⁶=729 → √3 बड़ा
दशमलव ऋणात्मक घातांक	पलटें और धनात्मक बनाएं	(0.04)^-1/2 → (100/4)^1/2 = 5
0.1, 0.01, 0.001 की घातें	10⁻ⁿ के रूप में लिखें	(0.001)^1/3 = (10⁻³)^1/3 = 10⁻¹ = 0.1
घातांकीय व्यंजकों का योग	सबसे छोटे पद को गुणनखंड के रूप में लें	3^x + 3^x+2 = 3^x(1+9) = 10·3^x
घात का अंतिम अंक	अंतिम अंक का चक्र	7⁸³ → 7,9,3,1 चक्र → 83 mod 4 = 3 → अंतिम अंक 3

त्वरित पुनरावलोकन

बिंदु	विवरण
1	√a × √a = a; √a × √b = √(ab)
2	aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; भिन्न आधारों के घातांक कभी न जोड़ें
3	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ; घात की घात → घातांकों का गुणा
4	a⁻ⁿ = 1/aⁿ; पलटें और चिह्न बदलें
5	a⁰ = 1, किसी भी a ≠ 0 के लिए
6	करणियों की तुलना करने के लिए, समान मूल क्रम (लघुत्तम समापवर्त्य) में लाएं
7	हर का परिमेयकरण संयुग्मी (a±√b) का उपयोग करके करें
8	करणियों को पूर्ण-वर्ग गुणनखंडों को बाहर निकालकर सरल करें
9	³√a × ³√a² = a (परिमेयकरण गुणनखंड युग्म)
10	BODMAS नियम अभी भी लागू होता है—घातांक से पहले कोष्ठक

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