10.1 పరిచయం

మనం క్రింద చూపిన విధంగా కొన్ని సమతల ఆకారాల గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, వాటి ప్రాంతాలు మరియు వాటి సరిహద్దుల గురించి ఆలోచిస్తాము. వాటిని పోల్చడానికి మనకు కొన్ని కొలతలు అవసరం. మనం ఇప్పుడు వీటిని పరిశీలిద్దాం.

10.2 చుట్టుకొలత

క్రింది పటాలను (Fig. 10.1) చూడండి. మీరు వాటిని తీగ లేదా దారంతో తయారు చేయవచ్చు.

మీరు ప్రతి సందర్భంలో బిందువు $S$ నుండి ప్రారంభించి, రేఖా ఖండాల వెంట కదులుతూ ఉంటే, మీరు మళ్లీ బిందువు $S$ కి చేరుకుంటారు. మీరు ప్రతి సందర్భంలో (a), (b) & (c) ఆకారం యొక్క పూర్తి చుట్టుపట్టు తిరిగారు.

కవర్ చేయబడిన దూరం, ఆకారాన్ని గీయడానికి ఉపయోగించిన తీగ యొక్క పొడవుకు సమానం.

ఈ దూరం చుట్టుకొలత (పరిమితి)గా పిలువబడే మూసివేసిన ఆకారం యొక్క పరిధిగా పిలువబడుతుంది. ఇది ఆకారాలను ఏర్పరచడానికి అవసరమైన తీగ యొక్క పొడవు.

చుట్టుకొలత యొక్క ఆలోచన మన రోజువారీ జీవితంలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

• తన పొలానికి కంచె వేయాలనుకునే రైతు.
• ఇంటి అన్ని వైపులా కంపౌండ్ గోడ నిర్మించాలని ప్లాన్ చేస్తున్న ఇంజనీర్.
• క్రీడలు నిర్వహించడానికి ట్రాక్ తయారు చేస్తున్న వ్యక్తి.

ఈ వ్యక్తులందరూ ‘చుట్టుకొలత’ యొక్క ఆలోచనను ఉపయోగిస్తారు.

మీరు చుట్టుకొలతను తెలుసుకోవలసిన పరిస్థితులకు ఐదు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.

చుట్టుకొలత అనేది మీరు ఆకారం చుట్టూ ఒకసారి వెళ్ళినప్పుడు, ఒక మూసివేసిన ఆకారాన్ని ఏర్పరుస్తూ సరిహద్దు వెంబడి కవర్ చేయబడిన దూరం.

ఇవి చేయండి

1. మీ స్టడీ టేబుల్ పైభాగం యొక్క నాలుగు వైపుల పొడవును కొలవండి మరియు రాయండి.

AB= _______ సెం.మీ
BC= _______ సెం.మీ
CD= _______ సెం.మీ
DA= _______ సెం.మీ

ఇప్పుడు, నాలుగు వైపుల పొడవుల మొత్తం

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ

$=$ ______సెం.మీ

చుట్టుకొలత ఎంత?

2. మీ నోట్బుక్ పేజీ యొక్క నాలుగు వైపుల పొడవులను కొలవండి మరియు రాయండి. నాలుగు వైపుల పొడవుల మొత్తం

$=AB+BC+CD+DA$

$=$ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ+ _____ సెం.మీ

$=$ ______సెం.మీ

పేజీ యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత?

3. మీర $150 m$ పొడవు మరియు $80 m$ వెడల్పు ఉన్న ఒక పార్క్ కి వెళ్లింది. ఆమె దాని సరిహద్దు మీద ఒక పూర్తి చుట్టు తిరిగింది. ఆమె కవర్ చేసిన దూరం ఎంత?

4. క్రింది పటాల చుట్టుకొలతను కనుగొనండి:

కాబట్టి, పూర్తిగా రేఖా ఖండాలతో చేయబడిన ఏదైనా మూసివేసిన ఆకారం యొక్క చుట్టుకొలతను మీరు ఎలా కనుగొంటారు? సరళంగా అన్ని వైపుల (రేఖా ఖండాలు) పొడవుల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

10.2.1 దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $15 cm$ మరియు $9 cm$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం $ABCD$ (Fig 10.2) ను పరిశీలిద్దాం. దీని చుట్టుకొలత ఎంత ఉంటుంది?

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=$ దాని నాలుగు వైపుల పొడవుల మొత్తం.

$ \begin{aligned} & =AB+BC+CD+DA \\ & =AB+BC+AB+BC \\ & =2 \times AB+2 \times BC \\ & =2 \times(AB+BC) \\ & =2 \times(15 cm+9 cm) \\ & =2 \times(24 cm) \\ & =48 cm \end{aligned} $

గుర్తుంచుకోండి: దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ఎదురెదురు వైపులు సమానంగా ఉంటాయి కాబట్టి AB = CD, AD = BC

ఇవి చేయండి

క్రింది దీర్ఘచతురస్రాల చుట్టుకొలతను కనుగొనండి:

దీర్ఘచతురస్రం పొడవు	దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు	అన్ని వైపులను కలిపి చుట్టుకొలత	$2 \times($ పొడవు + వెడల్పు $)$ ద్వారా చుట్టుకొలత
$25 cm$	$12 cm$	$=25 cm+12 cm$ $+25 cm+12 cm$ $=74 cm$	$=2 \times(25 cm+12 cm)$ $=2 \times(37 cm)$ $=74 cm$
$0.5 m$	$0.25 m$
$18 cm$	$15 cm$
$10.5 cm$	$8.5 cm$

అందువలన, పైన చెప్పిన ఉదాహరణ నుండి, మనం గమనించేది ఏమిటంటే దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=$ పొడవు + వెడల్పు + పొడవు + వెడల్పు అంటే దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=\mathbf{2} \times($ పొడవు + వెడల్పు $)$

ఈ ఆలోచన యొక్క ఆచరణాత్మక అనువర్తనాలను ఇప్పుడు చూద్దాం:

ఉదాహరణ 1 : షబానా దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ (Fig 10.3) చుట్టూ, $3 m$ పొడవు మరియు $2 m$ వెడల్పు ఉన్న లేస్ బోర్డర్ ఉంచాలనుకుంటుంది. షబానాకు అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవును కనుగొనండి.

పరిష్కారం : దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క పొడవు $=3 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క వెడల్పు $=2 m$

షబానా టేబుల్ కవర్ చుట్టూ లేస్ బోర్డర్ ఉంచాలనుకుంటుంది. అందువలన, అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవు దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క చుట్టుకొలతకు సమానంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రాకార టేబుల్ కవర్ యొక్క చుట్టుకొలత

$=2 \times($ పొడవు + వెడల్పు $)=2 \times(3 m+2 m)=2 \times 5 m=10 m$

కాబట్టి, అవసరమైన లేస్ యొక్క పొడవు $10 m$.

ఉదాహరణ 2 : ఒక అథ్లెట్ $50 m$ పొడవు మరియు $25 m$ వెడల్పు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క 10 చుట్లు తిరుగుతాడు. అతను కవర్ చేసిన మొత్తం దూరాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం : దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క పొడవు $=50 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క వెడల్పు $=25 m$

అథ్లెట్ ఒక చుట్టులో కవర్ చేసిన మొత్తం దూరం పార్క్ యొక్క చుట్టుకొలత అవుతుంది.

ఇప్పుడు, దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క చుట్టుకొలత

$=2 \times($ పొడవు + వెడల్పు $)=2 \times(50 m+25 m)$

$=2 \times 75 m=150 m$

కాబట్టి, అథ్లెట్ ఒక చుట్టులో కవర్ చేసిన దూరం $150 m$.

అందువలన, 10 చుట్లలో కవర్ చేయబడిన దూరం $=10 \times 150 m=1500 m$

అథ్లెట్ చేత కవర్ చేయబడిన మొత్తం దూరం $1500 m$.

ఉదాహరణ 3 : పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $150 cm$ మరియు $1 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం : పొడవు $=150 cm$

$ \text{ వెడల్పు }=1 m=100 cm $

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

$=2 \times($ పొడవు + వెడల్పు $)$

$=2 \times(150 cm+100 cm)$

$=2 \times(250 cm)=500 cm=5 m$

ఉదాహరణ 4 : ఒక రైతు వద్ద పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $240 m$ మరియు $180 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం ఉంది. అతను దానిని పటం 10.4 లో చూపిన విధంగా 3 రౌండ్ల దారంతో కంచె వేయాలనుకుంటాడు. అతను ఉపయోగించాల్సిన దారం యొక్క మొత్తం పొడవు ఎంత?

పరిష్కారం: రైతు ఆ పొలం యొక్క చుట్టుకొలతకు మూడు రెట్లు కవర్ చేయాలి. అందువలన, అవసరమైన దారం యొక్క మొత్తం పొడవు దాని చుట్టుకొలతకు మూడు రెట్లు.

పొలం యొక్క చుట్టుకొలత $=2 \times($ పొడవు + వెడల్పు $)$

$ \begin{aligned} & =2 \times(240 m+180 m) \\ & =2 \times 420 m=840 m \end{aligned} $

అవసరమైన దారం యొక్క మొత్తం పొడవు $=3 \times 840 m=2520 m$

ఉదాహరణ 5 : పొడవు $250 m$ మరియు వెడల్పు $175 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ ను మీటరుకు ₹ 12 రేటు చొప్పున కంచె వేయడానికి ఖర్చును కనుగొనండి.

పరిష్కారం : దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క పొడవు $=250 m$

దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ యొక్క వెడల్పు $=175 m$

కంచె వేయడానికి ఖర్చును లెక్కించడానికి మనకు చుట్టుకొలత అవసరం.

దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=2 \times($ పొడవు + వెడల్పు $)$

$ =2 \times(250 m+175 m) $

$ =2 \times(425 m)=850 m $

పార్క్ యొక్క కంచె వేయడానికి ఖర్చు $1 m$ $=₹ 12$

అందువలన, పార్క్ కు కంచె వేయడానికి మొత్తం ఖర్చు

= ₹ $12 \times 850$=₹ $10200$

10.2.2 సాధారణ ఆకారాల చుట్టుకొలత

ఈ ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

బిస్వమిత్ర $1 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార చిత్రం (Fig 10.5) చుట్టూ రంగు టేప్ ఉంచాలనుకుంటాడు. అతనికి అవసరమైన రంగు టేప్ యొక్క పొడవు ఎంత ఉంటుంది?

బిస్వమిత్ర చతురస్రాకార చిత్రం చుట్టూ రంగు టేప్ ఉంచాలనుకున్నందున, అతను చిత్రం ఫ్రేమ్ యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనాలి.

అందువలన, అవసరమైన టేప్ యొక్క పొడవు

$=$ చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=1 m+1 m+1 m+1 m=4 m$

ఇప్పుడు, చతురస్రం యొక్క నాలుగు వైపులా సమానంగా ఉంటాయని మనకు తెలుసు, అందువలన, దానిని నాలుగు సార్లు కలపడానికి బదులుగా, మనం ఒక వైపు పొడవును 4 తో గుణించవచ్చు. అందువలన, అవసరమైన టేప్ యొక్క పొడవు $=4 \times 1 m=4 m$

ఈ ఉదాహరణ నుండి, మనం చూస్తాము

చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=\mathbf{4} \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు

ఇలాంటి మరిన్ని చతురస్రాలను గీయండి మరియు వాటి చుట్టుకొలతలను కనుగొనండి.

ఇప్పుడు, ప్రతి భుజం $4 cm$ కు సమానంగా ఉన్న సమబాహు త్రిభుజాన్ని (Fig 10.6) చూడండి. దాని చుట్టుకొలతను మనం కనుగొనగలమా?

ఈ సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $=4+4+4 cm$

$ =3 \times 4 cm=12 cm $

కాబట్టి, మనం కనుగొంటాము

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $=3 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు

చతురస్రం మరియు సమబాహు త్రిభుజం మధ్య ఏది సమానంగా ఉంటుంది? అవి అన్ని భుజాలు సమాన పొడవు మరియు అన్ని కోణాలు సమాన కొలత కలిగిన ఆకారాలు. అటువంటి ఆకారాలు _సాధారణ మూసివేసిన ఆకారాలు_గా పిలువబడతాయి. అందువలన, చతురస్రం మరియు సమబాహు త్రిభుజం సాధారణ మూసివేసిన ఆకారాలు.

ఇవి చేయండి

మీ చుట్టుపక్కల నుండి సాధారణ ఆకారాలు కలిగిన వివిధ వస్తువులను కనుగొని వాటి చుట్టుకొలతలను కనుగొనండి.

మీరు కనుగొన్నారు,

చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత $=4 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు

సమబాహు త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $=3 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు

కాబట్టి, సాధారణ పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత ఉంటుంది?

సాధారణ పంచభుజికి ఐదు సమాన భుజాలు ఉంటాయి.

అందువలన, సాధారణ పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత $=5 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు మరియు సాధారణ షడ్భుజి యొక్క చుట్టుకొలత _______ మరియు అష్టభుజి యొక్క చుట్టుకొలత _______ అవుతుంది.

ఉదాహరణ 6 : షైనా $70 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార పార్క్ యొక్క మూడు చుట్లు తిరిగితే, ఆమె ప్రయాణించిన దూరాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం : చతురస్రాకార పార్క్ యొక్క చుట్టుకొలత $=4 \times$ ఒక భుజం యొక్క పొడవు $=4 \times 70 m=280 m$

ఒక చుట్టులో కవర్ చేయబడిన దూరం $=280 m$

అందువలన, మూడు చుట్లలో ప్రయాణించిన దూరం $=3 \times 280 m=840 m$

ఉదాహరణ 7 : పింకీ $75 m$ భుజం ఉన్న చతురస్రాకార పొలం చుట్టూ పరిగెత్తుతుంది, బాబ్ పొడవు $160 m$ మరియు వెడల్పు $105 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం చుట్టూ పరిగెత్తుతాడు. ఎవరు ఎక్కువ దూరం కవర్ చేస్తారు మరియు ఎంత తేడాతో?

పరిష్కారం : పింకీ ఒక చుట్టులో కవర్ చేసిన దూరం $=$ చతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

$ \begin{aligned} & =4 \times \text{ ఒక భుజం యొక్క పొడవు } \\ & =4 \times 75 m=300 m \end{aligned} $

బాబ్ ఒక చుట్టులో కవర్ చేసిన దూరం $=$ దీర్ఘచతురస్రం యొక్క చుట్టుకొలత

$ \begin{aligned} & =2 \times(\text{ పొడవు }+ \text{ వెడల్పు }) \\ & =2 \times(160 m+105 m) \\ & =2 \times 265 m=530 m \end{aligned} $

కవర్ చేయబడిన దూరంలో వ్యత్యాసం $=530 m-300 m=230 m$.

అందువలన, బాబ్ $230 m$ తో ఎక్కువ దూరం కవర్ చేస్తాడు.

ఉదాహరణ 8 : ప్రతి భుజం $3 cm$ కొలిచే సాధారణ పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం : ఈ సాధారణ మూసివేసిన ఆకారానికి 5 భుజాలు ఉన్నాయి, ప్రతి ఒక్కటి $3 cm$ పొడవు కలిగి ఉంటాయి. అందువలన, మనకు లభిస్తుంది

సాధారణ పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత $=5 \times 3 cm=15 cm$

ఉదాహరణ 9 : ఒక సాధారణ షడ్భుజి యొక్క చుట్టుకొలత $18 cm$. దాని ఒక భుజం ఎంత పొడవు ఉంటుంది?

పరిష్కారం : చుట్టుకొలత $=18 cm$

సాధారణ షడ్భుజికి 6 భుజాలు ఉంటాయి, కాబట్టి మనం ఒక భుజం యొక్క పొడవును పొందడానికి చుట్టుకొలతను 6 తో భాగించవచ్చు.

షడ్భుజి యొక్క ఒక భుజం $=18 cm \div 6=3 cm$

అందువలన, సాధారణ షడ్భుజి యొక్క ప్రతి భుజం యొక్క పొడవు $3 cm$.

అభ్యాసం 10.1

1. క్రింది పటాలలో ప్రతి ఒక్కదాని చుట్టుకొలతను కనుగొనండి :

2. $40 cm$ ద్వారా $10 cm$ భుజాలు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పెట్టె యొక్క మూత చుట్టూ టేప్ తో సీల్ చేయబడింది. అవసరమైన టేప్ యొక్క పొడవు ఎంత?

3. ఒక టేబుల్-టాప్ $2 m 25 cm$ ద్వారా $1 m 50 cm$ కొలుస్తుంది. టేబుల్-టాప్ యొక్క చుట్టుకొలత ఎంత?

4. పొడవు మరియు వెడల్పు వరుసగా $32 cm$ మరియు $21 cm$ ఉన్న ఫోటోను ఫ్రేమ్ చేయడానికి అవసరమైన చెక్క స్ట్రిప్ యొక్క పొడవు ఎంత?

5. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార భూమి ముక్క $0.7 km$ ద్వారా $0.5 km$ కొలుస్తుంది. ప్రతి వైపు 4 వరుసల తీగలతో కంచె వేయాలి. అవసరమైన తీగ యొక్క పొడవు ఎంత?

6. క్రింది ఆకారాలలో ప్రతి ఒక్కదాని చుట్టుకొలతను కనుగొనండి :

(a) భుజాలు $3 cm, 4 cm$ మరియు $5 cm$ ఉన్న త్రిభుజం.
(b) భుజం $9 cm$ ఉన్న సమబాహు త్రిభుజం.
(c) సమాన భుజాలు $8 cm$ ప్రతి ఒక్కటి మరియు మూడవ భుజం $6 cm$ ఉన్న సమద్విబాహు త్రిభుజం.

7. భుజాలు $10 cm, 14 cm$ మరియు $15 cm$ కొలిచే త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

8. ప్రతి భుజం $8 m$ కొలిచే సాధారణ షడ్భుజి యొక్క చుట్టుకొలతను కనుగొనండి.

9. చుట్టుకొలత $20 m$ ఉన్న చతురస్రం యొక్క భుజాన్ని కనుగొనండి.

10. ఒక సాధారణ పంచభుజి యొక్క చుట్టుకొలత $100 cm$. దాని ప్రతి భుజం ఎంత పొడవు ఉంటుంది?

11. ఒక తీగ ముక్క $30 cm$ పొడవు ఉంటుంది. తీగ ఉపయోగించి ఏర్పడినట్లయితే ప్రతి భుజం యొక్క పొడవు ఎంత ఉంటుంది:

(a) ఒక చతురస్రం?
(b) ఒక సమబాహు త్రిభుజం?
(c) ఒక సాధారణ షడ్భుజి?

12. ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలు $12 cm$ మరియు $14 cm$. త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత $36 cm$. దాని మూడవ భుజం ఏది?

13. భుజం $250 m$ ఉన్న చతురస్రాకార పార్క్ కు మీటరుకు $₹ 20$ రేటు చొప్పున కంచె వేయడానికి ఖర్చును కనుగొనండి.

14. పొడవు $175 m$ మరియు వెడల్పు $125 m$ ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార పార్క్ కు మీటరుకు ₹ 12 రేటు చొప్పున కంచె వేయడానికి ఖర్చును కనుగొనండి.

15. స్వీటీ $75 m$ భుజం