మెన్సురేషన్ త్వరిత సూచన - త్వరిత పునర్విమర్శ
క్షేత్రమితి త్వరిత సూచిక - త్వరిత పునశ్చరణ
కీలక అంశాలు (ఒకే వాక్యంలో)
- పరిధి అనేది సరిహద్దు మొత్తం పొడవు; విస్తీర్ణం అనేది లోపల ఉన్న స్థలం.
- ఘనాకారానికి 6 సమాన చతురస్రాలు ఉంటాయి; దాని స్పేస్ డయాగోనల్ a√3.
- సిలిండర్ వక్రతల విస్తీర్ణం = 2πrh; మొత్తం ఉపరితల విస్తీర్ణం = 2πr(r + h).
- గోళం ఘనపరిమాణం = (4/3)πr³; ఉపరితల విస్తీర్ణం = 4πr² (pi-r-squared కాదు!).
- శంకు వాలు ఎత్తు l = √(h² + r²); ఘనపరిమాణం = (1/3)πr²h.
- ప్రిజం ఘనపరిమాణం = బేస్ విస్తీర్ణం × ఎత్తు; పిరమిడ్ ఘనపరిమాణం = ⅓ × బేస్ విస్తీర్ణం × ఎత్తు.
- ఫ్రస్టం కోసం, చిన్న శంకును పెద్ద శంకులోంచి తీసేయండి.
- 1 హెక్టార్ = 10,000 m²; 1 ఎకరా ≈ 4047 m².
- వ్యాసార్థంలో వృత్త విస్తీర్ణం: πD²/4.
- ఘనాకార పెట్టె డయాగోనల్ = √(l² + b² + h²).
- ఒకే విధమైన ఘనాల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి = అనుబంధ భుజాల నిష్పత్తి యొక్క ఘనం.
- ఖాళీ సిలిండర్ మందం = (R – r); పదార్థం ఘనపరిమాణం = πh(R² – r²).
- చతురస్ర తోట చుట్టూ ఉన్న మార్గ విస్తీర్ణం = 2w(l + b + 2w).
- సమబాహు త్రిభుజ ఎత్తు = (√3/2) × భుజం.
- ఇచ్చిన పరిధికి గరిష్ఠ విస్తీర్ణం ఎప్పుడూ వృత్తం.
ముఖ్యమైన సూత్రాలు/నియమాలు
| సూత్రం/నియమం |
అన్వయం |
| ట్రాపీజియం వైశాల్యం = ½ × (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × ఎత్తు |
రైల్వే ప్లాట్ఫామ్/ఎంబాంక్మెంట్ వైశాల్యాలు |
| ఖాళీ గోళం ఘనపరిమాణం = (4/3)π(R³ – r³) |
బాల్ బేరింగ్స్, లోహపు షెల్స్ |
| అర్ధగోళం ఉపరితల వైశాల్యం = 3πr² |
గుమ్మటం పెయింటింగ్, అర్ధజల ట్యాంకులు |
| కరిగించిన గోళం నుంచి లాగిన తీగ పొడవు = ( గోళం ఘనపరిమాణం ) / ( తీగకు πr² ) |
తీగ-లాగే సమస్యలు |
| చతురస్రం ఖండ = a√2 |
టైల్స్ కోణంగా సరిపోయే |
| వృత్తఖండ వైశాల్యం = (θ/360) × πr² |
పిజ్జా/గేర్ స్లైస్ సమస్యలు |
| క్యాప్ ఘనపరిమాణం = (1/3)πh²(3R – h) |
గోళాకార ట్యాంక్ చివరలు |
| నాలుగు గోడల వైశాల్యం = 2h(l + b) |
గది పెయింటింగ్ (నేల/ఛాతీ లేకుండా) |
మెమరీ ట్రిక్స్
- “CCC” – క్యూబ్: Cర్వ్ ఉపరితలం శూన్యం, Cస్థిర వైశాల్యం 6a², Cపాసిటీ a³.
- “టూ-పైస్” డే – రోల్ చేసినవి (సిలిండర్, కోన్) లో 2π ఉంటుంది వక్ర ఉపరితలంలో.
- “వాల్యూమ్ థర్డ్స్” – కోన్, పిరమిడ్, ఫ్రస్టమ్ → అన్నింటిలో ⅓ ఉంటుంది.
- “గోళం ఉపరితలం 4, ఘనపరిమాణం 4/3” – 4 అనేది మ్యాజిక్ నంబర్.
- “LBH” – Length Breadth Height ఎప్పుడూ గుణించాలి క్యూబాయిడ్ ఘనపరిమాణం కోసం.
సాధారణ తప్పులు
| తప్పు |
సరైన విధానం |
| కోన్ ఘనపరిమాణానికి πr²h వాడటం |
⅓πr²h గుర్తుంచుకో |
| సిలిండర్ మొత్తం ఉపరితలంలో పై & క్రింద జోడించడం మర్చిపోవడం |
2πr² + 2πrh వాడండి |
| కోన్లో చేరువ ఎత్తు = ఎత్తు తీసుకోవడం |
l = √(h² + r²) వాడండి |
| బయట మార్గ విస్తీర్ణాన్ని ఒక్కసారి మాత్రమే లెక్కించడం |
బయట – లోపల లేదా 2w(l + b + 2w) వాడండి |
| సూత్రాల్లో వ్యాసాన్ని వ్యాసార్థంతో కలిపేయడం |
ఇచ్చిన వ్యాసాన్ని మొదట అర చేయండి |
చివరి నిమిషం చిట్కాలు
- అన్ని సూత్రాలను ఒకే ఫ్లాష్ కార్డ్పై రాయండి; పరీక్ష మొదలయ్యే ముందు చూపు వేయండి.
- ప్రతి దశలో యూనిట్లను గుర్తించండి—m², cm³—తెలివితక్కువ మార్పు ఉచ్చులను నివారిస్తుంది.
- 1 మార్కర్కైనా చిన్న స్కెచ్ గీయండి; వ్యాసార్థం-ఎత్తు మార్పును నివారిస్తుంది.
- ప్రశ్న 3.14 అని చెప్పకపోతే πను 22/7గా అనుమానించండి; లెక్క సమయాన్ని ఆదా చేస్తుంది.
- పరిమాణ పరీక్ష చేయండి: ఘనపరిమాణం తప్పనిసరిగా పొడవు³, విస్తీర్ణం పొడవు²—పెద్ద తప్పులను పట్టుకుంటుంది.
త్వరిత అభ్యాసం (5 MCQలు)
1. గోళం ఘనపరిమాణం 4851 సెం.మీ³. దాని వ్యాసార్థం కనుగొనండి. (π = 22/7 తీసుకోండి)
4851 = 4/3 × 22/7 × r³ ⇒ r³ = 9261/8 ⇒ r = 10.5 సెం.మీ
ఉత్తరం: 10.5 సెం.మీ
2. 14 మీ × 10 మీ దీర్ఘచతురస్ర పార్క్లో 2 మీ వెడల్పు మార్గం లోపల ఉంది. మార్గ విస్తీర్ణం?
బయట విస్తీర్ణం = 140 మీ²; లోపల = (14–4)(10–4) = 60 మీ²; మార్గం = 140 – 60 = 80 మీ²
ఉత్తరం: 80 మీ²
3. ఒక కోన్ యొక్క వంపు ఉపరితలం (r = 7 సెం.మీ., h = 24 సెం.మీ.) ఏమిటి:
l = √(7²+24²)=25 సెం.మీ.; CSA = πrl = 22/7×7×25 = 550 సెం.మీ.²
ఉత్తరం: 550 సెం.మీ.²
4. 60 సెం.మీ. × 48 సెం.మీ. × 36 సెం.మీ. పెట్టెలో 6 సెం.మీ. ఘనాలు ఎన్ని సరిపోతాయి?
అంచుల వెంబడి: 10 × 8 × 6 = 480
ఉత్తరం: 480
5. అంతర్గత వ్యాసార్థం 9 సెం.మీ. గల అర్ధగోళాకార పాత్ర పూర్తిగా నీటితో నిండి ఉంది. ఆ నీటిని 27 ఒకేలాంటి సిలిండరాకార బాటిళ్లలో పోస్తారు; ప్రతి బాటిల్ వ్యాసార్థం 3 సెం.మీ. ప్రతి బాటిల్లో నీటి ఎత్తు ఎంత?
నీటి ఘనపరిమాణం = 2/3 π(9)³ = 486π సెం.మీ.³; ప్రతి బాటిల్కు 486π/27 = 18π = π(3)²h ⇒ h = 2 సెం.మీ.
ఉత్తరం: 2 సెం.మీ.
BETA
